9. Ecuaciones diferenciales
9.10. Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales
Ejercicios resueltos del capítulo 9

9.10.3 TEORÍA BÁSICA DEL SISTEMA LINEAL HOMOGÉNEO

      En esta sección consideramos sistemas lineales homogéneos y′ = A(t)y, donde A = A(t) es una función de matriz continua n × n en un intervalo (a, b). La teoría de sistemas lineales homogéneos tiene mucho en común con la teoría de ecuaciones escalares lineales homogéneas, que consideramos en las secciones 9.2.1, 9.5.1 y 9.9.1.

      Siempre que nos refiramos a soluciones de y′ = A(t)y nos referiremos a soluciones en (a, b). Como y0 es obviamente una solución de y′ = A(t)y, la llamamos solución trivial. Cualquier otra solución es no trivial.

      Si y1, y2,. . . , yn son funciones vectoriales definidas en un intervalo (a, b) y c1, c2,. . . , cn son constantes, entonces

y = c1y1 + c2y2 + · · · + cnyn             (9.10.3.1)

es una combinación lineal de y1, y2,. . . , yn. Es fácil demostrar que si y1, y2,. . . , yn son soluciones de y′ = A(t)y en (a, b), entonces también lo es cualquier combinación lineal de y1, y2,. . . , yn (ejercicio 1). Decimos que {y1, y2,. . . , yn} es un conjunto fundamental de soluciones de y′ = A(t)y en (a, b) en si la misma solución de y′ = A(t)y en (a, b) se puede escribir como una combinación lineal de y1, y2,. . . , yn, como en (9.10.3.1). En este caso decimos que (9.10.3.1) es la solución general de y′ = A(t)y en (a, b).

      Se puede demostrar que si A es continua en (a, b) entonces y′ = A(t)y tiene infinitos conjuntos fundamentales de soluciones en (a, b) (Ejercicios 15 y 16). La siguiente definición ayudará a caracterizar conjuntos fundamentales de soluciones de y′ = A(t)y.

      Decimos que un conjunto {y1, y2,. . ., yn} de n funciones vectoriales es linealmente independiente en (a, b) si las únicas constantes c1, c2,. . . , cn tal que

c1y1(t) + c2y2(t) + · · · + cnyn(t) = 0, a < t < b,              (9.10.3.2)

son c1 = c2 = · · · = cn = 0. Si (9.10.3.2) se cumple para algún conjunto de constantes c1, c2,. . . , cn que no son todos cero, entonces {y1, y2,. . ., yn} es linealmente dependiente en (a, b).

      El siguiente teorema es análogo a los teoremas 9.5.1.3 y 9.9.1.2

 

Teorema 9.10.3.1

Suponga que la matriz de n × n  A = A(t) es continua en (a, b). Entonces un conjunto {y1, y2,. . ., yn} de n soluciones de y′ = A(t)y en (a, b) es un conjunto fundamental si y solo si es linealmente independiente en (a, b).

Ejemplo ilustrativo 9.10.3.1

Demuestre que los vectores de funciones

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son linealmente independientes en cada intervalo (a, b).

Solución:

Suponga queEsta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-58.png

Debemos demostrar que c1 = c2 = c3 = 0. Al reescribir esta ecuación en forma de matriz se obtiene

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Ampliando el determinante de este sistema en cofactores de las entradas de la primera fila, se obtiene

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Dado que este determinante nunca es cero, c1 = c2 = c3 = 0.      ♦

      Podemos usar el método del ejemplo 9.10.3.1 para probar n soluciones {y1, y2,. . . , yn} de cualquier sistema n × n  y′ = A(t)y para la independencia lineal en un intervalo (a, b) en el que A es continua. Para explicar esto (y para otros propósitos más adelante), es útil escribir una combinación lineal de y1, y2,. . . , yn de una manera diferente. Primero escribimos las funciones vectoriales en términos de sus componentes como

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SiEsta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-62.pngentoncesEsta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-63.png

Esto muestra que

c1y1 + c2y2 + · · · + cnyn = Y c,              (9.10.3.3)

dondeEsta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-64.pngyEsta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-65.pnges decir, las columnas de Y son las funciones vectoriales y1, y2,. . ., yn.

