9.10.3 TEORÍA BÁSICA DE LOS SISTEMAS LINEALES HOMOGÉNEOS

| 9. Ecuaciones diferenciales | 9.10. Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales |

9.10.3 TEORÍA BÁSICA DE LOS SISTEMAS LINEALES HOMOGÉNEOS

En esta sección consideramos sistemas lineales homogéneos y′ = A(t)y, donde A = A(t) es una función de matriz continua n × n en un intervalo (a, b). La teoría de sistemas lineales homogéneos tiene mucho en común con la teoría de ecuaciones escalares lineales homogéneas, que consideramos en las secciones 9.2.1, 9.5.1 y 9.9.1.

Siempre que nos refiramos a soluciones de y′ = A(t)y nos referiremos a soluciones en (a, b). Como y ≡ 0 es obviamente una solución de y′ = A(t)y, la llamamos solución trivial. Cualquier otra solución es no trivial.

Si y₁, y₂,. . . , y_n son funciones vectoriales definidas en un intervalo (a, b) y c₁, c₂,. . . , c_n son constantes, entonces

y = c₁y₁ + c₂y₂ + · · · + c_ny_n (9.10.3.1)

es una combinación lineal de y₁, y₂,. . . , y_n. Es fácil demostrar que si y₁, y₂,. . . , y_n son soluciones de y′ = A(t)y en (a, b), entonces también lo es cualquier combinación lineal de y₁, y₂,. . . , y_n (ejercicio 1). Decimos que {y₁, y₂,. . . , y_n} es un conjunto fundamental de soluciones de y′ = A(t)y en (a, b) en si la misma solución de y′ = A(t)y en (a, b) se puede escribir como una combinación lineal de y₁, y₂,. . . , y_n, como en (9.10.3.1). En este caso decimos que (9.10.3.1) es la solución general de y′ = A(t)y en (a, b).

Se puede demostrar que si A es continua en (a, b) entonces y′ = A(t)y tiene infinitos conjuntos fundamentales de soluciones en (a, b) (Ejercicios 15 y 16). La siguiente definición ayudará a caracterizar conjuntos fundamentales de soluciones de y′ = A(t)y.

Decimos que un conjunto {y₁, y₂,. . ., y_n} de n funciones vectoriales es linealmente independiente en (a, b) si las únicas constantes c₁, c₂,. . . , c_n tal que

c₁y₁(t) + c₂y₂(t) + · · · + c_ny_n(t) = 0, a < t < b, (9.10.3.2)

son c₁ = c₂ = · · · = c_n = 0. Si (9.10.3.2) se cumple para algún conjunto de constantes c₁, c₂,. . . , c_n que no son todos cero, entonces {y₁, y₂,. . ., y_n} es linealmente dependiente en (a, b).

El siguiente teorema es análogo a los Teoremas 9.5.1.3 y 9.9.1.2

Teorema 9.10.3.1

Suponga que la matriz de n × n A = A(t) es continua en (a, b). Entonces un conjunto {y₁, y₂,. . ., y_n} de n soluciones de y′ = A(t)y en (a, b) es un conjunto fundamental si y solo si es linealmente independiente en (a, b). ♦

Ejemplo ilustrativo 9.10.3.1

Demuestre que los vectores de funciones

son linealmente independientes en cada intervalo (a, b).

Solución:

Suponga que

Debemos demostrar que c₁ = c₂ = c₃ = 0. Al reescribir esta ecuación en forma de matriz se obtiene

Ampliando el determinante de este sistema en cofactores de las entradas de la primera fila, se obtiene

Dado que este determinante nunca es cero, c₁ = c₂ = c₃ = 0. ♦

Podemos usar el método del ejemplo 9.10.3.1 para probar n soluciones {y₁, y₂,. . . , y_n} de cualquier sistema n × n y′ = A(t)y para la independencia lineal en un intervalo (a, b) en el que A es continua. Para explicar esto (y para otros propósitos más adelante), es útil escribir una combinación lineal de y₁, y₂,. . . , y_n de una manera diferente. Primero escribimos las funciones vectoriales en términos de sus componentes como

Sientonces

Esto muestra que

c₁y₁ + c₂y₂ + · · · + c_ny_n = Y c, (9.10.3.3)

dondeyes decir, las columnas de Y son las funciones vectoriales y₁, y₂,. . ., y_n.

