Definición de derivada

DEFINICIÓN DE DERIVADA: Objetivos de aprendizaje

3.1.1. Reconocer el significado de la tangente a una curva en un punto.
3.1.2. Calcular la pendiente de una recta tangente.
3.1.3. Identificar la derivada como el límite de un cociente de diferenciales.
3.1.4. Calcular la derivada de una función dada en un punto.
3.1.5. Describir la velocidad como una razón de cambio.
3.1.6. Explicar la diferencia entre la velocidad promedio y la velocidad instantánea.
3.1.7. Estimar la derivada a partir de una tabla de valores.

Ahora que tenemos tanto una comprensión conceptual de límite como la capacidad práctica de calcular límites, hemos establecido las bases para nuestro estudio del cálculo, la rama de las matemáticas en la que calculamos derivadas e integrales. La mayoría de los matemáticos e historiadores están de acuerdo en que el cálculo fue desarrollado independientemente por el inglés Isaac Newton (1643–1727) y el alemán Gottfried Leibniz (1646–1716), cuyas imágenes aparecen en la Figura 3.1_1. Cuando atribuimos a Newton y Leibniz el desarrollo del cálculo, nos estamos refiriendo realmente al hecho de que Newton y Leibniz fueron los primeros en comprender la relación entre la derivada y la integral. Ambos matemáticos se beneficiaron del trabajo de predecesores, como Barrow, Fermat y Cavalieri. La relación inicial entre los dos matemáticos parece haber sido amigable; sin embargo, en años posteriores estalló una amarga controversia sobre quién tuvo prioridad en el desarrollo de las ideas que originaron el cálculo. Aunque parece probable que Newton llegó primero a las ideas detrás del cálculo, estamos en deuda con Leibniz por la notación que comúnmente usamos hoy en día..

Figura 3.1_1 A Newton y Leibniz se les atribuye el desarrollo del cálculo de forma independiente.

Rectas Tangentes

Comenzamos nuestro estudio del cálculo revisando la noción de rectas secantes y rectas tangentes. Recuerde que usamos la pendiente de una recta secante a una función en un punto (a, f (a)) para estimar la tasa de cambio, o la razón a la que cambia una variable en relación con otra variable. Podemos obtener la pendiente de la secante eligiendo un valor de x cerca de a y dibujando una recta a través de los puntos (a, f (a)) y (x, f (x)), como se muestra en la Figura 3.1_2. La pendiente de esta rectas viene dada por una ecuación en forma de cociente de diferencias:

También podemos calcular la pendiente de una recta secante a una función en un valor a usando esta ecuación y reemplazando x con a + h, donde h es un valor cercano a 0. Luego podemos calcular la pendiente de la recta a través de los puntos (a, f (a)) y (a + h, f (a + h)). En este caso, encontramos que la recta secante tiene una pendiente dada por el siguiente cociente de diferencias con incremento h:

Definición 3.1.1. Cociente de diferencias

Sea f una función definida en un intervalo I que contiene a a. Si xa está en I, entonces

Es un cociente de diferencias.

Además, si se elige h ≠ 0 de modo que a + h esté en I, entonces

es un cociente de diferencias con incremento h.

Estas dos expresiones para calcular la pendiente de una recta secante se ilustran en la Figura 3.1_2. Veremos que cada uno de estos dos métodos para encontrar la pendiente de una recta secante es valioso. Dependiendo de la configuración, podemos elegir uno u otro. La consideración principal en nuestra elección generalmente depende de la facilidad de cálculo.

Figura 3.1_2  Podemos calcular la pendiente de una recta secante en cualquiera de las dos formas.

En la figura 3.1_3 (a) vemos que, a medida que los valores de x se acercan a a, las pendientes de las rectas secantes proporcionan mejores estimaciones de la tasa de cambio de la función en a. Además, las rectas secantes se aproximan a la recta tangente de la función en a, que representa el límite de las rectas secantes. De manera similar, la Figura 3.1_3 (b) muestra que a medida que los valores de h se acercan a 0, las rectas secantes también se acercan a la recta tangente. La pendiente de la recta tangente en a es la tasa o razón de cambio de la función en a, como se muestra en la Figura 3.1_3 (c).

