| 10. Cálculo vectorial – Vectores en el espacio | Ejercicios propuestos para el Capítulo 10.1 |

10.1 Vectores en el plano

Objetivos de aprendizaje:

10.1.1  Describir un vector en el plano, usando la notación correcta.

10.1.2  Realizar operaciones básicas de vectores (multiplicación escalar, suma, resta).

10.1.3  Expresar un vector en forma de componente.

10.1.4  Fórmula para la magnitud de un vector.

10.1.5  Expresar un vector en términos de vectores unitarios.

10.1.6  Ejemplos de cantidades vectoriales.

       Cuando se describe el movimiento de un avión en vuelo, es importante comunicar dos datos: la dirección en la que viaja el avión y la velocidad del avión. Al medir una fuerza, como el empuje de los motores del avión, es importante describir no sólo la magnitud de esa fuerza, sino también la dirección en la que se aplica. Algunas cantidades, como la fuerza, se definen en términos de magnitud y dirección. Una cantidad que tiene magnitud y dirección se llama vector. En este texto, denotamos vectores con letras en negrita, como v.

Definición 10.1.1:  Vector

Un vector es una cantidad que tiene magnitud y dirección. ♦

Representación vectorial

Un vector en el plano está representado por un segmento de recta dirigida (una flecha). Los puntos extremos del segmento se denominan punto inicial y punto terminal del vector. Una flecha desde el punto inicial al punto terminal indica la dirección del vector. La longitud del segmento de recta representa su magnitud. Usamos la notación ∥v∥ para denotar la magnitud del vector v. Un vector con un punto inicial y un punto terminal que son iguales se llama vector cero, denotado 0. El vector cero es el único vector sin dirección, y por convención se puede considerar que tiene cualquier dirección conveniente para el problema en cuestión.

Vectores equivalentes. Los vectores con la misma magnitud y dirección se denominan vectores equivalentes. Tratamos los vectores equivalentes como iguales, incluso si tienen puntos iniciales diferentes. Por lo tanto, si v y w son equivalentes, escribimos

v = w.

Definición 10.1.2:  Vectores equivalentes

Se dice que dos vectores son vectores equivalentes si tienen la misma magnitud y dirección. ♦

Las flechas en la Figura 10.1_1(b) son equivalentes. Cada flecha tiene la misma longitud y dirección. Un concepto estrechamente relacionado es la idea de vectores paralelos. Se dice que dos vectores son paralelos si tienen las mismas direcciones o direcciones opuestas. Analizaremos esta idea en profundidad más adelante en el capítulo. Un vector se define por su magnitud y dirección, independientemente de dónde se encuentre su punto inicial.

El uso de letras minúsculas en negrita para nombrar vectores es una representación común en la impresión, pero hay notaciones alternativas. Al escribir el nombre de un vector a mano, por ejemplo, es más fácil dibujar una flecha sobre la variable para referirse a un vector:

Cuando un vector tiene un punto inicial P y un punto terminal Q, la siguiente notación es útil porque indica la dirección y ubicación del vector:

EJEMPLO ILUSTRATIVO 10.1_1  Dibujando Vectores

Dibuje un vector en el plano desde el punto inicial P (1, 1) hasta el punto terminal Q (8, 5).

Solución:

Ejercicio de control 10.1_1

Dibuje un vector en el plano desde el punto inicial P (3, −1) hasta el punto terminal Q (−2, 3). ♦

Combinando Vectores

Los vectores tienen muchas aplicaciones de la vida real, incluidas situaciones que implican fuerza o velocidad. Por ejemplo, considere las fuerzas que actúan en un bote que cruza un río. El motor del bote genera una fuerza en una dirección, y la corriente del río genera una fuerza en otra dirección. Ambas fuerzas son vectores. Debemos tener en cuenta tanto la magnitud como la dirección de cada fuerza si queremos saber a dónde irá el bote.

Un segundo ejemplo que involucra vectores es un mariscal de campo lanzando una pelota de fútbol. El mariscal de campo no lanza la pelota paralela al suelo; en cambio, apunta hacia el aire. La velocidad de su lanzamiento puede ser representada por un vector. Si sabemos qué tan fuerte lanza la pelota (magnitud, en este caso, rapidez) y el ángulo (dirección), podemos decir qué tan lejos viajará la pelota por el campo.

