Límites y continuidad

Figura 2.0_1 La visión de la exploración humana realizada por la Administración Nacional de Aeronáutica y del Espacio (NASA) a partes distantes del universo ilustra la idea del viaje espacial a altas velocidades. Pero, ¿hay un límite en cuanto a qué tan rápido puede ir una nave espacial? (crédito: NASA)

Los escritores de ciencia ficción a menudo imaginan naves espaciales que pueden viajar a planetas lejanos en galaxias distantes. Sin embargo, en 1905, Albert Einstein demostró que existe un límite para la velocidad con la que puede viajar cualquier objeto. El problema es que cuanto más rápido se mueve un objeto, más masa alcanza (en forma de energía), de acuerdo con la ecuación

donde m0 es la masa del objeto en reposo, v es su velocidad y c es la velocidad de la luz. ¿Cuál es este límite de velocidad? (Exploramos este problema más adelante en el Ejemplo ilustrativo 2.2_9.)

La idea de un límite es fundamental para todo el cálculo. Comenzamos este capítulo examinando por qué los límites son tan importantes. Luego, pasamos a describir cómo encontrar el límite de una función en un punto dado. No todas las funciones tienen límites en todos los puntos, y discutimos lo que esto significa y cómo podemos saber si una función tiene o no un límite en un valor particular. Este capítulo se ha creado de manera informal e intuitiva, pero esto no siempre es suficiente si necesitamos probar una declaración matemática que implique límites. La última sección de este capítulo presenta la definición más precisa de un límite y muestra cómo probar si una función tiene un límite.

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