| 9. Ecuaciones diferenciales | 9.8. La transformada de Laplace |
9.8.3 SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE VALOR INICIAL
Transformadas de Laplace de Derivadas
En el resto de este capítulo, usaremos la transformada de Laplace para resolver problemas de valores iniciales para ecuaciones de segundo orden de coeficientes constantes. Para hacer esto, debemos saber cómo se relaciona la transformada de Laplace de f ′ con la transformada de Laplace de f. El siguiente teorema responde a esta pregunta.
Teorema 9.8.3.1
Supongamos que f es continua en [0, ∞) y de orden exponencial s0, y f ′ es continua por tramos en [0, ∞). Entonces f y f ′ tienen transformadas de Laplace para s > s0, y
(9.8.3.1) ♦
Prueba:
Sabemos por el Teorema 9.8.1.6 que L(f) está definida para s > s0. Primero consideramos el caso donde f ′ es continua en [0, ∞). De la integración por partes, se obtiene
(9.8.3.1)
para cualquier T > 0. Como f es de orden exponencial s0, limT →∞ e−sT f (T) = 0 y la última integral en (9.8.3.2) converge cuando T → ∞ si s > s0. Por lo tanto
lo que prueba (9.8.3.1). Ahora supongamos que T > 0 y f ′ solo es continua por tramos en [0, T], con discontinuidades en t1 < t2 < · · · < tn−1. Por conveniencia, sea t0 = 0 y tn = T. Integrando por partes se obtiene
Sumando ambos lados de esta ecuación de i = 1 a n y observando que
produce (9.8.3.2), por lo que (9.8.3.1) sigue como antes. ♦
Ejemplo 9.8.3.1
En el Ejemplo 9.8.1.4 vimos que
Aplicando la fórmula del Teorema 9.8.3.1 con f (t) = cosωt se muestra que
Por lo tanto
lo cual concuerda con el resultado correspondiente obtenido en el Ejemplo 9.8.1.4. ♦
En la Sección 9.2.1, Ejemplo ilustrativo 9.2.1.3, mostramos que la solución del problema de valor inicial
y′ = ay, y(0) = y0, (9.8.3.3)
es y = y0eat. Ahora obtendremos este resultado utilizando la transformada de Laplace.
Sea Y(s) = L(y) la transformada de Laplace de la solución desconocida de (9.8.3.3). Tomando transformadas de Laplace de ambos lados de (9.8.3.3) se obtiene
L(y′) = L(ay),
que, por el Teorema 9.8.3.1, se puede reescribir como
sL(y) − y(0) = aL(y),
o
sY(s) − y0 = aY(s).
Resolviendo para Y(s) se obtiene
por lo que
que concuerda con el resultado conocido.
Necesitamos el siguiente teorema para resolver ecuaciones diferenciales de segundo orden usando la transformada de Laplace.
Teorema 9.8.3.2
Supongamos que f y f ′ son continuas en [0, ∞) y de orden exponencial s0, y que f ″ es continua por tramos en [0, ∞). Entonces f, f ′ y f ″ tienen transformadas de Laplace para s > s0,
(9.8.3.4)
y
(9.8.3.5) ♦
Prueba:
El Teorema 9.8.3.1 implica que L(f ′) existe y satisface (9.8.3.4) para s > s0. Para probar que L(f ″) existe y satisface (9.8.3.5) para s >s0, primero aplicamos el Teorema 9.8.3.1 a g = f ′. Como g satisface las hipótesis del Teorema 9.8.3.1, concluimos que L(g′) está definida y satisface
L(g′) = sL(g) − g(0)
para s > s0. Sin embargo, dado que g′ = f ′′, esto se puede reescribir como
L(f ′′) = sL(f ′) − f ′(0).
Sustituyendo (9.8.3.4) en esta última ecuación, se obtiene (9.8.3.5). ♦
Resolviendo ecuaciones de segundo orden con la transformada de Laplace
Ahora usaremos la transformada de Laplace para resolver problemas de valores iniciales para ecuaciones de segundo orden.
Ejemplo 9.8.3.2
Utilice la transformada de Laplace para resolver el problema del valor inicial
(9.8.3.6)
Solución:
Tomando las transformadas de Laplace de ambos lados de la ecuación diferencial en (9.8.3.6) se obtiene
Lo que reescribimos como
(9.8.3.7)
Ahora denotamos L(y) = Y(s). El teorema 9.8.3.2 y las condiciones iniciales en (9.8.3.6) implican que
y
Sustituyendo las dos últimas ecuaciones en (9.8.3.7) se obtiene
Por lo tanto
(9.8.3.8)
así que
y
El método de Heaviside produce la expansión en fracciones parciales
y tomando la transformada inversa de Laplace de cada término en el miembro derecho en la igualdad anterior, se obtiene
como la solución de (9.8.3.6). ♦
No es necesario escribir todos los pasos que usamos para obtener (9.8.3.8). Para ver cómo evitar esto, apliquemos el método del Ejemplo 9.8.3.2 al problema general de valor inicial
(9.8.3.9)
Tomando las transformadas de Laplace de ambos lados de la ecuación diferencial en (9.8.3.9) se obtiene
(9.8.3.10)
Ahora sea Y(s) = L(y). El Teorema 9.8.3.2 y las condiciones iniciales en (9.8.3.9) implican que
Sustituyendo las transformadas anteriores en (9.8.3.10), se obtiene
(9.8.3.11)
El coeficiente de Y(s) de la izquierda es el polinomio característico
p(s) = as2 + bs + c
de la ecuación complementaria para (9.8.3.9). Usando esto y moviendo los términos que involucran a k0 y k1 al lado derecho de (9.8.3.11) se obtiene
(9.8.3.12)
Esta ecuación corresponde a (9.8.3.8) del Ejemplo 9.8.3.2. Habiendo establecido la forma de esta ecuación en el caso general, es preferible pasar directamente del problema de valor inicial a esta ecuación. Puede que le resulte más fácil de recordar (9.8.3.12) reescrito como
(9.8.3.13)
Ejemplo 9.8.3.3
Utilice la transformada de Laplace para resolver el problema del valor inicial
(9.8.3.14)
Solución:
El polinomio característico es
y
entonces (9.8.3.13) se convierte en
Resolviendo para Y(s) se obtiene
El método de Heaviside produce la expansión en fracciones parciales
entonces la solución de (9.8.3.14) es
. ♦
Figura 9.8.3.2:
Ejemplo 9.8.3.4
Resolver el problema de valor inicial
(9.8.3.15)
Solución:
El polinomio característico es
y
entonces (9.8.3.13) se convierte en
Resolviendo para Y(s) se obtiene
En el ejemplo 9.8.2.8 encontramos que la transformada inversa de esta función es
(Figura 9.8.3.2), que es por tanto la solución del PVI 9.8.3.15. ♦
Figura 9.8.3.2:
OBSERVACIÓN: En nuestros ejemplos aplicamos los Teoremas 9.8.3.1 y 9.8.3.2 sin verificar que la función desconocida y satisface sus hipótesis. Esto es característico de la forma de manipulación formal en la que se utiliza la transformada de Laplace para resolver ecuaciones diferenciales. Cualquier duda sobre la validez del método para resolver una ecuación dada se puede resolver verificando que la función resultante y es la solución del problema dado.