       Un número real a menudo se llama escalar en matemáticas y física. A diferencia de los vectores, generalmente se considera que los escalares solo tienen una magnitud, pero no una dirección. Multiplicar un vector por un escalar cambia la magnitud del vector. Esto se llama multiplicación escalar. Tenga en cuenta que cambiar la magnitud de un vector no indica un cambio en su dirección. Por ejemplo, el viento que sopla de norte a sur puede aumentar o disminuir su velocidad mientras mantiene su dirección de norte a sur.

Definición 10.1.3:  Multiplicación escalar

El producto k v de un vector v y un escalar k es un vector con una magnitud que es | k | veces la magnitud de v, y con una dirección que es la misma que la dirección de v si k > 0, y opuesta a la dirección de v si k < 0. Esto se denomina multiplicación escalar. Si k = 0 o v = 0, entonces k v = 0. ♦

Como es de esperar, si k = −1, denotamos el producto k v como

k v = (−1) v = −v.

Tenga en cuenta que −v tiene la misma magnitud que v, pero tiene la dirección opuesta (Figura 10.1_2).

       Otra operación que podemos realizar con vectores es sumarlos en la suma de vectores, pero como cada vector puede tener su propia dirección, el proceso es diferente al de sumar dos números. El método gráfico más común para sumar dos vectores es colocar el punto inicial del segundo vector en el punto terminal del primero, como en la Figura 10.1_3(a). Para ver por qué esto tiene sentido, supongamos, por ejemplo, que ambos vectores representan desplazamiento. Si un objeto se mueve primero desde el punto inicial hasta el punto terminal del vector v, luego desde el punto inicial hasta el punto terminal del vector w, el desplazamiento general es el mismo que si el objeto hubiera hecho un solo movimiento desde el punto inicial hasta el punto terminal del vector que designamos por v + w. Por razones obvias, este enfoque se llama el método del triángulo. Tenga en cuenta que si hubiéramos cambiado el orden, de modo que w fuera nuestro primer vector y v fuera nuestro segundo vector, habríamos tenido el mismo desplazamiento general. (Nuevamente, vea la Figura 10.1_3(a).) Por lo tanto, v + w = ​​w + v.

Un segundo método gráfico para sumar vectores se llama método del paralelogramo. Con este método, colocamos los dos vectores para que tengan el mismo punto inicial, y luego dibujamos un paralelogramo con los vectores como dos lados adyacentes, como en la Figura 10.1_3(b). La longitud de la diagonal del paralelogramo es la suma. Comparando la Figura 10.1_3(b) y la Figura 10.1_3(a), podemos ver que obtenemos la misma respuesta usando cualquiera de los métodos. El vector v + w se llama suma vectorial.

Definición 10.1.4:   Adición de vectores

La suma de dos vectores v y w puede construirse gráficamente colocando el punto inicial de w en el punto terminal de v. Luego, la suma vectorial, v + w, es el vector con un punto inicial que coincide con el punto inicial de v y tiene un punto terminal que coincide con el punto terminal de w. Esta operación se conoce como adición de vectores. ♦

En la Figura 10.1_3(a), el punto inicial de v + w es el punto inicial de v. El punto terminal de v + w es el punto terminal de w. Estos tres vectores forman los lados de un triángulo. Se deduce que la longitud de cualquier lado del triángulo es menor que la suma de las longitudes de los dos lados restantes. Entonces tenemos

∥v + w∥ ≤ ∥v∥ + ∥w∥.

Esto se conoce más generalmente como la desigualdad del triángulo. Sin embargo, hay un caso en el que el vector resultante u + v tiene la misma magnitud que la suma de las magnitudes de u y v. Esto sucede solo cuando u y v tienen la misma dirección.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 10.1_2  Combinando Vectores

Dados los vectores v y w que se muestran en la Figura 10.1_4, dibuje los vectores

a. 3w

b. v + w

c. 2v − w

(Figura 10.1_4 Los vectores v y w se encuentran en el mismo plano.)

Solución:

a. El vector 3w tiene la misma dirección que w; es tres veces más largo que w.

b. Use cualquiera de los métodos geométricos de suma para encontrar v + w.

