| 5. La integral y Técnicas de integración | Ejercicios propuestos para el Capítulo 5.14 |

5.14 Integrales impropias

Objetivos de aprendizaje:

• 5.14.1 Evaluar una integral en un intervalo infinito.
• 5.14.2 Evaluar una integral en un intervalo cerrado con una discontinuidad infinita dentro del intervalo.
• 5.14.3 Utilizar el teorema de comparación para determinar si una integral definida es convergente.

El área entre el gráfico de $f(x) = \frac{1}{x}$ y el eje x en el intervalo $[1, +\infty)$ ¿es finita o infinita? Si esta misma región se hace girar alrededor del eje x, ¿el volumen es finito o infinito? Sorprendentemente, el área de la región descrita es infinita, pero el volumen del sólido obtenido al girar esta región alrededor del eje x es finito.

      En esta sección, definimos las integrales en un intervalo infinito, así como las integrales de funciones que contienen una discontinuidad en el intervalo. Las integrales de este tipo se llaman integrales impropias. Examinamos varias técnicas para evaluar integrales impropias, todas las cuales implican tomar límites.

Integración en un intervalo infinito

¿Cómo podemos definir una integral del tipo $\int_a^{+\infty} f(x) \, dx$? Podemos integrar $\int_a^{t} f(x) \, dx$ para cualquier valor de $t$, por lo que es razonable observar el comportamiento de esta integral a medida que sustituimos valores mayores de $t$. La Figura 5.14.1 muestra que $\int_a^{t} f(x) \, dx$ puede interpretarse como área para varios valores de $t$.

En otras palabras, podemos definir una integral impropia como un límite, tomado a medida que uno de los límites de integración aumenta o disminuye sin límite.

Figura 5.14.1 Para integrar una función en un intervalo infinito, consideramos el límite de la integral a medida que el límite superior aumenta sin límite.

Definición 5.14.1

1. Supongamos que $f(x)$ es continua en un intervalo de la forma $[a, +\infty)$. Entonces

   \[ \int_a^{+\infty} f(x) \, dx = \lim_{t \to +\infty} \int_a^t f(x) \, dx, \qquad (5.14.1) \]

   siempre que exista este límite.

2. Supongamos que $f(x)$ es continua en un intervalo de la forma $(-\infty, b]$. Entonces

   \[ \int_{-\infty}^b f(x) \, dx = \lim_{t \to -\infty} \int_t^b f(x) \, dx, \qquad (5.14.2) \]

   siempre que exista este límite.

   En cada caso, si el límite existe, se dice que la integral impropia converge. Si el límite no existe, se dice que la integral impropia diverge.

3. Supongamos que $f(x)$ es continua en $(-\infty, +\infty)$. Entonces

   \[ \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, dx = \int_{-\infty}^{0} f(x) \, dx + \int_{0}^{+\infty} f(x) \, dx, \qquad (5.14.3) \]

   siempre que $\int_{-\infty}^{0} f(x) \, dx$ y $\int_{0}^{+\infty} f(x) \, dx$ ambas convergen. Si cualquiera de estas dos o ambas integrales divergen, entonces $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, dx$ diverge. (Se puede demostrar que, de hecho, $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, dx = \int_{-\infty}^{a} f(x) \, dx + \int_{a}^{+\infty} f(x) \, dx$ para cualquier valor de $a$.)

♦

En nuestro primer ejemplo, volvemos a la pregunta que planteamos al principio de esta sección: El área entre el gráfico de $f(x) = \frac{1}{x}$ y el eje x en el intervalo $[1, +\infty)$ ¿es finita o infinita?

Ejemplo ilustrativo 5.14.1: Hallar un área

Determine si el área entre el gráfico de $f(x) = \frac{1}{x}$ y el eje x en el intervalo $[1, +\infty)$ es finita o infinita.

Solución:

En primer lugar, hacemos un dibujo rápido de la región en cuestión, como se muestra en el siguiente gráfico.

