9.3. Métodos numéricos

9. Ecuaciones diferenciales

Ejercicios resueltos del capítulo 9

9.3. Métodos numéricos: Objetivos de aprendizaje

En este capítulo estudiamos métodos numéricos para resolver una ecuación diferencial de primer orden.

La SECCIÓN 9.3.1 trata del método de Euler, que en realidad es demasiado tosco para ser de mucha utilidad en aplicaciones prácticas. Sin embargo, su simplicidad permite una introducción a las ideas necesarias para comprender los mejores métodos discutidos en las otras dos secciones.
La SECCIÓN 9.3.2 analiza las mejoras en el método de Euler.
La SECCIÓN 9.3.3 trata del método de Runge-Kutta, quizás el método más utilizado para la solución numérica de ecuaciones diferenciales.

9.3.1 MÉTODO DE EULER

Si un problema de valor inicial

y′ = f (x, y),  y(x0) = y0        (9.3.1.1)

no se puede resolver analíticamente, es necesario recurrir a métodos numéricos para obtener aproximaciones útiles a una solución de (9.3.1.1). Consideraremos estos métodos en este capítulo.

        Estamos interesados en calcular valores aproximados de la solución de (9.3.1.1) en puntos igualmente espaciados x0, x1,. . . , xn = b en un intervalo [x0, b]. Por lo tanto,

xi = x0 + ih, i = 0, 1, . . ., n,

donde

Denotaremos los valores aproximados de la solución en estos puntos por y0, y1,. . . , yn; por tanto, yi es una aproximación de y(xi). Llamaremos

ei = y(xi) − yi

el error en el i-ésimo paso. Debido a la condición inicial y(x0) = y0, siempre tendremos e0 = 0. Sin embargo, en general ei ≠ 0 si i > 0.

       Encontramos dos fuentes de error al aplicar un método numérico para resolver un problema de valor inicial:
• Las fórmulas que definen el método se basan en algún tipo de aproximación. Los errores debidos a la inexactitud de la aproximación se denominan errores de truncamiento.
• Las computadoras hacen aritmética con un número fijo de dígitos y, por lo tanto, cometen errores al evaluar las fórmulas que definen los métodos numéricos. Los errores debidos a la incapacidad de la computadora para realizar operaciones aritméticas exactas se denominan errores de redondeo.
       Dado que un análisis cuidadoso del error de redondeo está más allá del alcance de este libro, consideraremos solo los errores de truncamiento.

Método de Euler

El método numérico más simple para resolver (9.3.1.1) es el método de Euler. Este método es tan tosco que rara vez se utiliza en la práctica; sin embargo, su simplicidad lo hace útil con fines ilustrativos.

      El método de Euler se basa en el supuesto de que la recta tangente a la curva integral de (9.3.1.1) en (xi, y(xi)) se aproxima a la curva integral en el intervalo [xi, xi + 1]. Dado que la pendiente de la curva integral de (9.3.1.1) en (xi, y(xi)) es y′(xi) = f (xi, y(xi)), la ecuación de la recta tangente a la curva integral en (xi, y(xi)) es

y = y(xi) + f (xi, y(xi)) (xxi).        (9.3.1.2)

Al establecer x = xi + 1 = xi + h en (9.3.1.2) se obtiene

yi + 1 = y(xi) + h f (xi, y(xi))        (9.3.1.3)

como una aproximación a y(xi + 1). Como se conoce y(x0) = y0, podemos usar (9.3.1.3) con i = 0 para calcular

y1 = y0 + h f (x0, y0).

Sin embargo, al establecer i = 1 en (9.3.1.3) se obtiene

y2 = y(x1) + h f (x1, y(x1)),

lo cual no es útil, ya que no sabemos el valor de y(x1). Por lo tanto, reemplazamos y(x1) por su valor aproximado y1 y redefinimos

y2 = y1 + h f (x1, y1).

Habiendo calculado y2, podemos calcular

y3 = y2 + h f (x2, y2).

En general, el método de Euler comienza con el valor conocido y(x0) = y0 y calcula y1, y2,. . . , yn sucesivamente con la fórmula

yi + 1 = yi + h f (xi, yi),  0 ≤ in − 1.      (9.3.1.4)

    El siguiente ejemplo ilustra el procedimiento de cálculo indicado en el método de Euler.