Para encontrar v + w, alinee los vectores en sus puntos iniciales o coloque el punto inicial de un vector en el punto terminal del otro. (a) El vector v + w es la diagonal del paralelogramo con los lados v y w. (b) El vector v + w es el tercer lado de un triángulo formado con w colocado en el punto terminal de v.

c. Para encontrar 2v − w, primero podemos reescribir la expresión como 2v + (− w). Luego podemos dibujar el vector −w, luego agregarlo al vector 2v.

Ejercicio de control 10.1_2

Utilizando los vectores v y w del ejemplo ilustrativo 10.1_2, dibuje el vector 2w − v. ♦

Componentes de un vector

      Un sistema de coordenadas proporciona un marco adecuado para analizar vectores en un plano. Cuando los puntos iniciales y los puntos terminales de los vectores se dan en coordenadas cartesianas, los cálculos se vuelven sencillos.

 

EJEMPLO ILUSTRATIVO 10.1_3  Comparación de vectores

¿Son v y w vectores equivalentes?

a)  v tiene un punto inicial (3, 2) y un punto terminal (7, 2)

     w tiene un punto inicial (1, −4) y un punto terminal (1, 0)

b)  v tiene un punto inicial (0, 0) y un punto terminal (1, 1)

     w tiene un punto inicial (−2, 2) y un punto terminal (−1, 3)

Solución:

Ejercicio de control 10.1_3

¿Cuáles de los siguientes vectores son equivalentes?

       Hemos visto cómo trazar un vector cuando se nos da un punto inicial y un punto terminal. Sin embargo, debido a que un vector se puede colocar en cualquier lugar del plano, puede ser más fácil realizar cálculos con un vector cuando su punto inicial coincide con el origen. Llamamos a un vector con su punto inicial en el origen un vector de posición estándar. Dado que se sabe que el punto inicial de cualquier vector en posición estándar es (0, 0), podemos describir el vector mirando las coordenadas de su punto terminal. Por lo tanto, si el vector v tiene su punto inicial en el origen y su punto terminal en (x, y), escribimos el vector en forma de componente como

.

Cuando un vector se escribe en forma de componente como este, los escalares x e y se denominan componentes de v.

Definición 10.1.5:  Componentes de un vector

El vector v con el punto inicial (0, 0) y el punto terminal (x, y) se puede escribir en forma de componente como

.

Los escalares x e y se denominan los componentes de v. ♦

       Recuerde que los vectores se nombran con letras minúsculas en negrita o dibujando una flecha sobre su nombre. También hemos aprendido que podemos nombrar un vector por su forma de componente, con las coordenadas de su punto terminal entre paréntesis angulares. Sin embargo, al escribir la forma componente de un vector, es importante distinguir entre y (x, y). El primer par ordenado usa corchetes angulares para describir un vector, mientras que el segundo usa paréntesis para describir un punto en un plano. El punto inicial de es (0, 0); El punto terminal de  es (x, y).

       Cuando tenemos un vector que aún no está en posición estándar, podemos determinar su forma componente de una de dos maneras. Podemos usar un enfoque geométrico, en el que dibujamos el vector en el plano de coordenadas, y luego dibujamos un vector de posición estándar equivalente. Alternativamente, podemos encontrarlo algebraicamente, usando las coordenadas del punto inicial y el punto terminal. Para encontrarlo algebraicamente, restamos la coordenada x del punto inicial de la coordenada x del punto terminal para obtener el componente x, y restamos la coordenada y del punto inicial de la coordenada y del punto terminal para obtener el componente y.

Regla 10.1.1: Forma componente de un vector

Sea \( \mathbf{v} \) un vector con punto inicial \( (x_i, y_i) \) y punto terminal \( (x_t, y_t) \). Entonces, podemos expresar \( \mathbf{v} \) en forma de componente como \( \mathbf{v} = \langle x_t – x_i, y_t – y_i \rangle \).

♦

EJEMPLO ILUSTRATIVO 10.1_4  Expresando vectores en forma de componente

Exprese el vector v con el punto inicial (−3, 4) y el punto terminal (1, 2) en forma de componente.

Solución:

a) Procedimiento geométrico

1) Dibuje el vector en el plano de coordenadas (Figura 10.1_5).

2) El punto terminal está 4 unidades a la derecha y 2 unidades hacia abajo desde el punto inicial.

3) Encuentre el punto que está 4 unidades a la derecha y 2 unidades hacia abajo desde el origen.

