Áreas entre curvas

Ejercicios propuestos del Capítulo 6.1

(Aplicaciones de la integral)

Para los siguientes ejercicios, determine el área de la región entre las dos curvas en la figura dada integrando sobre el eje x.

1.  y = x² − 3  e  y = 1

2.  y = x²  e  y = 3x + 4

Para los siguientes ejercicios, divida la región entre las dos curvas en dos regiones más pequeñas, luego determine el área integrando sobre el eje x. Tenga en cuenta que tendrá dos integrales para resolver.

3.  y = x³  e  y = x² + x

4.  y = cosθ  e  y = 0.5, para 0 ≤ θ ≤ π

Para los siguientes ejercicios, determine el área de la región entre las dos curvas mediante la integración sobre el eje y.

5.  x = y²  y  x = 9

6.  y = x  y  x = y²

Para los siguientes ejercicios, grafica las ecuaciones y sombrea el área de la región entre las curvas. Determine su área integrando sobre el eje x.

7.  y = x²  y  y = −x² + 18x
8.  y = 1/x, y = 1/x²  y  x = 3
9.  y = cosx  e  y = cos²x en x = [-π, π]
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13.  y = |x|  y  y = x²

Para los siguientes ejercicios, grafica las ecuaciones y sombrea el área de la región entre las curvas. Si es necesario, divida la región en subregiones para determinar su área completa.

14.  y = sen(πx), y = 2x  y  x > 0
15.  y = 12 − x, y = √x, y  y = 1
16.  y = senx  e  y = cossobre  x = [-π, π]

17.  y = x³  y  y = x² − 2x  sobre  x = [-1, 1]
18.  y = x² + 9  e  y = 10 + 2x  sobre  x = [-1, 3]
19.  y = x³ + 3x  y  y = 4x

Para los siguientes ejercicios, grafica las ecuaciones y sombrea el área de la región entre las curvas. Determine su área integrando sobre el eje y.

20.  x = y³  y  x = 3y − 2
21.  x = 2y  y  x = y³ − y
22.  x = −3 + y²  y  x = yy²

23.  y² = x  y  x = y + 2
24.  x = |y|  y  2x = −y² + 2
25.  x = seny, x = cos(2y), y = π/2, y  y = −π/2

Para los siguientes ejercicios, grafica las ecuaciones y sombrea el área de la región entre las curvas. Determine su área integrando sobre el eje x o el eje y, lo que le parezca más conveniente.

26.  x = y⁴ − x = y
27.  y = xeˣ, y = eˣ, x = 0  y  x = 1
28.  y = x⁶  y  y = x
29.  x = y³ + 2y² + 1  y  x = −y² + 1
30.  y = |x|  y  y = x² − 1
31.  y = 4 − 3x  y  y = 1/x

32.  y = senx, x = −π/6, x = π/6  e  y = cos³x
33.  y = x² − 3x + 2  y  y = x³ − 2x² − x + 2
34.  y = 2cos³(3x), y = −1, x = π/4  y  x = −π/4
35.  y + y³ = x  y  2y = x
36.  y = √(1 − x²)  y  y = x² − 1
37.  y = cos‾¹x, y = sen‾¹x, x = −1  y  x = 1

Para los siguientes ejercicios, encuentre el área exacta de la región delimitada por las ecuaciones dadas, si es posible. Si no puede determinar los puntos de intersección analíticamente, use una calculadora para aproximar los puntos de intersección con tres lugares decimales y determine el área aproximada de la región.

38. [Tx =  y  y = x − 2
39. [Ty = x²  y  y = √(1 − x²)
40. [Ty = 3x² + 8x + 9  y  3y = x + 24
41. [Tx = √(4 − y²)  y  y² = 1 + x²
42. [Tx² = y³  y  x = 3y

43. [Ty = sen³x + 2, y = tanx, x = −1,5  y  x = 1,5
44. [Ty = √(1 − x²)  y  y² = x²
45. [Ty = √(1 − x²)  y  y = x² + 2x + 1
46. [Tx = 4 − y²  y  x = 1 + 3y + y²
47. [Ty = cosx, y = eˣ, x = −π  y  x = 0

48. El triángulo más grande con una base en el eje x que cabe dentro de la mitad superior del círculo unitario y² + x² = 1 está dado por y = 1 + x  y  y = 1 − x. Vea la siguiente figura. ¿Cuál es el área dentro del semicírculo pero fuera del triángulo?

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49. Una fábrica que vende teléfonos celulares tiene una función de costo marginal C(x) = 0.01x² − 3x + 229, donde x representa el número de teléfonos celulares y una función de ingreso marginal dada por R(x) = 429 − 2x. Encuentre el área entre las gráficas de estas curvas y  x = 0. ¿Qué representa esta área?

50. Un parque de diversiones tiene una función de costo marginal C(x) = 1000e⁻ˣ + 5, donde x representa la cantidad de boletos vendidos y una función de ingreso marginal dada por R(x) = 60 − 0.1x. Encuentre el beneficio total generado al vender 550 boletos. Use una calculadora para determinar los puntos de intersección, si es necesario, con dos decimales.

51. La tortuga versus la liebre: La velocidad de la liebre está dada por la función sinusoidal H(t) = 1 − cos(πt/2) mientras que la velocidad de la tortuga es T(t) = (1/2)tan‾¹(t/4), donde t es el tiempo medido en horas y la velocidad se mide en millas por hora. Encuentre el área entre las curvas desde el tiempo t = 0 hasta la primera vez después de una hora cuando la tortuga y la liebre viajan a la misma velocidad. ¿Que representa? Utilice una calculadora para determinar los puntos de intersección, si es necesario, con una precisión de tres decimales.

52. La tortuga versus la liebre: La velocidad de la liebre viene dada por la función sinusoidal H (t) = (1/2) − (1/2)cos(2πt) mientras que la velocidad de la tortuga es T(t) = √t, donde t es el tiempo medido en horas y la velocidad se mide en kilómetros por hora. Si la carrera termina en 1 hora, ¿quién ganó la carrera y por cuánto? Utilice una calculadora para determinar los puntos de intersección, si es necesario, con una precisión de tres decimales.

Para los siguientes ejercicios, encuentre el área entre las curvas integrando con respecto a x y luego con respecto a y. ¿Hay un método más fácil que el otro? ¿Obtienes la misma respuesta?

53.  y = x² + 2x + 1  e  y = −x² − 3x + 4
54.  y = x⁴  y  x = y
55.  x = y² − 2  y  x = 2y

Para los siguientes ejercicios, resuelva usando cálculo, luego verifique su respuesta con geometría.

56. Determine las ecuaciones para los lados del cuadrado que toca el círculo unitario en los cuatro lados, como se ve en la siguiente figura. Calcula el área entre el perímetro de este cuadrado y el círculo unitario. ¿Hay otra forma de resolver esto sin usar cálculo?

57. Encuentra el área entre el perímetro del círculo unitario y el triángulo creado a partir de y = 2x + 1, y = 1 − 2x  y  y = −35, como se ve en la siguiente figura. ¿Hay alguna forma de resolver esto sin usar cálculo?

6 comentarios en “Áreas entre curvas”

      1. Profesor excelente el contenido… muy buena la redacción…

        Una curiosidad… con que software realiza sus gráficas?

        Lo sigo leyendo…

        Gracias por compartir sus conocimientos.

        1. Hola Fernando.
          Gracias por el comentario e interés. Para llegar a personas como tú es que se realiza este proyecto.
          Las gráficas se construyen con el programa Geogebra, complementado con Word, Mathtype, etc. y se organiza todo en Paint. 👀

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