| 9. Ecuaciones diferenciales | 9.12. Soluciones de Fourier de ecuaciones diferenciales parciales |

9.12.3  La ecuación de Laplace en coordenadas rectangulares

La temperatura u = u(x, y, t) en una placa bidimensional satisface la ecuación de calor bidimensional

ut = a2(uxx + uyy),        (9.12.3.1)

donde (x, y) varía en el interior de la placa y t > 0. Para encontrar una solución de (9.12.3.1), es necesario especificar la temperatura inicial u(x, y, 0) y las condiciones de frontera que deben cumplirse. Sin embargo, a medida que t → ∞, la influencia de la condición inicial decae, por lo que

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-414.png

y la temperatura se aproxima a una distribución de estado estacionario u = u(x, y) que satisface

uxx + uyy = 0.        (9.12.3.2)

Esta es la ecuación de Laplace. Esta ecuación también surge en aplicaciones a la mecánica de fluidos y la teoría del potencial; de hecho, también se le llama ecuación de potencial. Buscamos soluciones de (9.12.3.2) en una región R que satisfagan condiciones específicas, llamadas condiciones de frontera, en la frontera de R. Por ejemplo, podemos exigir que u asuma valores prescritos en la frontera. Esto se llama condición de Dirichlet, y el problema se llama problema de Dirichlet. O podemos requerir que la derivada normal de u en cada punto (x, y) en la frontera asuma los valores prescritos. Esto se llama condición de Neumann, y el problema se llama problema de Neumann. En algunos problemas imponemos condiciones de Dirichlet sobre una parte de la frontera y condiciones de Neumann sobre el resto. Entonces decimos que las condiciones de contorno y el problema son mixtos.

      Resolver problemas de valores en la frontera para (9.12.3.2) sobre regiones generales está más allá del alcance de este libro, por lo que consideramos solo regiones muy simples. Comenzamos considerando la región rectangular que se muestra en la figura 9.12.3.1.

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-415.png

Figura 9.12.3.1 Una región rectangular y su contorno (frontera)

      Las posibles condiciones de contorno para esta región se pueden escribir como

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-416.png

donde α, β, γ y δ pueden ser 0 o 1; por lo tanto, hay 16 posibilidades. Sea PVF(α, β, γ, δ)(f0, f1, g0, g1) el problema de encontrar una solución de (9.12.3.2) que satisfaga estas condiciones. Este es un problema de Dirichlet si

α = β = γ = δ = 0

(Figura 9.12.3.2), o un problema de Neumann si

α = β = γ = δ = 1

(Figura 9.12.3.3). Los otros 14 problemas son mixtos.

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-417.png

Figura 9.12.3.2 Un problema de Dirichlet

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-418.png

Figura 9.12.3.3 Un problema de Neumann

      Dado (α, β, γ, δ), la suma de las soluciones de

PVF(α, β, γ, δ)(f0, 0, 0, 0),    PVF(α, β, γ, δ)(0, f1, 0, 0),

PVF(α, β, γ, δ)(0, 0, g0, 0)     y    PVF(α, β, γ, δ)(0, 0, 0, g1)

es una solución de

PVF(α, β, γ, δ)(f0, f1, g0, g1).

Por lo tanto, nos concentramos en problemas donde solo una de las funciones f0, f1, g0, g1 no es idénticamente cero. Hay 64 (¡cuéntalos!) problemas de esta forma. Cada uno tiene condiciones de contorno homogéneas en tres lados del rectángulo y una condición de contorno no homogénea en el cuarto. Usamos la separación de variables para encontrar infinitas funciones que satisfagan la ecuación de Laplace y las tres condiciones de frontera homogéneas en el rectángulo abierto. Luego usamos estas soluciones como bloques de construcción para construir una solución formal de la ecuación de Laplace que también satisfaga la condición de frontera no homogénea. Dado que no es factible considerar los 64 casos, restringiremos nuestra atención en el texto a solo cuatro. Otros se discuten en los ejercicios.

      Si v(x, y) = X(x)Y(y) entonces

vxx + vyy = X′′Y + XY′′ = 0

para todo (x, y) si y solo si

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-419.png

o todos (x, y), donde k es una constante de separación. Esta ecuación es equivalente a

X′′kX = 0,   Y′′ + kY = 0.        (9.12.3.3)

A partir de aquí, la estrategia depende de las condiciones de contorno. Ilustramos esto con ejemplos.