Para referencia a continuación, tenga en cuenta que

es decir, Y satisface la ecuación diferencial matricial

Y′ = AY.

El determinante de Y,se llama el Wronskiano de {y₁, y₂,. . ., y_n}. Se puede demostrar (Ejercicios 2 y 3) que esta definición es análoga a las definiciones del Wronskiano de funciones escalares dadas en las Secciones 9.5.1 y 9.9.1. El siguiente teorema es análogo a los teoremas 9.5.1.4 y 9.9.1.3. La demostración se bosqueja en el ejercicio 4 para n = 2 y en el ejercicio 5 para n general.

Teorema 9.10.3.2 [Fórmula de Abel]

Suponga que la matriz cuadrada n × n, A = A(t) es continua en (a, b), y sean y₁, y₂,. . . , y_n soluciones de y′ = A(t)y en (a, b), y un valor particular t₀ pertenece al intervalo (a, b). Entonces el wronskiano de {y₁, y₂,. . . , y_n} viene dado por

Por lo tanto, W no tiene ceros en (a, b) o W ≡ 0 en (a, b). ♦

OBSERVACIÓN: La suma de las entradas de la diagonal de una matriz cuadrada A se llama la traza de A, denotada por tr(A). Por lo tanto, para una matriz A de n × n,

tr(A) = a₁₁ + a₂₂ + · · · + a_nn,

y (9.10.3.6) se puede escribir como

El siguiente teorema es análogo a los teoremas 9.5.1.6 y 9.9.1.4.

Teorema 9.10.3.3

Suponga que la matriz cuadrada n × n, A = A(t) es continua en (a, b), y sean y₁, y₂,. . . , y_n soluciones de y′ = A(t)y en (a, b). Entonces las siguientes declaraciones son equivalentes; es decir, todas son verdaderos o todas son falsas:

(a) La solución general de y′ = A(t)y en (a, b) es y = c₁y₁ + c₂y₂ + · · · + c_ny_n, donde c₁, c₂,. . ., c_n son constantes arbitrarias.
(b) {y₁, y₂,. . . , y_n} es un conjunto fundamental de soluciones de y′ = A(t)y en (a, b).
(c) {y₁, y₂,. . . , y_n} es linealmente independiente en (a, b).
(d) El wronskiano de {y₁, y₂,. . . , y_n} es distinto de cero en algún punto de (a, b).
(e) El wronskiano de {y₁, y₂,. . . , y_n} es distinto de cero en todos los puntos de (a, b). ♦

Decimos que Y en (9.10.3.4) es una matriz fundamental para y′ = A(t)y si alguno (y por lo tanto todos) de los enunciados (a) – (e) del Teorema 9.10.3.2 son verdaderos para las columnas de Y. En este caso, (9.10.3.3) implica que la solución general de y′ = A(t)y se puede escribir como y = Yc, donde c es un n-vector constante arbitrario.

Ejemplo ilustrativo 9.10.3.2

Las funciones vectoriales

son soluciones del sistema de coeficientes constantes

(9.10.3.7)

en (−∞, ∞). (Verificar).

(a) Calcule el wronskiano de {y₁, y₂} directamente de la definición (9.10.3.5)
(b) Verifique la fórmula de Abel (9.10.3.6) para el wronskiano de {y₁, y₂}.
(c) Encuentre la solución general de (9.10.3.7).
(d) Resuelva el problema de valor inicial

(9.10.3.8)