| 10. Cálculo vectorial – Vectores en el espacio | Ejercicios propuestos para el Capítulo 10.13 |

10.13 Integrales de línea

Objetivos de aprendizaje:

10.13.1. Calcular una integral de línea escalar a lo largo de una curva.
10.13.2. Calcular una integral de línea vectorial a lo largo de una curva orientada en el espacio.
10.13.3. Use una integral de línea para calcular el trabajo realizado al mover un objeto a lo largo de una curva en un campo vectorial.
10.13.4 Describa el flujo y la circulación de un campo vectorial.

Estamos familiarizados con integrales de variable única de la forma

donde el dominio de integración es un intervalo [a, b]. Tal intervalo puede considerarse como una curva en el plano xy, ya que el intervalo define un segmento de recta con puntos finales (a, 0) y (b, 0); en otras palabras, un segmento de recta ubicado en el eje x . Supongamos que queremos integrar sobre cualquier curva en el plano, no solo sobre un segmento de recta en el eje x. Tal tarea requiere un nuevo tipo de integral, llamada integral de línea.

Las integrales de línea tienen muchas aplicaciones para la ingeniería y la física. También nos permiten hacer varias generalizaciones útiles del Teorema fundamental del cálculo. Y, están estrechamente conectados a las propiedades de los campos vectoriales, como veremos.

Integrales de línea escalar

Una integral de línea nos da la capacidad de integrar funciones multivariables y campos vectoriales sobre curvas arbitrarias en un plano o en el espacio. Hay dos tipos de integrales de línea: integrales de línea escalar e integrales de línea vectorial. Las integrales de línea escalar son integrales de una función escalar sobre una curva en un plano o en el espacio. Las integrales de línea vectorial son integrales de un campo vectorial sobre una curva en un plano o en el espacio. Veamos primero las integrales de línea escalar.

Una integral de línea escalar se define tal como se define una integral de variable única, excepto que para una integral de línea escalar, el integrando es una función de más de una variable y el dominio de integración es una curva en un plano o en el espacio, como opuesto a una curva en el eje x.

Para una integral de línea escalar, sea C una curva suave en un plano o en el espacio, y sea f una función con un dominio que incluye C. Dividimos la curva en pequeños trozos. Para cada trozo, elegimos el punto P en ese trozo y evaluamos f en P. (Podemos hacer esto porque todos los puntos en la curva están en el dominio de f.) Multiplicamos f(P) por la longitud de arco del trozo \( \Delta s \), sumamos el producto f(P) \( \Delta s \) sobre todos los trozos, y luego dejamos que la longitud de arco de los trozos se reduzca a cero tomando un límite. El resultado es la integral de línea escalar de la función sobre la curva.

Para una descripción formal de una integral de línea escalar, sea C una curva suave en el espacio dada por la parametrización \( \mathbf{r}(t) = \langle x(t), y(t), z(t) \rangle \), \( a \leq t \leq b \). Sea \( f(x, y, z) \) una función con un dominio que incluye la curva C. Para definir la integral de línea de la función f sobre C, comenzamos como la mayoría de las definiciones de una integral: dividimos la curva en pequeños trozos. Particionamos el intervalo de parámetros \([a, b]\) en n subintervalos \([t_{i-1}, t_i]\) de igual ancho para \( 1 \leq i \leq n \), donde \( t_0 = a \) y \( t_n = b \) (Figura 10.13.1). Sea \( t_i^* \) un valor en el i-ésimo intervalo \([t_{i-1}, t_i]\). Denotamos los puntos finales de \( \mathbf{r}(t_0), \mathbf{r}(t_1), \dots, \mathbf{r}(t_n) \) por \( P_0, \dots, P_n \). Los puntos \( P_i \) dividen la curva C en n trozos \( C_1, C_2, \dots, C_n \), con longitudes \( \Delta s_1, \Delta s_2, \dots, \Delta s_n \), respectivamente. Sea \( P_i^* \) denote el punto final de \( \mathbf{r}(t_i^*) \) para \( 1 \leq i \leq n \). Ahora, evaluamos la función f en el punto \( P_i^* \) para \( 1 \leq i \leq n \). Tenga en cuenta que \( P_i^* \) está en el trozo \( C_i \), y por lo tanto \( P_i^* \) está en el dominio de f. Multiplique \( f(P_i^*) \) por la longitud \( \Delta s_i \) de \( C_i \), lo que da el área de la “hoja” con base \( C_i \) y altura \( f(P_i^*) \).

Esto es análogo a usar rectángulos para aproximar el área en una integral de una sola variable. Ahora, formamos la suma \( \sum_{i=1}^n f(P_i^*) \Delta s_i \). Observe la similitud de esta suma versus una suma de Riemann; de hecho, esta definición es una generalización de una suma de Riemann a curvas arbitrarias en el espacio. Al igual que con las sumas de Riemann y las integrales de la forma \( \int_a^b g(x) dx \), definimos una integral dejando que el ancho de los trozos de la curva se reduzca a cero tomando un límite. El resultado es la integral de línea escalar de f a lo largo de C.

Es posible que hayas notado una diferencia entre esta definición de una integral de línea escalar y una integral de una sola variable. En esta definición, las longitudes de arco \( \Delta s_1, \Delta s_2, \dots, \Delta s_n \) no son necesariamente iguales; en la definición de una integral de una sola variable, la curva en el eje x se divide en partes de igual longitud. Esta diferencia no tiene ningún efecto en el límite. A medida que reducimos las longitudes de arco a cero, sus valores se acercan lo suficiente como para que cualquier pequeña diferencia se vuelva irrelevante.

Definición 10.13.1

Sea \( f \) una función con un dominio que incluye la curva suave \( C \) que está parametrizada por \( \mathbf{r}(t) = \langle x(t), y(t), z(t) \rangle \), \( a \leq t \leq b \). La integral de línea escalar de \( f \) a lo largo de \( C \) es

\[ \int_C f(x, y, z) \, ds = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(P_i^*) \, \Delta s_i \]

si este límite existe ( \( t_i^* \) y \( \Delta s_i \) se definen como en los párrafos anteriores). Si \( C \) es una curva plana, entonces \( C \) se puede representar mediante las ecuaciones paramétricas \( x = x(t) \), \( y = y(t) \), y \( a \leq t \leq b \). Si \( C \) es suave y \( f(x, y) \) es una función de dos variables, entonces la integral de línea escalar de \( f \) a lo largo de \( C \) se define de manera similar como

\[ \int_C f(x, y) \, ds = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(P_i^*) \, \Delta s_i, \]

si este límite existe. ♦

Si \( f \) es una función continua en una curva suave \( C \), entonces \( \int_C f \, ds \) siempre existe. Dado que \( \int_C f \, ds \) se define como un límite de sumas de Riemann, la continuidad de \( f \) es suficiente para garantizar la existencia del límite, al igual que la integral \( \int_a^b g(x) \, dx \) existe si \( g \) es continua sobre \( [a, b] \).