Podemos ver que el área de esta región está dada por \(A = \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x} dx\). Entonces tenemos:

\[ \begin{aligned} A &= \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x} dx \\ &= \lim_{t \to +\infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{x} dx & \text{Reescriba la integral impropia como un límite.} \\ &= \lim_{t \to +\infty} \ln|x| \bigg|_{1}^{t} & \text{Calcule la antiderivada.} \\ &= \lim_{t \to +\infty} (\ln|t| – \ln 1) & \text{Evalúe la antiderivada.} \\ &= +\infty & \text{Evalúe el límite.} \end{aligned} \]

Como la integral impropia diverge a \(+\infty\), el área de la región es infinita. ♦

Ejemplo ilustrativo 5.14.2: Calcular un volumen

Encuentre el volumen del sólido obtenido al girar la región delimitada por la gráfica de \(f(x) = \frac{1}{x}\) y el eje x sobre el intervalo \([1, +\infty)\) alrededor del eje x.

Solución:

El sólido se muestra en Figura 5.14.3. Usando el método del disco, vemos que el volumen \(V\) es:

\[ V = \pi \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^2} dx. \]

Figura 5.14.3 El sólido de revolución puede generarse al girar un área infinita alrededor del eje x.

Entonces tenemos:

\[ \begin{aligned} V &= \pi \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^2} dx \\ &= \pi \lim_{t \to +\infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{x^2} dx & \text{Reescriba como un límite.} \\ &= \pi \lim_{t \to +\infty} -\frac{1}{x} \bigg|_{1}^{t} & \text{Encuentre la antiderivada.} \\ &= \pi \lim_{t \to +\infty} \left(-\frac{1}{t} + 1\right) & \text{Evalúe la antiderivada.} \\ &= \pi. \end{aligned} \]

La integral impropia converge a \(\pi\). Por lo tanto, el volumen del sólido de revolución es de \(\pi\) unidades cúbicas. ♦

En conclusión, aunque el área de la región entre el eje x y la gráfica de \(f(x) = \frac{1}{x}\) sobre el intervalo \([1, +\infty)\) es infinita, el volumen del sólido generado al girar esta región alrededor del eje x es finito. El sólido generado se conoce como el Cuerno de Gabriel.

Ejemplo ilustrativo 5.14.3. Apertura del capítulo: Accidentes de tráfico en una ciudad.

Figura 5.14.4

En la apertura del capítulo, planteamos el siguiente problema: Supongamos que en una intersección concurrida, los accidentes de tráfico ocurren a una tasa promedio de uno cada tres meses. Después de que los residentes se quejaron, se hicieron cambios en los semáforos de la intersección. Han pasado ocho meses desde que se realizaron los cambios y no ha habido accidentes. ¿Fueron efectivos los cambios o el intervalo de 8 meses sin un accidente es resultado del azar?

La teoría de la probabilidad nos dice que si el tiempo promedio entre eventos es k, la probabilidad de que X, el tiempo entre eventos, esté entre a y b está dada por

\(P(a \leq x \leq b) = \int_{a}^{b} f(x) \, dx\) donde \(f(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x < 0 \\ ke^{-kx} & \text{si } x \geq 0 \end{cases}\).

Por lo tanto, si los accidentes ocurren a una tasa de uno cada 3 meses, entonces la probabilidad de que \(X\), el tiempo entre accidentes, esté entre \(a\) y \(b\) está dada por

\(P(a \leq x \leq b) = \int_{a}^{b} f(x) \, dx\) donde \(f(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x < 0 \\ 3e^{-3x} & \text{si } x \geq 0 \end{cases}\).

Para responder a la pregunta, debemos calcular \(P(X \geq 8) = \int_{8}^{+\infty} 3e^{-3x} \, dx\) y decidir si es probable que hayan pasado 8 meses sin un accidente si no hubiera habido ninguna mejora en la situación del tráfico.

Solución:

Necesitamos calcular la probabilidad como una integral impropia:

\[ \begin{aligned} P(X \geq 8) &= \int_{8}^{+\infty} 3e^{-3x} \, dx \\ &= \lim_{t \to +\infty} \int_{8}^{t} 3e^{-3x} \, dx \\ &= \lim_{t \to +\infty} -e^{-3x} \bigg|_{8}^{t} \\ &= \lim_{t \to +\infty} \left(-e^{-3t} + e^{-24}\right) \\ &\approx 3.8 \times 10^{-11}. \end{aligned} \]

El valor \(3.8 \times 10^{-11}\) representa la probabilidad de que no haya accidentes en 8 meses bajo las condiciones iniciales. Dado que este valor es muy, muy pequeño, es razonable concluir que los cambios fueron efectivos. ♦

Ejemplo ilustrativo 5.14.4: Evaluación de una integral impropia sobre un intervalo infinito.

