Longitud del arco de una curva y área de una superficie

LONGITUD DEL ARCO DE UNA CURVA Y ÁREA DE UNA SUPERFICIE: Objetivos de aprendizaje

6.4.1. Determinar la longitud de una curva, y = f (x), entre dos puntos.
6.4.2. Determinar la longitud de una curva, x = g (y), entre dos puntos.
6.4.3. Encontrar el área de superficie de un sólido de revolución.

En esta sección, usamos integrales definidas para encontrar la longitud del arco de una curva. Podemos pensar en la longitud del arco como la distancia que viajarías si estuvieras caminando por el camino de la curva. Muchas aplicaciones del mundo real implican la longitud del arco. Si se lanza un cohete a lo largo de una trayectoria parabólica, es posible que queramos saber qué tan lejos viaja el cohete. O, si una curva en un mapa representa un camino, es posible que deseemos saber qué tan lejos tenemos que conducir para llegar a nuestro destino.

Comenzamos calculando la longitud del arco de las curvas definidas como funciones de x, luego examinamos el mismo proceso para las curvas definidas como funciones de y. (El proceso es idéntico, con los roles de x e y invertidos). Las técnicas que usamos para hallar la longitud del arco se pueden extender para calcular el área de una superficie de revolución, y cerramos la sección con un examen de este concepto.

6.4.1 Longitud del arco de la curva y = f (x)

En aplicaciones anteriores de integración, requeríamos que la función f (x) fuera integrable, o al menos continua. Sin embargo, para calcular la longitud de arco tenemos un requisito más estricto para f(x). Ahora, requerimos que f(x) sea diferenciable, y además que su derivada, f ‘(x), sea continua. Las funciones como esta, que tienen derivadas continuas, se denominan suaves. (Esta propiedad vuelve a aparecer en capítulos posteriores).

Sea f(x) una función suave definida sobre [a, b]. Queremos calcular la longitud de la curva desde el punto (a, f (a)) hasta el punto (b, f (b)). Comenzamos usando segmentos de recta para aproximar la longitud de la curva. Para i = 0, 1, 2, …, n, sea P = {x_i} una partición regular de [a, b]. Luego, para i = 1, 2, …, n, se construye un segmento de recta desde el punto (x_{i − 1}, f(x_{i − 1})) hasta el punto (x_i, f(x_i)). Aunque parezca lógico usar segmentos de recta horizontales o verticales, queremos que nuestros segmentos de recta se aproximen a la curva lo más posible. La figura 6.14 muestra esta construcción para n = 5.

Para auxiliarnos en el cálculo de la longitud de cada segmento de recta, observamos el cambio en la distancia vertical, así como el cambio en la distancia horizontal en cada intervalo. Como hemos usado una partición regular, el cambio en la distancia horizontal en cada intervalo viene dado por Δx. Sin embargo, el cambio en la distancia vertical varía de un intervalo a otro, por lo que usamos Δy_i = f(x_i) − f(x_{i − 1}) para representar el cambio en la distancia vertical durante el intervalo [x_{i − 1}, x_i], como se muestra en Figura 6.15. Tenga en cuenta que algunos (o todos) los Δy_i pueden ser negativos.

Según el teorema de Pitágoras, la longitud del segmento de recta es

También podemos escribir esto como

Ahora, según el teorema del valor medio, hay un punto x_i* ∈ [x_{i − 1}, x_i] tal que f ′ (x_i*) = (Δy_i) / (Δx). Entonces la longitud del segmento de recta viene dada por

Sumando las longitudes de todos los segmentos de recta, obtenemos la siguiente aproximación para la longitud del arco

Esta es una suma de Riemann. Tomando el límite cuando n → ∞, obtenemos

Resumimos estos hallazgos en el siguiente teorema.

Teorema 6.4.1. Longitud del arco para y = f (x)

Sea f (x) una función suave en el intervalo cerrado [a, b]. Entonces, la longitud del arco de la porción de la gráfica de f (x) desde el punto (a, f (a)) hasta el punto (b, f (b)) viene dada por

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Tenga en cuenta que estamos integrando una expresión que involucra f ′(x), por lo que debemos asegurarnos de que f ′(x) sea integrable. Es por eso que requerimos que f (x) sea suave.

Ejemplo ilustrativo 6.4_1  Cálculo de la longitud de arco de una función de x

Sea f (x)=2x^3/2. Calcula la longitud del arco de la gráfica de f (x) sobre el intervalo [0, 1]. Redondea la respuesta a tres decimales.

Solución:

Tenemos f ′(x) = 3x^1/2, entonces [f ′(x)]² = 9x. Entonces, la longitud del arco es

Se sustituye u = 1 + 9x, entonces, du = 9dx. Cuando x = 0, entonces u = 1, y cuando x = 1, entonces u =10. Por lo tanto,

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Aunque es bueno tener una fórmula para calcular la longitud del arco, este teorema particular puede generar expresiones que son difíciles de integrar. Estudiamos algunas técnicas para la integración en Introducción a las técnicas de integración. En algunos casos, es posible que tengamos que usar una computadora o una calculadora para aproximar el valor de la integral.

Longitud del arco de la curva x = g(y)

Acabamos de ver cómo aproximar la longitud de una curva con segmentos de recta. Si queremos encontrar la longitud del arco de la gráfica de una función de y, podemos repetir el mismo proceso, excepto que dividimos el eje y en lugar del eje x. La figura 6.16 muestra un segmento de recta representativo.

Tenemos que la longitud del segmento de recta es

que también se puede escribir como

Si ahora seguimos el mismo desarrollo que hicimos anteriormente, obtenemos una fórmula para la longitud del arco de una función x = g(y).

Teorema 6.4.2.  Longitud del arco para x = g(y)

Sea g(y) una función suave en un intervalo cerrado [c, d]. Entonces, la longitud del arco de la gráfica de g(y) desde el punto (c, g(c)) hasta el punto (d, g(d)) viene dada por

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Ejercicios resueltos