Antes de ver cómo calcular una integral de línea, necesitamos examinar la geometría capturada por estas integrales. Supongamos que \( f(x, y) \geq 0 \) para todos los puntos \( (x, y) \) en una curva plana suave \( C \). Imagina tomar la curva \( C \) y proyectarla “hacia arriba” a la superficie definida por \( f(x, y) \), creando así una nueva curva \( C’ \) que se encuentra en la gráfica de \( f(x, y) \) (Figura 10.13.2). Ahora dejamos caer una “hoja” desde \( C’ \) hasta el plano xy. El área de esta hoja es \( \int_C f(x, y) \, ds \). Si \( f(x, y) \leq 0 \) para algunos puntos en \( C \), entonces el valor de \( \int_C f(x, y) \, ds \) es el área por encima del plano xy menos el área por debajo del plano xy. (Observa la similitud con las integrales de la forma \( \int_a^b g(x) \, dx \).)

De esta geometría, podemos ver que la integral de línea \( \int_C f(x, y) \, ds \) no depende de la parametrización \( \mathbf{r}(t) \) de \( C \). Siempre y cuando la curva se recorra exactamente una vez mediante la parametrización, el área de la hoja formada por la función y la curva es la misma. Este mismo tipo de argumento geométrico se puede extender para mostrar que la integral de línea de una función de tres variables sobre una curva en el espacio no depende de la parametrización de la curva.

Ejemplo Ilustrativo 10.13.1: Calculando el Valor de una Integral de Línea

Encuentra el valor de la integral \( \int_C 2 \, ds \), donde \( C \) es la mitad superior del círculo unitario.

Solución:

El integrando es \( f(x, y) = 2 \). Figura 10.13.3 muestra la gráfica de \( f(x, y) = 2 \), curva \( C \), y la hoja formada por ellos. Observa que esta hoja tiene la misma área que un rectángulo con ancho \( \pi \) y longitud 2. Por lo tanto,

\[ \int_C 2 \, ds = 2\pi. \]

Figura 10.13.3 La lámina que está formada por la mitad superior de la circunferencia unitaria en un plano y la gráfica de f (x, y) = 2.

Para ver que \( \int_C 2 \, ds = 2\pi \) usando la definición de integral de línea, dejemos que \( \mathbf{r}(t) \) sea una parametrización de \( C \). Entonces, \( f(\mathbf{r}(t_i)) = 2 \) para cualquier número \( t_i \) en el dominio de \( \mathbf{r} \). Por lo tanto,

\[ \begin{aligned} \int_C f \, ds &= \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(\mathbf{r}(t_i^*)) \, \Delta s_i \\ &= \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n 2 \, \Delta s_i \\ &= 2 \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \Delta s_i \\ &= 2 (\text{longitud de C}) \\ &= 2\pi. \end{aligned} \]

♦

Ejercicio de control 10.13.1

Encuentra el valor de \( \int_C (x + y) \, ds \), donde \( C \) es la curva parametrizada por \( x = t \), \( y = t \), \( 0 \leq t \leq 1 \). ♦

Ten en cuenta que en una integral de línea escalar, la integración se realiza con respecto a la longitud de arco \( s \), lo que puede hacer que una integral de línea escalar sea difícil de calcular. Para facilitar los cálculos, podemos traducir \( \int_C f \, ds \) a una integral con una variable de integración que es \( t \).

Sea \( \mathbf{r}(t) = \langle x(t), y(t), z(t) \rangle \) para \( a \leq t \leq b \) una parametrización de \( C \). Dado que asumimos que \( C \) es suave, \( \mathbf{r}'(t) = \langle x'(t), y'(t), z'(t) \rangle \) es continua para todo \( t \) en \( [a, b] \). En particular, \( x'(t) \), \( y'(t) \) y \( z'(t) \) existen para todo \( t \) en \( [a, b] \). De acuerdo con la fórmula de la longitud de arco, tenemos

\[ \text{longitud}(C_i) = \Delta s_i = \int_{t_{i-1}}^{t_i} \|\mathbf{r}'(t)\| \, dt. \]

Si el ancho \( \Delta t_i = t_i – t_{i-1} \) es pequeño, entonces la función \( \|\mathbf{r}'(t)\| \) es casi constante sobre el intervalo \( [t_{i-1}, t_i] \). Por lo tanto,

\[ \int_{t_{i-1}}^{t_i} \|\mathbf{r}'(t)\| \, dt \approx \|\mathbf{r}'(t_i^*)\| \Delta t_i, \]

y tenemos

\[ \sum_{i=1}^n f(\mathbf{r}(t_i^*)) \Delta s_i = \sum_{i=1}^n f(\mathbf{r}(t_i^*)) \|\mathbf{r}'(t_i^*)\| \Delta t_i. ♣\]

Vea la figura 10.13.4

Figura 10.13.4 Si ampliamos la curva lo suficiente haciendo que Δt_i sea muy pequeño, entonces el tramo correspondiente de la curva es aproximadamente lineal.

Ten en cuenta que

\[ \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(\mathbf{r}(t_i^*)) \|\mathbf{r}'(t_i^*)\| \Delta t_i = \int_a^b f(\mathbf{r}(t)) \|\mathbf{r}'(t)\| \, dt. \]

En otras palabras, a medida que los anchos de los intervalos \( [t_{i-1}, t_i] \) se reducen a cero, la suma \( \sum_{i=1}^n f(\mathbf{r}(t_i^*)) \|\mathbf{r}'(t_i^*)\| \Delta t_i \) converge a la integral \( \int_a^b f(\mathbf{r}(t)) \|\mathbf{r}'(t)\| \, dt \). Por lo tanto, tenemos el siguiente teorema.

Teorema 10.13.1: Evaluación de una Integral de Línea Escalar

Sea \( f \) una función continua con un dominio que incluye la curva suave \( C \) con parametrización \( \mathbf{r}(t), a \leq t \leq b \). Entonces,

\[ \int_C f \, ds = \int_a^b f(\mathbf{r}(t)) \|\mathbf{r}'(t)\| \, dt. \]

♦

Aunque hemos etiquetado la Ecuación ♣ como una ecuación, se considera más precisamente una aproximación porque podemos mostrar que el lado izquierdo de la Ecuación ♣ se acerca al lado derecho cuando \( n \to \infty \). En otras palabras, dejar que los anchos de las partes se reduzcan a cero hace que la suma del lado derecho se acerque arbitrariamente a la suma del lado izquierdo. Dado que

\[ \|\mathbf{r}'(t)\| = \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2 + (z'(t))^2}, \]

obtenemos el siguiente teorema, que utilizamos para calcular las integrales de línea escalares.

Teorema 10.13.2: Cálculo de una Integral de Línea Escalar

Sea \( f \) una función continua con un dominio que incluye la curva suave \( C \) con parametrización \( \mathbf{r}(t) = \langle x(t), y(t), z(t) \rangle \), \( a \leq t \leq b \). Entonces,

\[ \int_C f \, ds = \int_a^b f(\mathbf{r}(t)) \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2 + (z'(t))^2} \, dt. ♥\]

De manera similar,

\[ \int_C f(x, y) \, ds = \int_a^b f(\mathbf{r}(t)) \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2} \, dt \]

si \( C \) es una curva plana y \( f \) es una función de dos variables. ♦

Ten en cuenta que una consecuencia de este teorema es la ecuación \( ds = \|\mathbf{r}'(t)\| \, dt \). En otras palabras, el cambio en la longitud del arco se puede ver como un cambio en el dominio \( t \), escalado por la magnitud del vector \( \mathbf{r}'(t) \).