Evalúe \(\int_{-\infty}^{0} \frac{1}{x^2 + 4} \, dx\). Indique si la integral impropia converge o diverge.

Solución:

Comience reescribiendo \(\int_{-\infty}^{0} \frac{1}{x^2 + 4} \, dx\) como un límite usando la Ecuación 3.17 de la definición. Por lo tanto,

\[ \begin{aligned} \int_{-\infty}^{0} \frac{1}{x^2 + 4} \, dx &= \lim_{t \to -\infty} \int_{t}^{0} \frac{1}{x^2 + 4} \, dx & \text{Reescriba como un límite.} \\ &= \lim_{t \to -\infty} \frac{1}{2} \tan^{-1} \frac{x}{2} \bigg|_{t}^{0} & \text{Encuentre la antiderivada.} \\ &= \frac{1}{2} \lim_{t \to -\infty} \left( \tan^{-1} 0 – \tan^{-1} \frac{t}{2} \right) & \text{Evalúe la antiderivada.} \\ &= \frac{\pi}{4}. & \text{Evalúe el límite y simplifique.} \end{aligned} \]

La integral impropia converge a \(\frac{\pi}{4}\). ♦

Ejemplo ilustrativo 5.14.5: Evaluación de una integral impropia en (−∞, +∞)

Evalúe \(\int_{-\infty}^{+\infty} xe^x \, dx\). Indique si la integral impropia converge o diverge.

Solución:

Comience dividiendo la integral:

\[ \int_{-\infty}^{+\infty} xe^x \, dx = \int_{-\infty}^{0} xe^x \, dx + \int_{0}^{+\infty} xe^x \, dx. \]

Si cualquiera de \(\int_{-\infty}^{0} xe^x \, dx\) o \(\int_{0}^{+\infty} xe^x \, dx\) diverge, entonces \(\int_{-\infty}^{+\infty} xe^x \, dx\) diverge. Calcule cada integral por separado. Para la primera integral,

\[ \begin{aligned} \int_{-\infty}^{0} xe^x \, dx &= \lim_{t \to -\infty} \int_{t}^{0} xe^x \, dx & \text{Reescriba como un límite.} \\ &= \lim_{t \to -\infty} \left( xe^x – e^x \right) \bigg|_{t}^{0} & \text{Use integración por partes para encontrar la antiderivada. (Aquí \(u = x\) y \(dv = e^x dx\).)} \\ &= \lim_{t \to -\infty} \left( -1 – te^t + e^t \right) & \text{Evalúe la antiderivada.} \\ &= -1. & \end{aligned} \]

Nota: \(\lim_{t \to -\infty} te^t\) es indeterminado de la forma \(0 \cdot \infty\). Por lo tanto,

\[ \lim_{t \to -\infty} te^t = \lim_{t \to -\infty} \frac{t}{e^{-t}} = \lim_{t \to -\infty} \frac{1}{-e^{-t}} = \lim_{t \to -\infty} -e^{t} = 0. \quad \text{Regla de L’Hôpital.} \]

La primera integral impropia converge. Para la segunda integral,

\[ \begin{aligned} \int_{0}^{+\infty} xe^x \, dx &= \lim_{t \to +\infty} \int_{0}^{t} xe^x \, dx & \text{Reescriba como un límite.} \\ &= \lim_{t \to +\infty} \left( xe^x – e^x \right) \bigg|_{0}^{t} & \text{Encuentre la antiderivada.} \\ &= \lim_{t \to +\infty} \left( te^t – e^t + 1 \right) & \text{Evalúe la antiderivada.} \\ &= \lim_{t \to +\infty} \left( (t-1)e^t + 1 \right) & \text{Reescriba. (\(te^t – e^t\) es indeterminado.)} \\ &= +\infty. & \text{Evalúe el límite.} \end{aligned} \]

Por lo tanto, \(\int_{0}^{+\infty} xe^x \, dx\) diverge. Dado que esta integral diverge, \(\int_{-\infty}^{+\infty} xe^x \, dx\) diverge también. ♦

Ejercicio de control 5.14.1

Evalúe \(\int_{-3}^{+\infty} e^{-x} \, dx\). Indique si la integral impropia converge o diverge. ♦

Integración de un Integrando Discontinuo.

