| 6. Aplicaciones de la integral | Ejercicios propuestos del Capítulo 6.1 |

6.1. ÁREAS ENTRE CURVAS

Objetivos de aprendizaje:

6.1.1. Determinar el área de una región entre dos curvas integrando con respecto a la variable independiente.
6.1.2. Encontrar el área de una región compuesta.
6.1.3. Determinar el área de una región entre dos curvas integrando con respecto a la variable dependiente.

       En Introducción a la integración, desarrollamos el concepto de integral definida para calcular el área debajo de una curva en un intervalo dado. En esta sección, ampliamos esa idea para calcular el área de regiones más complejas. Comenzamos por encontrar el área entre dos curvas que son funciones de x, iniciando con el caso simple en el que el valor de una función siempre es mayor que el otro. Luego observamos casos en los que se cruzan las gráficas de las funciones. Por último, consideramos cómo calcular el área entre dos curvas que son funciones de y.

6.1.1 Área de una región entre dos curvas

Supongamos que f (x) y g(x) son funciones continuas en un intervalo cerrado [a, b] tal que f (x) ≥ g(x) en [a, b]. Queremos encontrar el área entre las gráficas de las funciones, como se muestra en la siguiente figura.

Figura 6.1_1  El área entre las gráficas de dos funciones, f (x) y g (x), en el intervalo [a, b].

Como lo hicimos antes, vamos a dividir el intervalo en el eje x y aproximar el área entre las gráficas de las funciones con rectángulos. Entonces, para i = 0, 1, 2, …, n, sea P = {x_i} una partición regular de [a, b]. Luego, para i = 1, 2, …, n, elija un punto x_i* ∈ [x_{i − 1}, x_i], y en cada intervalo [x_{i − 1}, x_i] construya un rectángulo que se extienda verticalmente desde g (x_i*) a f (x_i*). La figura 6.1_2 (a) muestra los rectángulos cuando x_i* se selecciona como el punto final izquierdo del intervalo con n = 10. La figura 6.1_2 (b) muestra un rectángulo representativo en detalle.

Figura 6.1_2 (a) Podemos aproximar el área entre las gráficas de dos funciones, f (x) y g (x), con rectángulos. (b) El área de un rectángulo típico va de una curva a otra.

La altura de cada rectángulo individual es f (x_i*) − g (x_i*) y el ancho de cada rectángulo es Δx. Agregando las áreas de todos los rectángulos, vemos que el área entre las curvas se aproxima por

Esta es una suma de Riemann, entonces tomamos el límite cuando n → ∞ y obtenemos

Estos hallazgos se resumen en el siguiente teorema.

Teorema 6.1.1. Encontrar el área entre dos curvas

Sean \(f(x)\) y \(g(x)\) funciones continuas tales que \(f(x) \geq g(x)\) sobre un intervalo \([a, b]\). Denotemos con \(R\) la región acotada superiormente por la gráfica de \(f(x)\), inferiormente por la gráfica de \(g(x)\), y a la izquierda y a la derecha por las líneas \(x = a\) y \(x = b\), respectivamente. Entonces, el área de \(R\) está dada por

\[ A = \int_{a}^{b} [f(x) – g(x)] \, dx. \]

♦

Aplicamos este teorema en el siguiente ejemplo.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 6.1_1. Hallar el área de una región entre dos curvas 

Si R es la región acotada arriba por la gráfica de la función f (x) = x + 4 y abajo por la gráfica de la función g(x) = 3 − x/2 en el intervalo [1, 4], encuentre el área de región R.

Solución:

La región se muestra en la siguiente figura.

Figura 6.1_3 Se muestra una región entre dos curvas donde una curva es siempre mayor que la otra.

Tenemos:

\[ \begin{aligned} A &= \int_{a}^{b} [f(x) – g(x)] \, dx \\ &= \int_{1}^{4} [(x+4) – (3 – \frac{x}{2})] \, dx = \int_{1}^{4} [\frac{3x}{2} + 1] \, dx \\ &= \left[ \frac{3x^2}{4} + x \right] \bigg|_{1}^{4} = (16 – \frac{7}{4}) = \frac{57}{4}. \end{aligned} \]

El área de la región es \(\frac{57}{4}\) unidades\(^2\). ♦

Ejercicio de control 6.1_1

Si R es la región limitada por las gráficas de las funciones f (x) = x/2 + 5 y g(x) = x + 1/2 en el intervalo [1, 5], encuentre el área de la región R. ♦

       En el ejemplo ilustrativo 6.1_1, definimos el intervalo de interés como parte del enunciado del problema. Sin embargo, con bastante frecuencia queremos definir nuestro intervalo de interés en función de dónde se cruzan las gráficas de las dos funciones. Esto se ilustra en el siguiente ejemplo.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 6.1_2. Hallar el área de una región entre dos curvas 

Si R es la región limitada arriba por la gráfica de la función f (x) = 9 − (x / 2)² y abajo por la gráfica de la función g(x) = 6 − x, encuentre el área de la región R.