Ejemplo Ilustrativo 10.13.2: Evaluación de una integral de línea.

Encuentra el valor de la integral \( \int_C (x^2 + y^2 + z) \, ds \), donde \( C \) es parte de la hélice parametrizada por \( \mathbf{r}(t) = \langle \cos t, \sin t, t \rangle \), \( 0 \leq t \leq 2\pi \).

Solución:

Para calcular una integral de línea escalar, comenzamos por convertir la variable de integración de la longitud de arco \( s \) a \( t \). Entonces, podemos usar la Ecuación ♥ para calcular la integral con respecto a \( t \). Ten en cuenta que \( f(\mathbf{r}(t)) = \cos^2 t + \sin^2 t + t = 1 + t \) y

\[ \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2 + (z'(t))^2} = \sqrt{(-\sin(t))^2 + \cos^2(t) + 1} = \sqrt{2}. \]

Por lo tanto,

\[ \int_C (x^2 + y^2 + z) \, ds = \int_0^{2\pi} (1 + t) \sqrt{2} \, dt. \]

Observa que la Ecuación ♥ tradujo la integral de línea original difícil a una integral manejable de una sola variable. Dado que

\[ \int_0^{2\pi} (1 + t) \sqrt{2} \, dt = \left[ \sqrt{2}t + \frac{\sqrt{2}t^2}{2} \right]_0^{2\pi} \] \[ = 2\sqrt{2}\pi + 2\sqrt{2}\pi^2, \]

tenemos

\[ \int_C (x^2 + y^2 + z) \, ds = 2\sqrt{2}\pi + 2\sqrt{2}\pi^2. \]

♦

Ejercicio de control 10.13.2

Evalúa \( \int_C (x^2 + y^2 + z) \, ds \), donde \( C \) es la curva con parametrización \( \mathbf{r}(t) = \langle \sin(3t), \cos(3t), t \rangle \), \( 0 \leq t \leq 2\pi \). ♦

Ejemplo Ilustrativo 10.13.3: Independencia de la Parametrización

Encuentra el valor de la integral \( \int_C (x^2 + y^2 + z) \, ds \), donde \( C \) es parte de la hélice parametrizada por \( \mathbf{r}(t) = \langle \cos(2t), \sin(2t), 2t \rangle \), \( 0 \leq t \leq \pi \). Ten en cuenta que esta función y la curva son las mismas que en el ejemplo anterior; la única diferencia es que la curva se ha reparametrizado para que el tiempo transcurra dos veces más rápido.

Solución:

Como en el ejemplo anterior, usamos la Ecuación ♥ para calcular la integral con respecto a \( t \). Ten en cuenta que \( f(\mathbf{r}(t)) = \cos^2(2t) + \sin^2(2t) + 2t = 2t + 1 \) y

\[ \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2 + (z'(t))^2} = \sqrt{(-2\sin t)^2 + (2\cos t)^2 + 4} = 2\sqrt{2}. \]

Así que tenemos

\[ \int_C (x^2 + y^2 + z) \, ds = 2\sqrt{2} \int_0^\pi (1 + 2t) \, dt \] \[ = 2\sqrt{2} \left[ t + t^2 \right]_0^\pi \] \[ = 2\sqrt{2} (\pi + \pi^2). \]

Observa que esto coincide con la respuesta en el ejemplo anterior. Cambiar la parametrización no cambió el valor de la integral de línea. Las integrales de línea escalares son independientes de la parametrización, siempre que la curva se recorra exactamente una vez mediante la parametrización. ♦

Ejercicio de control 10.13.3

Evalúa la integral de línea \( \int_C (x^2 + yz) \, ds \), donde \( C \) es la línea con parametrización \( \mathbf{r}(t) = \langle 2t, 5t, -t \rangle \), \( 0 \leq t \leq 10 \). Reparametriza \( C \) con parametrización \( \mathbf{s}(t) = \langle 4t, 10t, -2t \rangle \), \( 0 \leq t \leq 5 \), recalcula la integral de línea \( \int_C (x^2 + yz) \, ds \), y observa que el cambio de parametrización no tuvo ningún efecto en el valor de la integral. ♦

Ahora que podemos evaluar las integrales de línea, podemos usarlas para calcular la longitud del arco. Si \( f(x, y, z) = 1 \), entonces

\[ \begin{aligned} \int_C f(x, y, z) \, ds &= \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(P_i^*) \Delta s_i \\ &= \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \Delta s_i \\ &= \lim_{n \to \infty} \text{longitud}(C) \\ &= \text{longitud}(C). \end{aligned} \]

Por lo tanto, \( \int_C 1 \, ds \) es la longitud del arco de \( C \).

Ejemplo Ilustrativo 10.13.4: Cálculo de la Longitud de Arco

Un alambre tiene una forma que se puede modelar con la parametrización \( \mathbf{r}(t) = \langle \cos t, \sin t, \frac{2}{3}t^{3/2} \rangle \), \( 0 \leq t \leq 4\pi \). Encuentra la longitud del alambre.

Solución:

La longitud del alambre está dada por \( \int_C 1 \, ds \), donde \( C \) es la curva con parametrización \( \mathbf{r} \). Por lo tanto,

\[ \begin{aligned} \text{La longitud del alambre} &= \int_C 1 \, ds \\ &= \int_0^{4\pi} \|\mathbf{r}'(t)\| \, dt \\ &= \int_0^{4\pi} \sqrt{(-\sin t)^2 + \cos^2 t + t} \, dt \\ &= \int_0^{4\pi} \sqrt{1 + t} \, dt \\ &= \left[ \frac{2(1 + t)^{3/2}}{3} \right]_0^{4\pi} \\ &= \frac{2}{3} \left( (1 + 4\pi)^{3/2} – 1 \right). \end{aligned} \]

♦

Ejercicio de control 10.13.4

Encuentra la longitud de un alambre con parametrización \( \mathbf{r}(t) = \langle 3t + 1, 4 – 2t, 5 + 2t \rangle \), \( 0 \leq t \leq 4 \). ♦

Integrales de Línea Vectoriales

El segundo tipo de integrales de línea son las integrales de línea vectoriales, en las que integramos a lo largo de una curva C a través de un campo vectorial. Por ejemplo, sea

\[ \mathbf{F}(x, y, z) = P(x, y, z)\mathbf{i} + Q(x, y, z)\mathbf{j} + R(x, y, z)\mathbf{k} \]

un campo vectorial continuo en \( \mathbb{R}^3 \) que representa una fuerza sobre una partícula, y sea C una curva suave en \( \mathbb{R}^3 \) contenida en el dominio de \( \mathbf{F} \). ¿Cómo calcularíamos el trabajo realizado por \( \mathbf{F} \) al mover una partícula a lo largo de C?

Para responder a esta pregunta, primero ten en cuenta que una partícula podría viajar en dos direcciones a lo largo de una curva: una dirección hacia adelante y una dirección hacia atrás. El trabajo realizado por el campo vectorial depende de la dirección en la que se mueve la partícula. Por lo tanto, debemos especificar una dirección a lo largo de la curva C; dicha dirección especificada se denomina orientación de una curva. La dirección especificada es la dirección positiva a lo largo de C; la dirección opuesta es la dirección negativa a lo largo de C. Cuando a C se le ha dado una orientación, C se denomina curva orientada (Figura 10.13.5). El trabajo realizado sobre la partícula depende de la dirección a lo largo de la curva en la que se mueve la partícula.