Ahora, examinemos las integrales de funciones que contienen una discontinuidad infinita en el intervalo sobre el cual ocurre la integración. Considere una integral de la forma \(\int_{a}^{b} f(x) \, dx\), donde \(f(x)\) es continua sobre \([a, b)\) y discontinua en \(b\).

Dado que la función \(f(x)\) es continua sobre \([a, t]\) para todos los valores de \(t\) que satisfacen \(a < t < b\), la integral \(\int_{a}^{t} f(x) \, dx\) está definida para todos esos valores de \(t\). Por lo tanto, tiene sentido considerar los valores de \(\int_{a}^{t} f(x) \, dx\) cuando \(t\) se acerca a \(b\) para \(a < t < b\). Es decir, definimos \(\int_{a}^{b} f(x) \, dx = \lim_{t \to b^{-}} \int_{a}^{t} f(x) \, dx\), siempre que este límite exista. La Figura 5.14.5 ilustra \(\int_{a}^{t} f(x) \, dx\) como áreas de regiones para valores de \(t\) que se acercan a \(b\).

Figura 5.14.5 A medida que t se acerca a b por la izquierda, el valor del área desde a hasta t se acerca al área desde a hasta b.

Usamos un enfoque similar para definir \(\int_{a}^{b} f(x) \, dx\), donde \(f(x)\) es continua sobre \((a, b]\) y discontinua en \(a\).

Ahora procedemos con una definición formal.

Definición 5.14.2

1. Sea \(f(x)\) continua sobre \([a, b)\). Entonces, \[ \int_{a}^{b} f(x) \, dx = \lim_{t \to b^{-}} \int_{a}^{t} f(x) \, dx. \qquad (5.14.4) \]
2. Sea \(f(x)\) continua sobre \((a, b]\). Entonces, \[ \int_{a}^{b} f(x) \, dx = \lim_{t \to a^{+}} \int_{t}^{b} f(x) \, dx. \qquad (5.14.5) \]

En cada caso, si el límite existe, entonces se dice que la integral impropia converge. Si el límite no existe, entonces se dice que la integral impropia diverge.

3. Si \(f(x)\) es continua sobre \([a, b]\) excepto en un punto \(c\) en \((a, b)\), entonces \[ \int_{a}^{b} f(x) \, dx = \int_{a}^{c} f(x) \, dx + \int_{c}^{b} f(x) \, dx, \qquad (5.14.6) \] siempre que ambas \(\int_{a}^{c} f(x) \, dx\) y \(\int_{c}^{b} f(x) \, dx\) converjan. Si cualquiera de estas integrales diverge, entonces \(\int_{a}^{b} f(x) \, dx\) diverge.

♦

Los siguientes ejemplos demuestran la aplicación de esta definición.

Ejemplo ilustrativo 5.14.6: Integrando un Integrando Discontinuo.

Evalúe \(\int_{0}^{4} \frac{1}{\sqrt{4-x}} \, dx\), si es posible. Indique si la integral converge o diverge.

Solución:

La función \(f(x) = \frac{1}{\sqrt{4-x}}\) es continua sobre \([0, 4)\) y discontinua en 4. Usando la Ecuación 5.14.4 de la definición, reescriba \(\int_{0}^{4} \frac{1}{\sqrt{4-x}} \, dx\) como un límite:

\[ \begin{aligned} \int_{0}^{4} \frac{1}{\sqrt{4-x}} \, dx &= \lim_{t \to 4^{-}} \int_{0}^{t} \frac{1}{\sqrt{4-x}} \, dx & \text{Reescriba como un límite.} \\ &= \lim_{t \to 4^{-}} \left( -2\sqrt{4-x} \right) \bigg|_{0}^{t} & \text{Encuentre la antiderivada.} \\ &= \lim_{t \to 4^{-}} \left( -2\sqrt{4-t} + 4 \right) & \text{Evalúe la antiderivada.} \\ &= 4. & \text{Evalúe el límite.} \end{aligned} \]

La integral impropia converge. ♦

Ejemplo ilustrativo 5.14.7: Integración de un Integrando Discontinuo.