 

     Para referencia a continuación, tenga en cuenta que

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es decir, Y satisface la ecuación diferencial matricial

Y′ = AY.

 

El determinante de Y,Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-67.pngse llama el Wronskiano de {y1, y2,. . ., yn}. Se puede demostrar (Ejercicios 2 y 3) que esta definición es análoga a las definiciones del Wronskiano de funciones escalares dadas en las Secciones 9.5.1 y 9.9.1. El siguiente teorema es análogo a los teoremas 9.5.1.4 y 9.9.1.3. La demostración se bosqueja en el ejercicio 4 para n = 2 y en el ejercicio 5 para n general.

Teorema 9.10.3.2  [Fórmula de Abel]

Suponga que la matriz cuadrada n × nA = A(t) es continua en (a, b), y sean y1, y2,. . . , yn soluciones de y′ = A(t)y en (a, b), y un valor particular t0 pertenece al intervalo (a, b). Entonces el wronskiano de {y1, y2,. . . , yn} viene dado por

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Por lo tanto, W no tiene ceros en (a, b) o W ≡ 0 en (a, b). 

OBSERVACIÓN: La suma de las entradas de la diagonal de una matriz cuadrada A se llama la traza de A, denotada por tr(A). Por lo tanto, para una matriz A de n × n,

tr(A) = a11 + a22 + · · · + ann,

y (9.10.3.6) se puede escribir como

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      El siguiente teorema es análogo a los teoremas 9.5.1.6 y 9.9.1.4.

Teorema 9.10.3.3

Suponga que la matriz cuadrada n × nA = A(t) es continua en (a, b), y sean y1, y2,. . . , yn soluciones de y′ = A(t)y en (a, b). Entonces las siguientes declaraciones son equivalentes; es decir, todas son verdaderos o todas son falsas:

(a) La solución general de y′ = A(t)y en (a, b) es y = c1y1 + c2y2 + · · · + cnyn, donde c1, c2,. . ., cn son constantes arbitrarias.
(b) {y1, y2,. . . , yn} es un conjunto fundamental de soluciones de y′ = A(t)y en (a, b).
(c) {y1, y2,. . . , yn} es linealmente independiente en (a, b).
(d) El wronskiano de {y1, y2,. . . , yn} es distinto de cero en algún punto de (a, b).
(e) El wronskiano de {y1, y2,. . . , yn} es distinto de cero en todos los puntos de (a, b). 

      Decimos que Y en (9.10.3.4) es una matriz fundamental para y′ = A(t)y si alguno (y por lo tanto todos) de los enunciados (a) – (e) del Teorema 9.10.3.2 son verdaderos para las columnas de Y. En este caso, (9.10.3.3) implica que la solución general de y′ = A(t)y se puede escribir como y = Yc, donde c es un n-vector constante arbitrario.

Ejemplo ilustrativo 9.10.3.2

Las funciones vectoriales

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son soluciones del sistema de coeficientes constantes

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-186.png              (9.10.3.7)

en (−∞, ∞). (Verificar).

(a) Calcule el wronskiano de {y1, y2} directamente de la definición (9.10.3.5)
(b) Verifique la fórmula de Abel (9.10.3.6) para el wronskiano de {y1, y2}.
(c) Encuentre la solución general de (9.10.3.7).
(d) Resuelva el problema de valor inicial

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Solución:

(a) De (9.10.3.5)

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(b) Aquí

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entonces tr(A) = −4 + 5 = 1. Si t0 es un número real arbitrario, entonces (9.10.3.6) implica que

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que es consistente con (9.10.3.9).

(c) Dado que W(t) ≠ 0, el teorema 9.10.3.3 implica que {y1, y2} es un conjunto fundamental de soluciones de (9.10.3.7) y

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es una matriz fundamental para (9.10.3.7). Por tanto, la solución general de (9.10.3.7) es

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-193.png      (9.10.3.10)

(d) Establecer t = 0 en (9.10.3.10) e imponer la condición inicial en (9.10.3.8) produce

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Por lo tanto,

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La solución de este sistema es c1 = −1, c2 = −3. Sustituyendo estos valores en (9.10.3.10) se obtiene

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como la solución de (9.10.3.8).

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