Una curva cerrada es aquella para la que existe una parametrización \( \mathbf{r}(t), a \leq t \leq b \), tal que \( \mathbf{r}(a) = \mathbf{r}(b) \), y la curva se recorre exactamente una vez. En otras palabras, la parametrización es uno a uno en el dominio \( (a, b) \).

Figura 10.13.5 (a) Una curva orientada entre dos puntos. (b) Una curva cerrada orientada.

Sea \( \mathbf{r}(t) \) una parametrización de \( C \) para \( a \leq t \leq b \) tal que la curva se recorre exactamente una vez por la partícula y la partícula se mueve en la dirección positiva a lo largo de \( C \). Divide el intervalo del parámetro \( [a, b] \) en \( n \) subintervalos \( [t_{i-1}, t_i] \), \( 0 \leq i \leq n \), de igual ancho. Denota los puntos finales de \( \mathbf{r}(t_0) \), \( \mathbf{r}(t_1) \), \( \dots \), \( \mathbf{r}(t_n) \) por \( P_0 \), \( \dots \), \( P_n \). Divide C en \( n \) partes. Denota la longitud de la parte desde \( P_{i-1} \) hasta \( P_i \) por \( \Delta s_i \). Para cada \( i \), elige un valor \( t_i^* \) en el subintervalo \( [t_{i-1}, t_i] \). Entonces, el punto final de \( \mathbf{r}(t_i^*) \) es un punto en la parte de C entre \( P_{i-1} \) y \( P_i \) (Figura 10.13.6). Si \( \Delta s_i \) es pequeño, entonces a medida que la partícula se mueve desde \( P_{i-1} \) hasta \( P_i \) a lo largo de C, se mueve aproximadamente en la dirección de \( \mathbf{T}(P_i) \), el vector tangente unitario en el punto final de \( \mathbf{r}(t_i^*) \). Sea \( P_i^* \) denotar el punto final de \( \mathbf{r}(t_i^*) \). Entonces, el trabajo realizado por el campo vectorial de fuerza al mover la partícula desde \( P_{i-1} \) hasta \( P_i \) es \( \mathbf{F}(P_i^*) \cdot (\Delta s_i \mathbf{T}(P_i^*)) \), por lo que el trabajo total realizado a lo largo de C es

\[ \sum_{i=1}^n \mathbf{F}(P_i^*) \cdot (\Delta s_i \mathbf{T}(P_i^*)) = \sum_{i=1}^n \mathbf{F}(P_i^*) \cdot \mathbf{T}(P_i^*) \Delta s_i. \]

Al dejar que la longitud del arco de las partes de C se haga arbitrariamente pequeña tomando un límite cuando \( n \to \infty \) nos da el trabajo realizado por el campo al mover la partícula a lo largo de C. Por lo tanto, el trabajo realizado por \( \mathbf{F} \) al mover la partícula en la dirección positiva a lo largo de C se define como

\[ W = \int_C \mathbf{F} \cdot \mathbf{T} \, ds, \]

lo que nos da el concepto de una integral de línea vectorial.

Definición 10.13.2

La integral de línea vectorial de un campo vectorial \( \mathbf{F} \) a lo largo de una curva suave orientada C es

\[ \int_C \mathbf{F} \cdot \mathbf{T} \, ds = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \mathbf{F}(P_i^*) \cdot \mathbf{T}(P_i^*) \Delta s_i \]

si ese límite existe. ♦

Con las integrales de línea escalares, ni la orientación ni la parametrización de la curva importan. Siempre y cuando la curva se recorra exactamente una vez mediante la parametrización, el valor de la integral de línea no se modifica. Con las integrales de línea vectoriales, la orientación de la curva sí importa. Si pensamos en la integral de línea como el cálculo del trabajo, esto tiene sentido: si subes una montaña, entonces la fuerza gravitacional de la Tierra realiza un trabajo negativo sobre ti. Si bajas la montaña por el mismo camino, entonces la fuerza gravitacional de la Tierra realiza un trabajo positivo sobre ti. En otras palabras, invertir el camino cambia el valor del trabajo de negativo a positivo en este caso. Ten en cuenta que si C es una curva orientada, entonces dejamos que \( -C \) represente la misma curva pero con la orientación opuesta.

Como con las integrales de línea escalares, es más fácil calcular una integral de línea vectorial si la expresamos en términos de la parametrización \( \mathbf{r} \) y la variable \( t \). Para traducir la integral \( \int_C \mathbf{F} \cdot \mathbf{T} \, ds \) en términos de \( t \), ten en cuenta que el vector tangente unitario \( \mathbf{T} \) a lo largo de C está dado por \( \mathbf{T} = \frac{\mathbf{r}'(t)}{\|\mathbf{r}'(t)\|} \) (asumiendo que \( \|\mathbf{r}'(t)\| \neq 0 \)). Dado que \( ds = \|\mathbf{r}'(t)\| \, dt \), como vimos al hablar de las integrales de línea escalares, tenemos

\[ \mathbf{F} \cdot \mathbf{T} \, ds = \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) \cdot \frac{\mathbf{r}'(t)}{\|\mathbf{r}'(t)\|} \|\mathbf{r}'(t)\| \, dt = \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t) \, dt. \]

ec

Por lo tanto, tenemos la siguiente fórmula para calcular integrales de línea vectoriales:

\[ \int_C \mathbf{F} \cdot \mathbf{T} \, ds = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t) \, dt. ♠\]

Debido a la Ecuación ♠, a menudo usamos la notación \( \int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} \) para la integral de línea \( \int_C \mathbf{F} \cdot \mathbf{T} \, ds \).

Si \( \mathbf{r}(t) = \langle x(t), y(t), z(t) \rangle \), entonces \( d\mathbf{r} \) denota el vector diferencial \( \langle x'(t), y'(t), z'(t) \rangle \, dt \).

Ejemplo Ilustrativo 10.13.5: Evaluación de una Integral de Línea Vectorial

Encuentra el valor de la integral \( \int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} \), donde C es el semicírculo parametrizado por \( \mathbf{r}(t) = \langle \cos t, \sin t \rangle \), \( 0 \leq t \leq \pi \) y \( \mathbf{F} = \langle -y, x \rangle \).

Solución:

Podemos usar la Ecuación ♠ para convertir la variable de integración de \( s \) a \( t \). Entonces tenemos

\[ \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) = \langle -\sin t, \cos t \rangle \text{ y } \mathbf{r}'(t) = \langle -\sin t, \cos t \rangle. \]

Por lo tanto,

\[ \begin{aligned} \int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} &= \int_0^\pi \langle -\sin t, \cos t \rangle \cdot \langle -\sin t, \cos t \rangle \, dt \\ &= \int_0^\pi \sin^2 t + \cos^2 t \, dt \\ &= \int_0^\pi 1 \, dt = \pi. \end{aligned} \]

Observe la figura 10.13.7

Ejemplo Ilustrativo 10.13.6: Inversión de la Orientación

Encuentra el valor de la integral \( \int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} \), donde C es el semicírculo parametrizado por \( \mathbf{r}(t) = \langle \cos (t + \pi), \sin t \rangle \), \( 0 \leq t \leq \pi \) y \( \mathbf{F} = \langle -y, x \rangle \).