Evalúe \(\int_{0}^{2} x \ln x \, dx\). Indique si la integral converge o diverge.

Solución:

Dado que \(f(x) = x \ln x\) es continua sobre \((0, 2]\) y es discontinua en cero, podemos reescribir la integral en forma de límite usando la Ecuación 5.14.5:

\[ \begin{aligned} \int_{0}^{2} x \ln x \, dx &= \lim_{t \to 0^{+}} \int_{t}^{2} x \ln x \, dx & \text{Reescriba como un límite.} \\ &= \lim_{t \to 0^{+}} \left( \frac{1}{2} x^2 \ln x – \frac{1}{4} x^2 \right) \bigg|_{t}^{2} & \text{Evalúe \( \int x \ln x \, dx \) usando integración por partes con \(u = \ln x\) y \(dv = x \, dx\).} \\ &= \lim_{t \to 0^{+}} \left( 2 \ln 2 – 1 – \frac{1}{2} t^2 \ln t + \frac{1}{4} t^2 \right). & \text{Evalúe la antiderivada.} \\ &= 2 \ln 2 – 1. & \text{Evalúe el límite.} \end{aligned} \]

\(\lim_{t \to 0^{+}} t^2 \ln t\) es indeterminado. Para evaluarlo, reescriba como un cociente y aplique la regla de L’Hôpital.

La integral impropia converge. ♦

Ejemplo ilustrativo 5.14.8: Integración de un Integrando Discontinuo.

Evalúe \(\int_{-1}^{1} \frac{1}{x^3} \, dx\). Indique si la integral impropia converge o diverge.

Solución:

Dado que \(f(x) = 1/x^3\) es discontinua en cero, usando la Ecuación 5.14.6, podemos escribir \[ \int_{-1}^{1} \frac{1}{x^3} \, dx = \int_{-1}^{0} \frac{1}{x^3} \, dx + \int_{0}^{1} \frac{1}{x^3} \, dx. \]

Si cualquiera de las dos integrales diverge, entonces la integral original diverge. Comience con \(\int_{-1}^{0} \frac{1}{x^3} \, dx\):

\[ \begin{aligned} \int_{-1}^{0} \frac{1}{x^3} \, dx &= \lim_{t \to 0^{-}} \int_{-1}^{t} \frac{1}{x^3} \, dx & \text{Reescriba como un límite.} \\ &= \lim_{t \to 0^{-}} \left( -\frac{1}{2x^2} \right) \bigg|_{-1}^{t} & \text{Encuentre la antiderivada.} \\ &= \lim_{t \to 0^{-}} \left( -\frac{1}{2t^2} + \frac{1}{2} \right) & \text{Evalúe la antiderivada.} \\ &= +\infty. & \text{Evalúe el límite.} \end{aligned} \]

Por lo tanto, \(\int_{-1}^{0} \frac{1}{x^3} \, dx\) diverge. Dado que \(\int_{-1}^{0} \frac{1}{x^3} \, dx\) diverge, \(\int_{-1}^{1} \frac{1}{x^3} \, dx\) diverge. ♦

Ejercicio de control 5.14.2

Evalúe \(\int_{0}^{2} \frac{1}{x} \, dx\). Indique si la integral converge o diverge. ♦

Un Teorema de Comparación.

No siempre es fácil o incluso posible evaluar una integral impropia directamente; sin embargo, al compararla con otra integral cuidadosamente elegida, puede ser posible determinar su convergencia o divergencia. Para ver esto, considere dos funciones continuas \(f(x)\) y \(g(x)\) que satisfacen \(0 \leq f(x) \leq g(x)\) para \(x \geq a\) (Figura 5.14.6). En este caso, podemos ver las integrales de estas funciones sobre intervalos de la forma \([a, t]\) como áreas, por lo que tenemos la relación

\[ 0 \leq \int_{a}^{t} f(x) \, dx \leq \int_{a}^{t} g(x) \, dx \text{ para } t \geq a. \]

Por lo tanto, si \[ \int_{a}^{+\infty} f(x) \, dx = \lim_{t \to +\infty} \int_{a}^{t} f(x) \, dx = +\infty, \] entonces \[ \int_{a}^{+\infty} g(x) \, dx = \lim_{t \to +\infty} \int_{a}^{t} g(x) \, dx = +\infty \text{ también}. \] Es decir, si el área de la región entre la gráfica de \(f(x)\) y el eje x sobre \([a, +\infty)\) es infinita, entonces el área de la región entre la gráfica de \(g(x)\) y el eje x sobre \([a, +\infty)\) también es infinita.