Solución:

La región se muestra en la siguiente figura.

Figura 6.1_4 Esta gráfica muestra la región debajo de la gráfica de f (x) y arriba de la gráfica de g(x).

Primero necesitamos calcular dónde se cruzan (intersectan) las gráficas de las funciones. Estableciendo f (x) = g(x), obtenemos

Las gráficas de las funciones se cruzan cuando x = 6 o x = −2, por lo que queremos integrar de −2 a 6. Como f (x) ≥ g(x) para −2 ≤ x ≤ 6, obtenemos

El área de la región es 64/3 unidades². ♦

Ejercicio de control 6.1_2

Si R es la región acotada arriba por la gráfica de la función f (x) = x y abajo por la gráfica de la función g(x) = x⁴, encuentre el área de la región R. ♦

Áreas de regiones compuestas

Hasta ahora, hemos requerido f (x) ≥ g(x) en todo el intervalo de interés, pero ¿qué sucede si queremos ver regiones limitadas por las gráficas de funciones que se cruzan entre sí? En ese caso, modificamos el proceso que acabamos de desarrollar utilizando la función de valor absoluto.

Teorema 6.1.2. Encontrar el área de una región entre curvas que se cruzan

Sean \(f(x)\) y \(g(x)\) funciones continuas sobre un intervalo \([a, b]\). Sea \(R\) la región entre las gráficas de \(f(x)\) y \(g(x)\), y acotada a la izquierda y a la derecha por las líneas \(x = a\) y \(x = b\), respectivamente. Entonces, el área de \(R\) está dada por

\[ A = \int_{a}^{b} |f(x) – g(x)| \, dx. \]

♦

En la práctica, la aplicación del anterior teorema requiere que separemos el intervalo [a, b] y evaluemos varias integrales, dependiendo de cuál de los valores de la función sea mayor en una parte determinada del intervalo. Estudiamos este proceso en el siguiente ejemplo.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 6.1_3. Hallar el área de una región delimitada por funciones que se cruzan

Si R es la región entre las gráficas de las funciones f (x) = senx y g(x) = cosx en el intervalo [0, π], encuentre el área de la región R.

Solución:

La región se muestra en la siguiente figura.

Figura 6.1_5 La región entre estas dos curvas en el intervalo [0, π] se puede dividir en dos subregiones.

Las gráficas de las funciones se intersecan en x = π/4 . Para x∈ [0, π/4], cosx ≥ senx, entonces

Por otro lado, para x∈ [π/4, π], senx ≥ cosx, entonces

Luego

El área de la región es 2√2 unidades². ♦

Ejercicio de control 6.1_3

Si R es la región entre las gráficas de las funciones f (x) = senx y g(x) = cosx en el intervalo [π/2, 2π], encuentre el área de la región R. ♦

EJEMPLO ILUSTRATIVO 6.1_4. Encontrar el área de una región compleja

Considere la región que se muestra en la Figura 6.1_6. Encuentre el área de R.

Figura 6.1_6 Se requieren dos integrales para calcular el área de esta región.

Solución:
Como en el ejemplo 6.1_3, necesitamos dividir el intervalo en dos partes. Las gráficas de las funciones se intersecan en x = 1 (establecer f (x) = g(x) y resolver para x), por lo que evaluamos dos integrales separadas: una sobre el intervalo [0, 1] y otra sobre el intervalo [1 , 2].

En el intervalo [0, 1], la región está acotada arriba por f (x) = x² y abajo por el eje x, así que tenemos

En el intervalo [1, 2], la región está acotada arriba por g(x) = 2 − x y abajo por el eje x, por lo que tenemos

Sumando estas áreas, obtenemos

El área de la región es de 5/6 unidades². ♦

Ejercicio de control 6.1_4

Considere la región que se muestra en la siguiente figura. Encuentre el área de R.