Solución:

Observa que este es el mismo problema que en el Ejemplo 10.13.5, excepto que la orientación de la curva se ha recorrido de forma diferente. En este ejemplo, la parametrización comienza en \( \mathbf{r}(0) = \langle -1, 0 \rangle \) y termina en \( \mathbf{r}(\pi) = \langle 1, 0 \rangle \). Por la Ecuación ♠,

\[ \begin{aligned} \int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} &= \int_0^\pi \langle -\sin t, \cos (t + \pi) \rangle \cdot \langle -\sin (t + \pi), \cos t \rangle \, dt \\ &= \int_0^\pi \langle -\sin t, -\cos t \rangle \cdot \langle \sin t, \cos t \rangle \, dt \\ &= \int_0^\pi (-\sin^2 t – \cos^2 t) \, dt \\ &= \int_0^\pi -1 \, dt = -\pi. \end{aligned} \]

Observa que este es el negativo de la respuesta en el Ejemplo 10.13.5. Tiene sentido que esta respuesta sea negativa porque la orientación de la curva va en contra del “flujo” del campo vectorial.♦

Sea C una curva orientada, y denotemos por \( -C \) la misma curva con la orientación opuesta. Los dos ejemplos anteriores ilustran el siguiente hecho:

\[ \int_{-C} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = -\int_{C} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}. \]

En otras palabras, invertir la orientación de una curva cambia el signo de una integral de línea.

Ejercicio de control 10.13.5

Sea \( \mathbf{F} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} \) un campo vectorial y sea C la curva con parametrización \( \langle t, t^2 \rangle \) para \( 0 \leq t \leq 2 \). ¿Cuál es mayor: \( \int_C \mathbf{F} \cdot \mathbf{T} \, ds \) o \( \int_{-C} \mathbf{F} \cdot \mathbf{T} \, ds \)?

♦

Otra notación estándar para la integral \( \int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} \) es \( \int_C P \, dx + Q \, dy + R \, dz \). En esta notación, \( P \), \( Q \) y \( R \) son funciones, y pensamos en \( d\mathbf{r} \) como el vector \( \langle dx, dy, dz \rangle \). Para justificar esta convención, recuerda que

\[ d\mathbf{r} = \mathbf{T} \, ds = \mathbf{r}'(t) \, dt = \left\langle \frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt}, \frac{dz}{dt} \right\rangle dt. \]

Por lo tanto,

\[ \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \langle P, Q, R \rangle \cdot \langle dx, dy, dz \rangle = P \, dx + Q \, dy + R \, dz. \]

Si \( d\mathbf{r} = \langle dx, dy, dz \rangle \), entonces \( \frac{d\mathbf{r}}{dt} = \left\langle \frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt}, \frac{dz}{dt} \right\rangle \), lo que implica que \( d\mathbf{r} = \left\langle \frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt}, \frac{dz}{dt} \right\rangle dt \). Por lo tanto,

\[ \int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_C P \, dx + Q \, dy + R \, dz \] \[ = \int \left( P(\mathbf{r}(t)) \frac{dx}{dt} + Q(\mathbf{r}(t)) \frac{dy}{dt} + R(\mathbf{r}(t)) \frac{dz}{dt} \right) dt. ◊ \]

Ejemplo Ilustrativo 10.13.7: Calculando el Valor de una Integral de la Forma

\[ \int_C P\,dx + Q\,dy + R\,dz \]

Encuentra el valor de la integral \[ \int_C z\,dx + x\,dy + y\,dz, \] donde C es la curva parametrizada por \[ \mathbf{r}(t) = \langle t^2, \sqrt{t}, t \rangle, \quad 1 \leq t \leq 4. \]

Solución:

Como en nuestros ejemplos anteriores, para calcular esta integral de línea, debemos realizar un cambio de variables para escribir todo en términos de t. En este caso, la Ecuación ◊ nos permite hacer este cambio:

\[ \begin{aligned} \int_C z\,dx + x\,dy + y\,dz &= \int_1^4 \left( t (2t) + t^2 \left( \frac{1}{2\sqrt{t}} \right) + \sqrt{t} \right) dt \\ &= \int_1^4 \left( 2t^2 + \frac{t^{3/2}}{2} + \sqrt{t} \right) dt \\ &= \left[ \frac{2t^3}{3} + \frac{t^{5/2}}{5} + \frac{2t^{3/2}}{3} \right]_{t=1}^{t=4} \\ &= \frac{793}{15}. \end{aligned} \]

♦

Ejercicio de control 10.13.6

Encuentra el valor de \[ \int_C 4x\,dx + z\,dy + 4y^2\,dz, \] donde C es la curva parametrizada por \[ \mathbf{r}(t) = \langle 4 \cos(2t), 2 \sin(2t), 3 \rangle, \quad 0 \leq t \leq \frac{\pi}{4}. \]

♦

Hemos aprendido a integrar curvas suaves orientadas. Ahora, supongamos que C es una curva orientada que no es suave, pero que se puede escribir como la unión de un número finito de curvas suaves. En este caso, decimos que C es una curva suave a trozos. Para ser precisos, la curva C es suave a trozos si C se puede escribir como una unión de n curvas suaves \(C_1, C_2, \dots, C_n\) tales que el extremo de \(C_i\) es el punto de inicio de \(C_{i+1}\) (Figura 10.13.8). Cuando las curvas \(C_i\) satisfacen la condición de que el extremo de \(C_i\) es el punto de inicio de \(C_{i+1}\), escribimos su unión como \(C_1 + C_2 + \dots + C_n\).

Figura 10.13.8 La unión de C₁, C_2, C₃ es una curva suave a trozos.

El siguiente teorema resume varias propiedades clave de las integrales de línea vectoriales (o de campos vectoriales).

Teorema 10.13.3: Propiedades de las Integrales de Línea Vectoriales (o de Campos Vectoriales)

Sean F y G campos vectoriales continuos con dominios que incluyen la curva suave orientada C. Entonces:

♦

Observa las similitudes entre estos elementos y las propiedades de las integrales de una variable. Las propiedades i. y ii. dicen que las integrales de línea son lineales, lo cual también es cierto para las integrales de una variable. La propiedad iii. dice que invertir la orientación de una curva cambia el signo de la integral. Si pensamos en la integral como el cálculo del trabajo realizado sobre una partícula que se mueve a lo largo de C, entonces esto tiene sentido. Si la partícula se mueve hacia atrás en lugar de hacia adelante, entonces el valor del trabajo realizado tiene el signo opuesto. Esto es análogo a la ecuación:

\(\int_a^b f(x) \, dx = – \int_b^a f(x) \, dx\)

Finalmente, si \([a_1, a_2], [a_2, a_3], \ldots, [a_{n-1}, a_n]\) son intervalos, entonces:

\(\int_{a_1}^{a_n} f(x) \, dx = \int_{a_1}^{a_2} f(x) \, dx + \int_{a_2}^{a_3} f(x) \, dx + \cdots + \int_{a_{n-1}}^{a_n} f(x) \, dx\)

que es análogo a la propiedad iv.