Por otro lado, si \[ \int_{a}^{+\infty} g(x) \, dx = \lim_{t \to +\infty} \int_{a}^{t} g(x) \, dx = L \text{ para algún número real } L, \] entonces \[ \int_{a}^{+\infty} f(x) \, dx = \lim_{t \to +\infty} \int_{a}^{t} f(x) \, dx \text{ debe converger a algún valor menor o igual que } L, \] ya que \(\int_{a}^{t} f(x) \, dx\) aumenta a medida que \(t\) aumenta y \(\int_{a}^{t} f(x) \, dx \leq L\) para todo \(t \geq a\).

Si el área de la región entre la gráfica de \(g(x)\) y el eje x sobre \([a, +\infty)\) es finita, entonces el área de la región entre la gráfica de \(f(x)\) y el eje x sobre \([a, +\infty)\) también es finita.

Estas conclusiones se resumen en el siguiente teorema.

Teorema 5.14.1: Un teorema de comparación

Sean \(f(x)\) y \(g(x)\) continuas sobre \([a, +\infty)\). Asuma que \(0 \leq f(x) \leq g(x)\) para \(x \geq a\).

1. Si \[ \int_{a}^{+\infty} f(x) \, dx = \lim_{t \to +\infty} \int_{a}^{t} f(x) \, dx = +\infty, \] entonces \[ \int_{a}^{+\infty} g(x) \, dx = \lim_{t \to +\infty} \int_{a}^{t} g(x) \, dx = +\infty. \]
2. Si \[ \int_{a}^{+\infty} g(x) \, dx = \lim_{t \to +\infty} \int_{a}^{t} g(x) \, dx = L, \] donde \(L\) es un número real, entonces \[ \int_{a}^{+\infty} f(x) \, dx = \lim_{t \to +\infty} \int_{a}^{t} f(x) \, dx = M \] para algún número real \(M \leq L\). ♦

Ejemplo ilustrativo 5.14.9: Aplicando el Teorema de Comparación.

Use una comparación para mostrar que \(\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{xe^x} \, dx\) converge.

Solución:

Podemos ver que

\[ 0 \leq \frac{1}{xe^x} \leq \frac{1}{e^x} = e^{-x}, \]

así que si \(\int_{1}^{+\infty} e^{-x} \, dx\) converge, también lo hace \(\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{xe^x} \, dx\). Para evaluar \(\int_{1}^{+\infty} e^{-x} \, dx\), primero reescríbala como un límite:

\[ \begin{aligned} \int_{1}^{+\infty} e^{-x} \, dx &= \lim_{t \to +\infty} \int_{1}^{t} e^{-x} \, dx \\ &= \lim_{t \to +\infty} \left( -e^{-x} \right) \bigg|_{1}^{t} \\ &= \lim_{t \to +\infty} \left( -e^{-t} + e^{-1} \right) \\ &= e^{-1}. \end{aligned} \]

Dado que \(\int_{1}^{+\infty} e^{-x} \, dx\) converge, también lo hace \(\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{xe^x} \, dx\). ♦

Ejemplo ilustrativo 5.14.10: Aplicando el Teorema de Comparación.

Use el teorema de comparación para mostrar que \(\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^p} \, dx\) diverge para todo \(p < 1\).

Solución:

Para \(p < 1\), \(1/x \leq 1/(x^p)\) sobre \([1, +\infty)\). En el Ejemplo 5.14.1, mostramos que \(\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x} \, dx = +\infty\).

Por lo tanto, \(\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^p} \, dx\) diverge para todo \(p < 1\). ♦

Ejercicio de control 5.14.3

Use una comparación para mostrar que \(\int_{e}^{+\infty} \frac{\ln x}{x} \, dx\) diverge. ♦