Áreas entre curvas

Objetivos de aprendizaje

6.1.1. Determinar el área de una región entre dos curvas integrando con respecto a la variable independiente.
6.1.2. Encontrar el área de una región compuesta.
6.1.3. Determinar el área de una región entre dos curvas integrando con respecto a la variable dependiente.

En Introducción a la integración, desarrollamos el concepto de integral definida para calcular el área debajo de una curva en un intervalo dado. En esta sección, ampliamos esa idea para calcular el área de regiones más complejas. Comenzamos por encontrar el área entre dos curvas que son funciones de x, comenzando con el caso simple en el que el valor de una función siempre es mayor que el otro. Luego observamos casos en los que se cruzan las gráficas de las funciones. Por último, consideramos cómo calcular el área entre dos curvas que son funciones de y.

Área de una región entre dos curvas

Supongamos que f (x) y g(x) sean funciones continuas en un intervalo cerrado [a, b] tal que f (x) ≥ g(x) en [a, b]. Queremos encontrar el área entre las gráficas de las funciones, como se muestra en la siguiente figura.

Figura 6.1  El área entre las gráficas de dos funciones, f (x) y g (x), en el intervalo [a, b].

Como lo hicimos antes, vamos a dividir el intervalo en el eje x y aproximar el área entre las gráficas de las funciones con rectángulos. Entonces, para i = 0, 1, 2, …, n, sea P = {xi} una partición regular de [a, b]. Luego, para i = 1, 2, …, n, elija un punto xi* ∈ [xi − 1, xi], y en cada intervalo [xi − 1, xi] construya un rectángulo que se extienda verticalmente desde g (xi*) a f (xi*). La figura 6.2 (a) muestra los rectángulos cuando xi* se selecciona como el punto final izquierdo del intervalo con n = 10. La figura 6.2 (b) muestra un rectángulo representativo en detalle.

Figura 6.2 (a) Podemos aproximar el área entre las gráficas de dos funciones, f (x) y g (x), con rectángulos. (b) El área de un rectángulo típico va de una curva a otra.

La altura de cada rectángulo individual es f (xi*) − g (xi*) y el ancho de cada rectángulo es Δx. Agregando las áreas de todos los rectángulos, vemos que el área entre las curvas se aproxima por

Esta es una suma de Riemann, entonces tomamos el límite cuando n → ∞ y obtenemos

Estos hallazgos se resumen en el siguiente teorema.

Teorema 6.4. Encontrar el área entre dos curvas

Supongamos que f (x) y g (x) sean funciones continuas tales que f (x) ≥ g (x) en un intervalo [a, b]. Supongamos que R denota la región delimitada arriba por la gráfica de f (x), abajo por la gráfica de g (x), y a la izquierda y derecha por las rectas x = a y x = b, respectivamente. Entonces, el área de R viene dada por

El intervalo de interés se puede dar como parte del enunciado del problema y también, como es frecuente, queremos definir nuestro intervalo de interés en función de dónde se cruzan las gráficas de las dos funciones. Esto se ilustra en los problemas resueltos en los videos

Áreas de regiones compuestas

Hasta ahora, hemos requerido f (x) ≥ g (x) en todo el intervalo de interés, pero ¿qué sucede si queremos ver regiones limitadas por las gráficas de funciones que se cruzan entre sí? En ese caso, modificamos el proceso que acabamos de desarrollar utilizando la función de valor absoluto.

Teorema 6.2. Encontrar el área de una región entre curvas que se cruzan

Sean f (x) y g (x) funciones continuas en un intervalo cerrado [a, b]. Supongamos que R denota la región entre las gráficas de f (x) y g (x), y que esté delimitada a la izquierda y a la derecha por las rectas x = a y x = b, respectivamente. Entonces, el área de R viene dada por

Regiones definidas con respecto a y

Teorema 6.3. Encontrar el área entre dos curvas, integrando a lo largo del eje y.

Sean u(y) y v(y) funciones continuas de manera que u(y) ≥ v(y) para todos los y ∈ [c, d]. Supongamos que R denota la región limitada a la derecha por la gráfica de u(y), a la izquierda por la gráfica de v(y), y arriba y abajo por las rectas y = d e y = c, respectivamente. Entonces, el área de R viene dada por

Ejercicios resueltos

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