Ejemplo ilustrativo 9.12.3.1

Defina la solución formal de

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-420.png       (9.12.3.4)

(Figura 9.12.3.4).

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-421.png

Figura 9.12.3.4 El problema del valor en la frontera (9.12.3.4)

Solución:

Las condiciones de frontera en (9.12.3.4) requieren productos v(x, y) = X(x)Y(y) tales que X(0) = X(a) = Y(b) = 0; por tanto, hacemos k = −λ en X′′kX = 0,   Y′′ + kY = 0 (9.12.3.3). Por lo tanto, X e Y deben satisfacer

X′′ + λX = 0,   X(0) = 0,   X(a) = 0        (9.12.3.5)

y

Y′′ − λY = 0,   Y(b) = 0.        (9.12.3.6)

Del Teorema 9.11.1.2, los valores propios de (9.12.3.5) son λn = n2π2/a2, con funciones propias asociadas

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-422.png

Sustituyendo λ = n2π2/a2 en (9.12.3.6) se obtiene

Y′′ − (n2π2/a2)Y = 0,   Y(b) = 0,

para que podamos tomar

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-423.png      (9.12.3.7)

sin embargo, debido a la condición de Dirichlet no homogénea en y = 0, es mejor exigir que Yn(0) = 1, lo que se puede lograr dividiendo el lado derecho de (9.12.3.7) por su valor en y = 0; así, tomamos

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-424.png

Entonces

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-425.png

satisface (9.12.3.4) con

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-426.png

Por lo tanto, si f es una función suave por partes arbitraria en [0, a], definimos la solución formal de (9.12.3.4) como

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-427.png        (9.12.3.8)

donde

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-428.png

es la serie de senos de Fourier de f en [0, a]; es decir,

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-429.png   

Si y < b entonces

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-430.png      (9.12.3.9)

para n grande, entonces la serie en (9.12.3.8) converge si 0 < y < b; además, ya que también

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-431.png

para n grande, el Teorema 9.12.1.1 aplicado dos veces con z = x y dos veces con z = t, muestra que uxx y uyy pueden obtenerse derivando u término por término si 0 < y < b. (Ejercicio 37). Por tanto, u satisface la ecuación de Laplace en el interior del rectángulo de la Figura 9.12.3.4. Además, la serie en (9.12.3.8) también converge en la frontera del rectángulo y satisface las tres condiciones de frontera homogéneas en (9.12.3.4). Por lo tanto, dado que u(x, 0) = S(x) para 0 ≤ xL, u es una solución real de (9.12.3.5) si y solo si S(x) = f (x) para 0 ≤ xa. Del Teorema 9.11.3.2, esto es cierto si f es continua y suave por partes en [0, L], y f (0) = f (L) = 0.

Ejemplo ilustrativo 9.12.3.2

Resuelve (9.12.3.4) con f (x) = x(x2 − 3ax + 2a2).

Solución:

Del Ejemplo 9.11.3.6,

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-432.png

Por lo tanto

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-433.png      (9.12.3.10)

      Para calcular valores aproximados de u(x, y), debemos usar sumas parciales de la forma

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-434.png

Debido a (9.12.3.9), los valores pequeños de m brindan suficiente precisión para la mayoría de las aplicaciones si 0 < y < b. Además, el factor n3 en el denominador en (9.12.3.10) asegura que esto también sea cierto para y = 0. Para fines gráficos, elegimos a = 2, b = 1 y m = 10. La Figura 9.12.3.5 muestra la superficie

u = u(x, y),   0 ≤ x ≤ 2,   0 ≤ y ≤ 1,

mientras que la Figura 9.12.3.6 muestra las curvas

u = u(x, 0.1k),   0 ≤ x ≤ 2,   k = 0, 1, . . ., 10.   

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-435.png

Figura 9.12.3.5

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-436.png

Figura 9.12.3.6

Ejemplo ilustrativo 9.12.3.3

Defina la solución formal de

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-437.png      (9.12.3.11)

(Figura 9.12.3.7).

