La divergencia y la prueba de la integral

Objetivos de aprendizaje

5.3.1. Usar la prueba de la divergencia para determinar si una serie converge o diverge.
5.3.2. Usar la prueba de la integral para determinar la convergencia de una serie.
5.3.3. Estimar el valor de una serie encontrando límites en el término restante.

En la sección anterior, determinamos la convergencia o divergencia de varias series calculando explícitamente el límite de la sucesión de sumas parciales {Sk}. En la práctica, calcular explícitamente este límite puede ser difícil o imposible. Afortunadamente, existen varias pruebas que nos permiten determinar la convergencia o divergencia para muchos tipos de series. En esta sección, discutimos dos de estas pruebas: la prueba de la divergencia y la prueba de la integral. Examinaremos varias otras pruebas en el resto de este capítulo y luego resumiremos cómo y cuándo usarlas.

Prueba de la divergencia

Para que una serie

converja, el enésimo término an debe satisfacer an → 0 como n → ∞.

Observemos que a partir de las propiedades algebraicas de límites para sucesiones,

Por lo tanto, si

converge, el enésimo término an → 0 cuando n → ∞. Una consecuencia importante de este hecho es la siguiente afirmación:

Esta prueba se conoce como la prueba de la divergencia porque proporciona una forma de demostrar que una serie diverge.

Teorema 5.8.  Prueba de la divergencia


Es importante tener en cuenta que lo contrario de este teorema no es cierto. Es decir, si limn → ∞an = 0, no podemos hacer ninguna conclusión sobre la convergencia de

Por ejemplo, limn → ∞an (1/n) = 0, pero la serie armónica

diverge.

En esta sección y en las secciones restantes de este capítulo, mostramos muchos más ejemplos de tales series. En consecuencia, aunque podemos usar la prueba de divergencia para mostrar que una serie diverge, no podemos usarla para demostrar que una serie converge. Específicamente, si an → 0, la prueba de divergencia no es concluyente.

Prueba de la integral

En la sección anterior, demostramos que la serie armónica diverge mirando la sucesión de sumas parciales {Sk} y mostrando que S2^k > 1 + k / 2 para todos los enteros positivos k. En esta sección usamos una técnica diferente para probar la divergencia de las series armónicas. Esta técnica es importante porque se utiliza para demostrar la divergencia o convergencia de muchas otras series. Esta prueba, llamada prueba de la integral, compara una suma infinita con una integral impropia. Es importante tener en cuenta que esta prueba solo se puede aplicar cuando consideramos una serie cuyos términos son todos positivos.

Para ilustrar cómo funciona la prueba de la integral, usaremos la serie armónica como ejemplo. En la figura 7.12, representamos la serie armónica dibujando una secuencia de rectángulos con áreas 1, 1/2, 1/3, 1/4, … junto con la función f(x) = 1/x. De la gráfica, vemos que

Por lo tanto, para cada k, la k-ésima suma parcial Sk satisface

Como limk → ∞ln(k + 1) = ∞, vemos que la sucesión de sumas parciales {Sk} no tiene límites. Por lo tanto, {Sk} diverge y, en consecuencia, la serie

también diverge.

Figura 5.12  La suma de las áreas de los rectángulos es mayor que el área entre la curva f(x) = 1/x y el eje x para x ≥ 1. Como el área delimitada por la curva es infinita (calculada por una integral impropia), la suma de las áreas de los rectángulos también es infinita.

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