Ejemplo ilustrativo 9.3.1.1

Use el método de Euler con h = 0.1 para encontrar valores aproximados para la solución del problema de valor inicial

       (9.3.1.5)

en x = 0.1, 0.2, 0.3.

Solución:

Reescribimos (9.3.1.5) como

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que es de la forma (9.3.1.1), con

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aplicando el método de Euler, se obtiene

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      Hemos escrito los detalles de estos cálculos para asegurarnos de que comprenda el procedimiento. Sin embargo, en el resto de los ejemplos, así como en los ejercicios de este capítulo, asumiremos que puede utilizar una calculadora programable o una computadora para realizar los cálculos necesarios.

Ejemplos que ilustran el error en el método de Euler

Ejemplo ilustrativo 9.3.1.2

Utilice el método de Euler con tamaños de paso h = 0.1, h = 0.05 y h = 0.025 para encontrar valores aproximados de la solución del problema de valor inicial.en x = 0, 0,1, 0,2, 0,3,. . . , 1.0. Compare estos valores aproximados con los valores de la solución exacta

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que se puede obtener mediante el método de la Sección 9.2.1. (Verificar)

Solución:

La tabla 9.3.1.1 muestra los valores de la solución exacta (9.3.1.6) en los puntos especificados y los valores aproximados de la solución en estos puntos obtenidos por el método de Euler con tamaños de paso h = 0.1, h = 0.05 y h = 0.025 . Al examinar esta tabla, tenga en cuenta que los valores aproximados en la columna correspondiente a h = .05 son en realidad los resultados de 20 pasos con el método de Euler. No hemos enumerado las estimaciones de la solución obtenida para x = 0.05, 0.15,. . . , ya que no hay nada con qué compararlos en la columna correspondiente a h = 0.1. De manera similar, los valores aproximados en la columna correspondiente a h = 0.025 son en realidad los resultados de 40 pasos con el método de Euler.

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(Tabla 9.3.1.1. Solución numérica de y′ + 2y = x3e − 2x, y(0) = 1, por el método de Euler.)

Puede ver en la tabla 9.3.1.1 que disminuir el tamaño del paso mejora la precisión del método de Euler.
Por ejemplo,

Con base en esta escasa evidencia, podría adivinar que el error al aproximar la solución exacta a un valor fijo de x por el método de Euler se reduce aproximadamente a la mitad cuando el tamaño del paso se reduce a la mitad. Puede encontrar más evidencia para apoyar esta conjetura examinando la tabla 9.3.1.2, que enumera los valores aproximados de yexactoyaproximado en x = 0.1, 0.2,. . . , 1.0.

(Tabla 9.3.1.2. Errores en soluciones aproximadas de y′ + 2y = x3e − 2x, y(0) = 1, obtenido por el método de Euler.)

Ejemplo ilustrativo 9.3.1.3

Las tablas 9.3.1.3 y 9.3.1.4 muestran resultados análogos para el problema de valor inicial no lineal

y′ = −2y2 + xy + x2y(0) = 1,        (9.3.1.7)

excepto que en este caso no podemos resolver (9.3.1.7) exactamente. Los resultados en la columna “Exacto” se obtuvieron utilizando un método numérico más preciso conocido como el método de Runge-Kutta con un tamaño de paso pequeño. Son exactos a ocho lugares decimales. 

(Tabla 9.3.1.3. Solución numérica de y′ = −2y2 + xy + x2y(0) = 1, por el método de Euler.)
(Tabla 9.3.1.4. Errores en soluciones aproximadas de y′ = −2y2 + xy + x2y(0) = 1, obtenidas por el método de Euler.)

      Dado que creemos que es importante para evaluar la precisión de los métodos numéricos que estudiaremos en este capítulo, a menudo incluimos una columna que enumera los valores de la solución exacta del problema de valor inicial, incluso si las instrucciones del ejemplo o del ejercicio no lo piden específicamente. Si se incluyen comillas en el encabezado, los valores se obtuvieron aplicando el método de Runge-Kutta de la manera que se explica en la Sección 9.3.3. Si no se incluyen las comillas, los valores se obtuvieron de una fórmula conocida para la solución. En cualquier caso, los valores son exactos hasta ocho lugares a la derecha del punto decimal.

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