Ejemplo Ilustrativo 10.13.8: Usando Propiedades para Calcular una Integral de Línea Vectorial

Encuentra el valor de la integral \( \int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{s} \), donde C es el rectángulo (orientado en sentido antihorario) en un plano con vértices \((0, 0), (2, 0), (2, 1),\) y \((0, 1)\), y donde \( \mathbf{F} = \langle x – 2y, y – x \rangle \) (Figura 10.13.9).

Figura 10.13.9 Rectángulo y campo vectorial para el Ejemplo 10.13.8

Solución:

Note que la curva C es la unión de sus cuatro lados, y cada lado es suave. Por lo tanto, C es suave por partes. Sea \(C_1\) representa el lado desde \((0, 0)\) hasta \((2, 0)\), sea \(C_2\) representa el lado desde \((2, 0)\) hasta \((2, 1)\), sea \(C_3\) representa el lado desde \((2, 1)\) hasta \((0, 1)\), y sea \(C_4\) representa el lado desde \((0, 1)\) hasta \((0, 0)\) (Figura 10.13.9). Entonces,

\(\int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_{C_1} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} + \int_{C_2} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} + \int_{C_3} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} + \int_{C_4} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}\).

Queremos calcular cada una de las cuatro integrales en el lado derecho usando la Ecuación ♥. Antes de hacer esto, necesitamos una parametrización de cada lado del rectángulo. Aquí están nuestras cuatro parametrizaciones (note que atraviesan C en sentido antihorario):

\(C_1: \langle t, 0 \rangle, 0 \leq t \leq 2\)
\(C_2: \langle 2, t \rangle, 0 \leq t \leq 1\)
\(C_3: \langle 2-t, 1 \rangle, 0 \leq t \leq 2\)
\(C_4: \langle 0, 1-t \rangle, 0 \leq t \leq 1\).

Por lo tanto,

\(\int_{C_1} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_0^2 \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t) \, dt\)
\(= \int_0^2 \langle t – 2(0), 0 – t \rangle \cdot \langle 1, 0 \rangle \, dt = \int_0^2 t \, dt\)
\(= \left[ \frac{t^2}{2} \right]_0^2 = 2.\)

Note que el valor de esta integral es positivo, lo cual no debería ser sorprendente. A medida que nos movemos a lo largo de la curva \(C_1\) de izquierda a derecha, nuestro movimiento fluye en la dirección general del campo vectorial mismo. En cualquier punto a lo largo de \(C_1\), el vector tangente a la curva y el correspondiente vector fuerza en el campo forman un ángulo que es menor a 90°. Por lo tanto, el vector tangente y el vector fuerza tienen un producto punto positivo a lo largo de \(C_1\), y la integral de línea tendrá un valor positivo.

Los cálculos para las otras tres integrales de línea se hacen similarmente:

\(\int_{C_2} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_0^1 \langle 2 – 2t, t – 2 \rangle \cdot \langle 0, 1 \rangle \, dt\)
\(= \int_0^1 (t – 2) \, dt\)
\(= \left[ \frac{t^2}{2} – 2t \right]_0^1 = -\frac{3}{2},\)

\(\int_{C_3} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{s} = \int_0^2 \langle (2-t) – 2(1), 1 – (2-t) \rangle \cdot \langle -1, 0 \rangle \, dt\)
\(= \int_0^2 t \, dt = 2,\)

y

\(\int_{C_4} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_0^1 \langle -2(1-t), (1-t) – 0 \rangle \cdot \langle 0, -1 \rangle \, dt\)
\(= \int_0^1 (t – 1) \, dt\)
\(= \left[ \frac{t^2}{2} – t \right]_0^1 = -\frac{1}{2}.\)

Por lo tanto, tenemos \(\int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = 2.\) ♦

Ejercicio de control 10.13.7

Calcula la integral de línea \( \int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} \), donde \(\mathbf{F}\) es el campo vectorial \( \langle y^2, 2xy + 1 \rangle \) y C es un triángulo con vértices \((0, 0), (4, 0),\) y \((0, 5)\), orientado en sentido antihorario. ♦

Aplicaciones de las Integrales de Línea

Las integrales de línea escalares tienen muchas aplicaciones. Se pueden usar para calcular la longitud o la masa de un alambre, el área superficial de una lámina de una altura dada, o el potencial eléctrico de un alambre cargado dada una densidad de carga lineal. Las integrales de línea vectoriales son extremadamente útiles en física. Se pueden usar para calcular el trabajo realizado sobre una partícula a medida que se mueve a través de un campo de fuerza, o el caudal de un fluido a través de una curva. Aquí, calculamos la masa de un alambre usando una integral de línea escalar y el trabajo realizado por una fuerza usando una integral de línea vectorial.

Suponga que un trozo de alambre se modela mediante la curva C en el espacio. La masa por unidad de longitud (la densidad lineal) del alambre es una función continua \( \rho(x, y, z) \). Podemos calcular la masa total del alambre usando la integral de línea escalar \( \int_C \rho(x, y, z) \, ds \). La razón es que la masa es la densidad multiplicada por la longitud, y por lo tanto la densidad de un pequeño trozo del alambre se puede aproximar por \( \rho(x^*, y^*, z^*) \Delta s \) para algún punto \((x^*, y^*, z^*)\) en el trozo. Dejando que la longitud de los trozos se reduzca a cero con un límite se obtiene la integral de línea \( \int_C \rho(x, y, z) \, ds \).

Ejemplo Ilustrativo 10.13.9: Calculando la Masa de un Alambre

Calcula la masa de un resorte en la forma de una curva parametrizada por \( \langle t, 2 \cos t, 2 \sin t \rangle \), \( 0 \leq t \leq \frac{\pi}{2} \), con una función de densidad dada por \( \rho(x, y, z) = e^x + yz \) kg/m (Figura 10.13.10).

Figura 10.13.10

Solución:

Para calcular la masa del resorte, debemos encontrar el valor de la integral de línea escalar \( \int_C (e^x + yz) \, ds \), donde C es la hélice dada. Para calcular esta integral, la escribimos en términos de \(t\) usando la Ecuación ♥:

\( \int_C e^x + yz \, ds = \int_0^{\pi/2} ((e^t + 4 \cos t \sin t) \sqrt{1 + (-2 \cos t)^2 + (2 \sin t)^2}) \, dt \)
\( = \int_0^{\pi/2} ((e^t + 4 \cos t \sin t) \sqrt{5}) \, dt \)
\( = \sqrt{5} [e^t + 2 \sin^2 t]_{t=0}^{t=\pi/2} \)
\( = \sqrt{5} (e^{\pi/2} + 1). \)

Por lo tanto, la masa es \( \sqrt{5} (e^{\pi/2} + 1) \) kg. ♦

Ejercicio de control 10.13.8

Calcula la masa de un resorte en forma de hélice parametrizada por \(\mathbf{r}(t) = \langle \cos t, \sin t, t \rangle\), \(0 \leq t \leq 6\pi\), con una función de densidad dada por \(\rho(x, y, z) = x + y + z\) kg/m. ♦

Cuando definimos por primera vez las integrales de línea vectorial, utilizamos el concepto de trabajo para motivar la definición. Por lo tanto, no es sorprendente que calcular el trabajo realizado por un campo vectorial que representa una fuerza sea un uso estándar de las integrales de línea vectorial. Recuerda que si un objeto se mueve a lo largo de la curva C en un campo de fuerza F, entonces el trabajo requerido para mover el objeto está dado por:

\( \int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} \)

Ejemplo Ilustrativo 10.13.10: Cálculo del trabajo realizado

¿Cuánto trabajo se requiere para mover un objeto en un campo de fuerza vectorial \(\mathbf{F} = \langle yz, xy, xz \rangle\) a lo largo del camino \(\mathbf{r}(t) = \langle t^2, t, t^4 \rangle\), \(0 \leq t \leq 1\)? Ver Figura 6.10.13.11.