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-439.png

Figura 9.12.3.7 El problema de valor en la frontera (9.12.3.11)

Solución:

Las condiciones de frontera en (9.12.3.11) requieren productos v(x, y) = X(x)Y(y) tales que X′(0) = X′(a) = Y(0) = 0; por lo que hacemos k = −λ en  X′′ − kX = 0, Y′′ + kY = 0 (9.12.3.3). Por lo tanto, X e Y deben satisfacer

X′′ + λX = 0,   X′(0) = 0,   X′(a) = 0        (9.12.3.12)

y

Y′′ − λY = 0,   Y(0) = 0.        (9.12.3.13)

Del Teorema 9.11.1.3, los valores propios de (9.12.3.12) son λ = 0, con la función propia asociada X0 = 1, y λn = n2π2/a2, con las funciones propias asociadas

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-440.png

Como Y0 = y satisface (9.12.3.13) con λ = 0, tomamos v0(x, y) = X0(x)Y0(y) = y. Sustituyendo λ = n2π2/a2 en (9.12.3.13) se obtiene

Y′′ − (n2π2/a2)Y = 0,   Y(0) = 0,

para que podamos tomar

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-441.png      (9.12.3.14)

Sin embargo, debido a la condición de Neumann no homogénea en y = b, es mejor exigir que Y′n(b) = 1, lo cual se puede lograr dividiendo el lado derecho de (9.12.3.14) por el valor de su derivada en y = b; de este modo,

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-442.png

Entonces

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-443.png

así

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-444.png

Por tanto, vn satisface (9.12.3.11) con f (x) = cosnπx/a. Más generalmente, si α0,  . . . , αm son constantes arbitrarias entonces

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-445.png

satisface (9.12.3.11) con

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-446.png

Por lo tanto, si f es una función suave por partes arbitraria en [0, a], definimos la solución formal de (9.12.3.11) como

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-447.png

donde

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-448.png

es la serie de coseno de Fourier de f en [0, a]; es decir,

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-449.png    y    Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-450.png   

Ejemplo ilustrativo 9.12.3.4

Resuelva (9.12.3.11) con f (x) = x.

Solución:

Del Ejemplo 9.11.3.1

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-451.png

Por lo tanto

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-452.png        (9.12.3.15)

Para fines gráficos, elegimos a = 2, b = 1, y conservamos los términos hasta n = 10 en (9.12.3.15). La Figura 9.12.3.8 muestra la superficie

u = u(x, y),   0 ≤ x ≤ 2,   0 ≤ y ≤ 1,

mientras que la Figura 9.12.3.9 muestra las curvas

u = u(x, .1k),   0 ≤ x ≤ 2,   k = 0, 1, . . ., 10.   

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-453.png

Figura 9.12.3.8

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-454.png

Figura 9.12.3.9

Ejemplo ilustrativo 9.12.3.5

Defina la solución formal de

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-455.png      (9.12.3.16)

(Figura 9.12.3.10).

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-456.png

Figura 9.12.3.10 El problema de valor en la frontera (9.12.3.16)

Solución:

Las condiciones de frontera en (9.12.3.16) requieren productos v(x, y) = X(x)Y(y) tales que Y(0) = Y′(b) = X′(a) = 0; por tanto, hacemos k = λ en X′′ − kX = 0,   Y′′ + kY = 0 (9.12.3.3). Por lo tanto, X e Y deben satisfacer

X′′ − λX = 0,   X′(a) = 0        (9.12.3.17)

y

Y′′ + λY = 0,   Y(0) = 0,   Y′(b) = 0.        (9.12.3.18)

Del Teorema 9.11.1.4, los valores propios de (9.12.3.18) son λn = (2n − 1)2π2/4b2, con funciones propias asociadas

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-457.png

Sustituyendo λ = (2n − 1)2π2/4b2 en (9.12.3.17) se obtiene

X′′ − ((2n − 1)2π2/4b2)X = 0,   X′(a) = 0,

para que podamos tomar

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-458.png      (9.12.3.19)

Sin embargo, debido a la condición de Dirichlet no homogénea en x = 0, es mejor exigir que Xn(0) = 1, lo que se puede lograr dividiendo el lado derecho de (9.12.3.19) por su valor en x = 0; de este modo,

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-459.png

Entonces

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-460.png

así

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-461.png

Por tanto, vn satisface (9.12.3.16) con g(y) = sen(2n − 1)πy/2b. Más generalmente, si α1, . . . , αm son constantes arbitrarias entonces

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-462.png

satisface (9.12.3.16) con

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-463.png

Por lo tanto, si g es una función suave por partes arbitraria en [0, b], definimos la solución formal de (9.12.3.16) como

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-464.png

donde

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-465.png

es la serie mixta de senos de Fourier de g en [0, b]; es decir,

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-466.png   

Ejemplo ilustrativo 9.12.3.6

Resuelve (9.12.3.16) con g(y) = y(2y2 − 9by + 12b2)

Solución:

Del Ejemplo 9.11.3.8,

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-467.png

Por lo tanto

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-468.png   

Ejemplo ilustrativo 9.12.3.7

Defina la solución formal de

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-469.png      (9.12.3.20)

(Figura 9.12.3.11).

