Integrales de línea

INTEGRALES DE LÍNEA: Objetivos de aprendizaje

10.13.1. Calcular una integral de línea escalar a lo largo de una curva.
10.13.2. Calcular una integral de línea vectorial a lo largo de una curva orientada en el espacio.
10.13.3. Use una integral de línea para calcular el trabajo realizado al mover un objeto a lo largo de una curva en un campo vectorial.
10.13.4 Describa el flujo y la circulación de un campo vectorial.

Estamos familiarizados con integrales de variable única de la forma

donde el dominio de integración es un intervalo [a, b]. Tal intervalo puede considerarse como una curva en el plano xy, ya que el intervalo define un segmento de recta con puntos finales (a, 0) y (b, 0); en otras palabras, un segmento de recta ubicado en el eje x . Supongamos que queremos integrar sobre cualquier curva en el plano, no solo sobre un segmento de recta en el eje x. Tal tarea requiere un nuevo tipo de integral, llamada integral de línea.

Las integrales de línea tienen muchas aplicaciones para la ingeniería y la física. También nos permiten hacer varias generalizaciones útiles del Teorema fundamental del cálculo. Y, están estrechamente conectados a las propiedades de los campos vectoriales, como veremos.

Integrales de línea escalar

Una integral de línea nos da la capacidad de integrar funciones multivariables y campos vectoriales sobre curvas arbitrarias en un plano o en el espacio. Hay dos tipos de integrales de línea: integrales de línea escalar e integrales de línea vectorial. Las integrales de línea escalar son integrales de una función escalar sobre una curva en un plano o en el espacio. Las integrales de línea vectorial son integrales de un campo vectorial sobre una curva en un plano o en el espacio. Veamos primero las integrales de línea escalar.

Una integral de línea escalar se define tal como se define una integral de variable única, excepto que para una integral de línea escalar, el integrando es una función de más de una variable y el dominio de integración es una curva en un plano o en el espacio, como opuesto a una curva en el eje x.

Para una integral de línea escalar, dejamos que C sea una curva suave en un plano o en el espacio y que f sea una función con un dominio que incluye C. Cortamos la curva en pedazos pequeños. Para cada pieza, elegimos el punto P en esa pieza y evaluamos f en P. (Podemos hacer esto porque todos los puntos en la curva están en el dominio de f.) Multiplicamos f (P) por la longitud del arco de la pieza Δs, agregue el producto f (P) Δs sobre todas las piezas, y luego deje que la longitud del arco de las piezas se reduzca a cero tomando un límite. El resultado es la integral de la línea escalar de la función sobre la curva.

Para una descripción formal de una integral de línea escalar, dejemos que C sea una curva suave en el espacio dada por la parametrización r(t) = ⟨x(t), y(t), z(t)⟩, a ≤ t ≤ b. Sea f (x, y, z) una función con un dominio que incluye la curva C. Para definir la integral de línea de la función f sobre C, comenzamos como comienzan la mayoría de las definiciones de una integral: cortamos la curva en pedazos pequeños. Particione el intervalo de parámetro [a, b] en n subintervalos [t _{i − 1}, t_i] de igual ancho para l ≤ i ≤ n, donde t₀ = a  y  t_n = b (Figura 10.13_1).