Solución:

Sea C la curva dada. Necesitamos encontrar el valor de \( \int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} \). Para hacer esto, usamos la Ecuación ♠:

\( \int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_0^1 \langle t^5, t^3, t^6 \rangle \cdot \langle 2t, 1, 4t^3 \rangle dt \)

\( = \int_0^1 (2t^6 + t^3 + 4t^9) dt \)

\( = \left[ \frac{2t^7}{7} + \frac{t^4}{4} + \frac{2t^{10}}{5} \right]_{t=0}^{t=1} = \frac{131}{140}. \)

Figura 10.13.11  ♦

Flujo y Circulación

Cerramos esta sección discutiendo dos conceptos clave relacionados con las integrales de línea: el flujo a través de una curva plana y la circulación a lo largo de una curva plana. El flujo se usa en aplicaciones para calcular el flujo de fluido a través de una curva, y el concepto de circulación es importante para caracterizar campos gradientes conservativos en términos de integrales de línea. Ambos conceptos se utilizan ampliamente en el resto de este capítulo. La idea de flujo es especialmente importante para el teorema de Green, y en dimensiones superiores para el teorema de Stokes y el teorema de la divergencia.

Sea C una curva plana y sea F un campo vectorial en el plano. Imagine que C es una membrana a través de la cual fluyen fluidos, pero C no impide el flujo del fluido. En otras palabras, C es una membrana idealizada invisible al fluido. Suponga que F representa el campo de velocidad del fluido. ¿Cómo podríamos cuantificar la tasa a la que el fluido está cruzando C?

Recuerde que la integral de línea de F a lo largo de C es \( \int_C \mathbf{F} \cdot \mathbf{T} ds \) – en otras palabras, la integral de línea es el producto punto del campo vectorial con el vector unitario tangente con respecto a la longitud de arco. Si reemplazamos el vector unitario tangente con el vector normal unitario N(t) y en su lugar calculamos la integral \( \int_C \mathbf{F} \cdot \mathbf{N} ds \), determinamos el flujo a través de C. Para ser precisos, la definición de la integral \( \int_C \mathbf{F} \cdot \mathbf{N} ds \) es la misma que la integral \( \int_C \mathbf{F} \cdot \mathbf{T} ds \), excepto que T en la suma de Riemann se reemplaza con N. Por lo tanto, el flujo a través de C se define como:

\( \int_C \mathbf{F} \cdot \mathbf{N} ds = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \mathbf{F}(P_i^*) \cdot \mathbf{N}(P_i^*) \Delta s_i, \)

donde \( P_i^* \) y \( \Delta s_i \) se definen como lo fueron para la integral \( \int_C \mathbf{F} \cdot \mathbf{T} ds \). Por lo tanto, una integral de flujo es una integral que es *perpendicular* a una integral de línea vectorial, porque N y T son vectores perpendiculares.

Si F es un campo de velocidad de un fluido y C es una curva que representa una membrana, entonces el flujo de F a través de C es la cantidad de fluido que fluye a través de C por unidad de tiempo, o la tasa de flujo.

Más formalmente, sea C una curva plana parametrizada por \(\mathbf{r}(t) = \langle x(t), y(t) \rangle\), \(a \leq t \leq b\). Sea \(\mathbf{n}(t) = \langle y'(t), -x'(t) \rangle\) el vector que es normal a C en el punto final de \(\mathbf{r}(t)\) y apunta a la derecha a medida que recorremos C en la dirección positiva (Figura 10.13.12). Entonces, \(\mathbf{N}(t) = \frac{\mathbf{n}(t)}{||\mathbf{n}(t)||}\) es el vector normal unitario a C en el punto final de \(\mathbf{r}(t)\) que apunta a la derecha a medida que recorremos C.

Definición 10.13.3

El flujo de F a través de C es la integral de línea \( \displaystyle \int_C \mathbf{F} \cdot \frac{\mathbf{n}(t)}{||\mathbf{n}(t)||} ds. \) ♦

Figura 10.13.12 El flujo del campo vectorial F a través de la curva C se calcula mediante una integral similar a una integral de línea vectorial.

Ahora damos una fórmula para calcular el flujo a través de una curva. Esta fórmula es análoga a la fórmula utilizada para calcular una integral de línea vectorial (ver Ecuación ♠).

Teorema 10.13.4: Calculando el Flujo a través de una Curva

Sea F un campo vectorial y sea C una curva suave con parametrización \(\mathbf{r}(t) = \langle x(t), y(t) \rangle\), \(a \leq t \leq b\). Sea \(\mathbf{n}(t) = \langle y'(t), -x'(t) \rangle\). El flujo de F a través de C es

\( \displaystyle \int_C \mathbf{F} \cdot \mathbf{N} ds = \displaystyle \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{n}(t) dt \)

♦

Prueba:

La prueba de la Ecuación 6.11 es similar a la prueba de la Ecuación 6.8. Antes de derivar la fórmula, observe que \(||\mathbf{n}(t)|| = ||\langle y'(t), -x'(t) \rangle|| = \sqrt{(y'(t))^2 + (x'(t))^2} = ||\mathbf{r}'(t)||\). Por lo tanto,

\( \displaystyle \int_C \mathbf{F} \cdot \mathbf{N} ds = \displaystyle \int_C \mathbf{F} \cdot \frac{\mathbf{n}(t)}{||\mathbf{n}(t)||} ds \)

\( = \displaystyle \int_a^b \mathbf{F} \cdot \frac{\mathbf{n}(t)}{||\mathbf{n}(t)||} ||\mathbf{r}'(t)|| dt \)

\( = \displaystyle \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{n}(t) dt. \)

♦

Ejemplo Ilustrativo 10.13.11: Flujo a través de una curva

Calcular el flujo de \(\mathbf{F} = \langle 2x, 2y \rangle\) a través de un círculo unitario orientado en sentido antihorario (Figura 10.13.13).

Figura 10.13.13 Un círculo unitario en un campo vectorial \(\mathbf{F} = \langle 2x, 2y \rangle\).