Figura 3.1_3  Las rectas secantes se acercan a la recta tangente (que se muestra en verde) a medida que el segundo punto se acerca al primero.

En la Figura 3.1_4 mostramos la gráfica de f (x) = √x y su recta tangente en (1,1) en una serie de intervalos más ajustados sobre x = 1. A medida que los intervalos se vuelven más estrechos, la gráfica de la función y su recta tangente parecen coincidir, lo que hace que los valores en la recta tangente sean una buena aproximación a los valores de la función para las elecciones de x cercanas a 1. De hecho, la gráfica de f (x) en sí parece ser localmente lineal en la vecindad inmediata de x = 1.

Figura 3.1_4.  Para valores de x cercanos a 1, la gráfica de f (x) = √x y su recta tangente parecen coincidir.

Formalmente podemos definir la recta tangente a la gráfica de una función de la siguiente manera.

Definición 3.1.2. Recta tangente a la gráfica de una función en un punto

Sea f (x) una función definida en un intervalo abierto que contiene a. La recta tangente a f (x) en a es la recta que pasa por el punto (a, f (a)) que tiene pendiente

siempre que este límite exista.

De manera equivalente, podemos definir la recta tangente a f (x) en a para que sea la recta que pasa por el punto (a, f (a)) que tiene pendiente

siempre que este límite exista. ◊

Así como hemos usado dos expresiones diferentes para definir la pendiente de una recta secante, usamos dos formas diferentes para definir la pendiente de la recta tangente. En este texto usamos ambas formas de la definición. Como antes, la elección de la definición dependerá de la configuración. Ahora que hemos definido formalmente una recta tangente a una función en un punto, podemos usar esta definición para encontrar ecuaciones de rectas tangentes.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 3.1_1. Hallar una recta tangente

Encuentre la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f (x) = x² en x = 3.

Solución:
Primero encuentre la pendiente de la recta tangente. En este ejemplo, use la primera ecuación de la definición 3.1.2:

Luego, encuentre un punto en la recta tangente. Como la recta es tangente a la gráfica de f (x) en x = 3, pasa por el punto (3, f (3)). Tenemos que f (3) = 9, entonces la recta tangente pasa por el punto (3, 9).
Usando la ecuación punto-pendiente de la recta con la pendiente m = 6 y el punto (3, 9), obtenemos la ecuación de la recta y − 9 = 6 (x − 3). Simplificando, obtenemos y = 6x − 9. La gráfica de f (x) = x² y su recta tangente en 3 se muestran en la Figura 3.1_5.

Figura 3.1_5 La recta tangente a f (x) en x = 3.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 3.1_2. La pendiente de una recta tangente

Use la ecuación la segunda ecuación en la definición 3.1.2 para encontrar la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f (x) = x² en x = 3.

Solución:
Los pasos son muy similares al ejemplo 3.1_1. Ver la segunda ecuación de la definición 3.1.2.

Por su puesto, obtuvimos el mismo valor para la pendiente de la recta tangente usando esta otra ecuación en la definición, demostrando que las fórmulas pueden intercambiarse. ◊

EJEMPLO ILUSTRATIVO 3.1_3. Encontrar la ecuación de una recta tangente

Encuentre la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f (x) = 1/x en x = 2.

Solución:
Para hallar la pendiente podemos usar la primera ecuación en la definición 3.1.2, pero como hemos visto, los resultados son los mismos si usamos la la segunda ecuación:

Ahora sabemos que la pendiente de la recta tangente es −1/4. Para hallar la ecuación de la recta tangente, también necesitamos un punto en la recta. Sabemos que f (2) = 1/2. Como la recta tangente pasa a través del punto (2, 1/2), podemos usar la ecuación punto-pendiente de una recta para encontrar la ecuación de la recta tangente. Por lo tanto, la recta tangente tiene la ecuación y = −(1/4)x + 1. Las gráficas de f (x) = 1/x  e  y = −(1/4)x + 1 se muestran en la Figura 3.1_6.

Figura 3.1_6 La recta es tangente a la gráfica de f (x) en x = 2.

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