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-470.png

Figura 9.12.3.11 El problema del valor en la frontera (9.12.3.20)

Solución:

Las condiciones de frontera en (9.12.3.20) requieren productos v(x, y) = X(x)Y(y) tales que Y′(0) = Y(b) = X′(0) = 0; por tanto, hacemos k = λ en (9.12.3.3). Por lo tanto, X e Y deben satisfacer

X′′ − λX = 0,   X′(0) = 0        (9.12.3.21)

y

Y′′ + λY = 0,   Y′(0) = 0,   Y(b) = 0.        (9.12.3.22)

Del Teorema 9.11.1.4, los valores propios de (9.12.3.22) son λn = (2n − 1)2π2/4b2, con funciones propias asociadas

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-471.png

Sustituyendo λ = (2n − 1)2π2/4b2 en (9.12.3.21) se obtiene

X′′ − ((2n − 1)2π2/4b2)X = 0,   X′(0) = 0,

para que podamos tomar

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-472.png      (9.12.3.23)

Sin embargo, debido a la condición de Neumann no homogénea en x = a, es mejor exigir que X′n(a) = 1, lo que se puede lograr dividiendo el lado derecho de (9.12.3.23) por el valor de su derivada en x = a; de este modo,

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image.png

Entonces

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-1.png

así

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-2.png

Por tanto, vn satisface (9.12.3.20) con g(y) = cos(2n − 1)πy/2b. Más generalmente, si α1, . . . , αm son constantes arbitrarias entonces

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-3.png

satisface (9.12.3.20) con

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-4.png

Por lo tanto, si g es una función suave por partes arbitraria en [0, b], definimos la solución formal de (9.12.3.20) como

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-5.png

donde

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-6.png

es la serie mixta de cosenos de Fourier de g en [0, b]; es decir,

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-7.png   

Ejemplo ilustrativo 9.12.3.8

esuelva (9.12.3.20) con g(y) = yb.

Solución:

Del Ejemplo 9.11.3.3,

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-8.png

Por lo tanto

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-9.png   

Ecuación de Laplace para una franja semi-infinita

Ahora buscamos soluciones de la ecuación de Laplace en la franja semi-infinita

S: {0 < x <ay > 0}

(Figura 9.12.3.12) que satisfacen condiciones de frontera homogéneas en x = 0  y  x = a, y una condición no homogénea de Dirichlet o Neumann en y = 0. Un ejemplo de tal problema es

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-10.png      (9.12.3.24)

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-11.png

Figura 9.12.3.12 Un problema de valores en la frontera en una franja semi-infinita

      Las condiciones de contorno en este problema no son suficientes para determinar u, porque si u0 = u0(x, y) es una solución y K es una constante entonces

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-12.png

también es una solución. (Compruebe). Sin embargo, si también requerimos, por razones físicas, que la solución permanezca acotada para todo (x, y) en S, entonces K = 0 y esta dificultad se elimina.

Ejemplo ilustrativo 9.12.3.9

Defina la solución formal acotada de (9.12.3.24).

Solución:

Procediendo como en la solución del ejemplo 9.12.3.1, encontramos que las funciones de bloques de construcción son de la forma

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-13.png

donde

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-14.png

Por lo tanto

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-15.png

donde c1 y c2 son constantes. Aunque las condiciones de frontera en (9.12.3.24) no restringen c1 y c2, debemos establecer c1 = 0 para asegurar que Yn esté acotado. Dejando c2 = 1 rendimientos

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-16.png

y definimos la solución formal acotada de (9.12.3.24) como

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-17.png

donde

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-18.png

es la serie de senos de Fourier de f en [0, a].   

      Vea los ejercicios 29 a 34 para otros problemas de valores en la frontera en una franja semi-infinita.

Deja un comentario