Solución:

Para calcular el flujo, primero necesitamos una parametrización del círculo unitario. Podemos usar la parametrización estándar \(\mathbf{r}(t) = \langle \cos t, \sin t \rangle\), \(0 \leq t \leq 2\pi\). El vector normal a un círculo unitario es \(\langle \cos t, \sin t \rangle\). Por lo tanto, el flujo es:

\( \displaystyle \int_C \mathbf{F} \cdot \mathbf{N} ds = \int_0^{2\pi} \langle 2 \cos t, 2 \sin t \rangle \cdot \langle \cos t, \sin t \rangle dt \)

\( = \int_0^{2\pi} (2 \cos^2 t + 2 \sin^2 t) dt = 2 \int_0^{2\pi} (\cos^2 t + \sin^2 t) dt \)

\( = 2 \int_0^{2\pi} dt = 4\pi. \)

♦

Ejercicio de control 10.13.9

Calcular el flujo de \(\mathbf{F} = \langle x + y, 2y \rangle\) a través del segmento de línea desde (0, 0) hasta (2, 3), donde la curva está orientada de izquierda a derecha. ♦

Sea \(\mathbf{F}(x, y) = \langle P(x, y), Q(x, y) \rangle\) un campo vectorial bidimensional. Recuerde que la integral \( \int_C \mathbf{F} \cdot \mathbf{T} ds \) a veces se escribe como \( \int_C Pdx + Qdy \). Análogamente, el flujo \( \int_C \mathbf{F} \cdot \mathbf{N} ds \) a veces se escribe en la notación \( \int_C -Qdx + Pdy \), porque el vector normal unitario N es perpendicular al vector tangente unitario T. Al rotar el vector \( d\mathbf{r} = \langle dx, dy \rangle \) 90° se obtiene el vector \( \langle dy, -dx \rangle \). Por lo tanto, la integral de línea en el Ejemplo 10.13.8 se puede escribir como \( \int_C -2ydx + 2xdy \).

Ahora que hemos definido el flujo, podemos dirigir nuestra atención a la circulación. La integral de línea de un campo vectorial F a lo largo de una curva cerrada orientada se llama la circulación de F a lo largo de C. Las integrales de línea de circulación tienen su propia notación: \( \oint_C \mathbf{F} \cdot \mathbf{T} ds \). El círculo en el símbolo de la integral denota que C es “circular” en el sentido de que no tiene puntos finales. El Ejemplo 10.13.5 muestra un cálculo de circulación.

Para ver de dónde proviene el término circulación y qué mide, sea \(\mathbf{v}\) representa el campo de velocidad de un fluido y sea C sea una curva cerrada orientada. En un punto particular P, cuanto más cerca esté la dirección de \(\mathbf{v}(P)\) a la dirección de \(\mathbf{T}(P)\), mayor será el valor del producto punto \(\mathbf{v}(P) \cdot \mathbf{T}(P)\). El valor máximo de \(\mathbf{v}(P) \cdot \mathbf{T}(P)\) ocurre cuando los dos vectores apuntan exactamente en la misma dirección; el valor mínimo de \(\mathbf{v}(P) \cdot \mathbf{T}(P)\) ocurre cuando los dos vectores apuntan en direcciones opuestas. Por lo tanto, el valor de la circulación \( \oint_C \mathbf{v} \cdot \mathbf{T} ds \) mide la tendencia del fluido a moverse en la dirección de C.

Ejemplo Ilustrativo 10.13.12: Calculando la Circulación

Sea \(\mathbf{F} = \langle -y, x \rangle\) el campo vectorial del Ejemplo 10.13.3 y sea C representar el círculo unitario orientado en sentido antihorario. Calcular la circulación de \(\mathbf{F}\) a lo largo de C.

Solución:

Usamos la parametrización estándar del círculo unitario: \(\mathbf{r}(t) = \langle \cos t, \sin t \rangle\), \(0 \leq t \leq 2\pi\). Entonces, \(\mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) = \langle -\sin t, \cos t \rangle\) y \(\mathbf{r}'(t) = \langle -\sin t, \cos t \rangle\). Por lo tanto, la circulación de F a lo largo de C es

\( \displaystyle \oint_C \mathbf{F} \cdot \mathbf{T} ds = \int_0^{2\pi} \langle -\sin t, \cos t \rangle \cdot \langle -\sin t, \cos t \rangle dt \)

\( = \int_0^{2\pi} (\sin^2 t + \cos^2 t) dt \)

\( = \int_0^{2\pi} dt = 2\pi. \)

Observe que la circulación es positiva. La razón de esto es que la orientación de C “fluye” con la dirección de F. En cualquier punto a lo largo del círculo, el vector tangente y el vector de F forman un ángulo de menos de 90°, y por lo tanto el producto punto correspondiente es positivo. ♦

En el Ejemplo anterior, ¿qué pasaría si hubiéramos orientado el círculo unitario en sentido horario? Denotamos el círculo unitario orientado en sentido horario por –C. Entonces,

\( \displaystyle \int_{-C} \mathbf{F} \cdot \mathbf{T} ds = – \int_{C} \mathbf{F} \cdot \mathbf{T} ds = -2\pi. \)

Observe que la circulación es negativa en este caso. La razón de esto es que la orientación de la curva fluye en contra de la dirección de F.

Ejercicio de control 10.13.10

Calcular la circulación de \(\mathbf{F}(x, y) = \left\langle -\frac{y}{x^2 + y^2}, \frac{x}{x^2 + y^2} \right\rangle\) a lo largo de un círculo unitario orientado en sentido antihorario. ♦

Ejemplo Ilustrativo 10.13.13: Cálculo del trabajo

Calcular el trabajo realizado sobre una partícula que recorre el círculo C de radio 2 centrado en el origen, orientado en sentido antihorario, por el campo \(\mathbf{F}(x, y) = \langle -2, y \rangle\). Asuma que la partícula inicia su movimiento en (1, 0).

Solución:

El trabajo realizado por F sobre la partícula es la circulación de F a lo largo de C: \( \oint_C \mathbf{F} \cdot \mathbf{T} ds \). Usamos la parametrización \(\mathbf{r}(t) = \langle 2 \cos t, 2 \sin t \rangle\), \(0 \leq t \leq 2\pi\) para C. Entonces, \(\mathbf{r}'(t) = \langle -2 \sin t, 2 \cos t \rangle\) y \(\mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) = \langle -2, 2 \sin t \rangle\). Por lo tanto, la circulación de F a lo largo de C es

\( \displaystyle \oint_C \mathbf{F} \cdot \mathbf{T} ds = \int_0^{2\pi} \langle -2, 2 \sin t \rangle \cdot \langle -2 \sin t, 2 \cos t \rangle dt \)

\( = \int_0^{2\pi} (4 \sin t + 4 \sin t \cos t) dt \)

\( = \left[ -4 \cos t + 4 \sin^2 t \right]_0^{2\pi} \)

\( = (-4 \cos(2\pi) + 2 \sin^2(2\pi)) – (-4 \cos(0) + 4 \sin^2(0)) \)

\( = -4 + 4 = 0. \)

El campo de fuerza no realiza ningún trabajo sobre la partícula.

Observe que la circulación de F a lo largo de C es cero. Además, observe que dado que F es el gradiente de \(f(x, y) = -2x + \frac{y^2}{2}\), F es conservativo. Probamos en una sección posterior que bajo ciertas condiciones generales, la circulación de un campo vectorial conservativo a lo largo de una curva cerrada es cero. ♦

Ejercicio de control 10.13.11

Calcular el trabajo realizado por el campo \(\mathbf{F}(x, y) = \langle 2x, 3y \rangle\) sobre una partícula que recorre el círculo unitario. Asuma que la partícula comienza su movimiento en (-1, 0). ♦