♦

Regiones definidas con respecto a la variable dependiente y

       En el ejemplo 6.1_4, tuvimos que evaluar dos integrales separadas para calcular el área de la región. Sin embargo, hay otro enfoque que requiere solo una integral. ¿Qué pasa si tratamos las curvas como funciones de y, en lugar de como funciones de x? Revise la Figura 6.1_6. Tenga en cuenta que la gráfica de la izquierda, que se muestra en rojo, está representada por la función y = f (x) = x². Podríamos fácilmente resolver esto para x y representar la curva mediante la función x = v(y) = √y. (Tenga en cuenta que x = −√y también es una representación válida de la función y = f (x) = x² como función de y. Sin embargo, según la gráfica, está claro que estamos interesados ​​en la raíz cuadrada positiva). De manera similar, la gráfica de la derecha está representada por la función y = g(x) = 2 − x, pero podría representarse fácilmente con la función x = u(y) = 2 − y. Cuando las gráficas se representan como funciones de y, vemos que la región está limitada a la izquierda por la gráfica de una función y a la derecha por la gráfica de la otra función. Por lo tanto, si integramos con respecto a y, necesitamos evaluar solo una integral. Desarrollemos una fórmula para este tipo de integración.

Sean u(y) y v(y) funciones continuas en un intervalo [c, d] tal que u(y) ≥ v(y) para todo y ∈ [c, d]. Queremos encontrar el área entre las gráficas de las funciones, como se muestra en la siguiente figura.

Figura 6.1_7 Podemos encontrar el área entre las gráficas de dos funciones, u(y) y v(y).

       Esta vez, vamos a dividir el intervalo en el eje y y usaremos rectángulos horizontales para aproximar el área entre las funciones. Entonces, para i = 0, 1, 2, …, n, sea Q = {y_i} una partición regular de [c, d]. Entonces, para i = 1, 2, …, n, elija un punto y*i ∈ [y_{i − 1}, y_i], luego sobre cada intervalo [y_{i − 1}, y_i] construya un rectángulo que se extienda horizontalmente desde v(y*i) a u(y*i). La figura 6.1_9 (a) muestra los rectángulos cuando y*i se selecciona como el punto final inferior del intervalo y n = 10. La figura 6.1_9 (b) muestra un rectángulo representativo en detalle.

Figura 6.1_8 (a) Aproximación del área entre las gráficas de dos funciones, u(y) y v(y), con rectángulos. (b) El área de un rectángulo típico.

La altura de cada rectángulo individual es Δy y el ancho de cada rectángulo es u(y*i) − v(y*i). Por lo tanto, el área entre las curvas es aproximadamente

Esta es una suma de Riemann, por lo que tomamos el límite como n → ∞, obteniendo

Estos hallazgos se resumen en el siguiente teorema.

Teorema 6.1.3. Encontrar el área entre dos curvas, integrando a lo largo del eje y.

Sean \(u(y)\) y \(v(y)\) funciones continuas tales que \(u(y) \geq v(y)\) para todo \(y \in [c, d]\). Sea \(R\) denote la región acotada a la derecha por la gráfica de \(u(y)\), a la izquierda por la gráfica de \(v(y)\), y arriba y abajo por las líneas \(y = d\) y \(y = c\), respectivamente. Entonces, el área de \(R\) está dada por

\[ A = \int_{c}^{d} [u(y) – v(y)] \, dy. \]

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EJEMPLO ILUSTRATIVO 6.1_5. Integrar con respecto a y

Repasemos el ejemplo 6.1_4, solo que esta vez integremos con respecto a y. Sea R la región que se muestra en la figura 6.1_9. Encuentre el área de R integrando con respecto a y.

Figura 6.1_9 El área de la región R se puede calcular usando una integral solo cuando las curvas se tratan como funciones de y.

Solución:
Primero debemos expresar las gráficas como funciones de y. Como vimos al comienzo de esta sección, la curva de la izquierda se puede representar con la función x = v(y) = √y, y la curva de la derecha se puede representar con la función x = u(y) = 2 − y.

Ahora tenemos que determinar los límites de la integración. La región está delimitada por debajo por el eje x, por lo que el límite inferior de integración es y = 0. El límite superior de integración está determinado por el punto donde se cruzan las dos gráficas, que es el punto (1, 1), por lo que el límite superior de integración es y = 1. Por tanto, tenemos [c, d] = [0, 1].
Calculando el área de la región, obtenemos

El área de la región es de 5/6 unidades². ♦

Ejercicio de control 6.1_5

Revisemos el ejercicio de control asociado con el ejemplo 6.1_4, solo que esta vez integremos con respecto a y. Sea R la región representada en la siguiente figura. Encuentre el área de R integrando con respecto a y.

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