4) En posición estándar, este vector tiene un punto inicial (0, 0) y un punto terminal (4, −2):

v = .

(Figura 10.1_5 Estos vectores son equivalentes.)

b) Procedimiento Algebraico

En la primera solución, usamos un boceto del vector para ver que el punto terminal se encuentra 4 unidades a la derecha. Podemos lograr esto algebraicamente encontrando la diferencia de las coordenadas x:

Del mismo modo, la diferencia de las coordenadas y muestra la longitud vertical del vector:

Entonces, en forma de componente,

Ejercicio de control 10.1_4

El vector w tiene un punto inicial (−4, −5) y un punto terminal (−1, 2). Exprese w en forma de componente. ♦

       Para encontrar la magnitud de un vector, calculamos la distancia entre su punto inicial y su punto terminal. La magnitud del vector v = se denota ||v||, o |v|, y se puede calcular utilizando la fórmula

Tenga en cuenta que debido a que este vector está escrito en forma de componente, es equivalente a un vector en posición estándar, con su punto inicial en el punto de origen y terminal (x, y). Por lo tanto, es suficiente calcular la magnitud del vector en posición estándar. Usando la fórmula de la distancia para calcular la distancia entre el punto inicial (0, 0) y el punto terminal (x, y), tenemos

Con base en esta fórmula, está claro que para cualquier vector v, ||v|| ≥ 0 y ∥v∥ = 0 si y sólo si v = 0.

La magnitud de un vector también se puede deducir usando el teorema de Pitágoras, como en la siguiente figura:

       Hemos definido la multiplicación escalar y la suma de vectores geométricamente. La expresión de vectores en forma de componentes nos permite realizar estas mismas operaciones algebraicamente.

Definición 10.1.6:  Dos operaciones básicas con vectores

Sean \( \mathbf{v} = \langle x_1, y_1 \rangle \) y \( \mathbf{w} = \langle x_2, y_2 \rangle \) vectores, y sea \( k \) un escalar.

Multiplicación escalar: \( k\mathbf{v} = \langle kx_1, ky_1 \rangle \)

Adición de vectores: \( \mathbf{v} + \mathbf{w} = \langle x_1, y_1 \rangle + \langle x_2, y_2 \rangle = \langle x_1 + x_2, y_1 + y_2 \rangle \)

♦

EJEMPLO ILUSTRATIVO 10.1_5  Realizar operaciones en forma de componente

Sea \( \mathbf{v} \) el vector con punto inicial \( (2, 5) \) y punto terminal \( (8, 13) \), y sea \( \mathbf{w} = \langle -2, 4 \rangle \).

1. Expresa \( \mathbf{v} \) en forma de componente y encuentra \( ||\mathbf{v}|| \). Entonces, usando álgebra, encuentra
2. \( \mathbf{v} + \mathbf{w} \),
3. \( 3\mathbf{v} \), y
4. \( \mathbf{v} – 2\mathbf{w} \).

Solución:

a. Para colocar el punto inicial de \( \mathbf{v} \) en el origen, debemos trasladar el vector 2 unidades a la izquierda y 5 unidades hacia abajo (Figura 10.1.7). Usando el método algebraico, podemos expresar \( \mathbf{v} \) como \( \mathbf{v} = \langle 8 – 2, 13 – 5 \rangle = \langle 6, 8 \rangle \):

\[ ||\mathbf{v}|| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10. \]

b. Para encontrar \( \mathbf{v} + \mathbf{w} \), suma las componentes x y las componentes y por separado:

\[ \mathbf{v} + \mathbf{w} = \langle 6, 8 \rangle + \langle -2, 4 \rangle = \langle 4, 12 \rangle. \]

c. Para encontrar \( 3\mathbf{v} \), multiplica \( \mathbf{v} \) por el escalar \( k = 3 \):

\[ 3\mathbf{v} = 3 \cdot \langle 6, 8 \rangle = \langle 3 \cdot 6, 3 \cdot 8 \rangle = \langle 18, 24 \rangle. \]

d. Para encontrar \( \mathbf{v} – 2\mathbf{w} \), encuentra \( -2\mathbf{w} \) y súmalo a \( \mathbf{v} \):

\[ \mathbf{v} – 2\mathbf{w} = \langle 6, 8 \rangle – 2 \cdot \langle -2, 4 \rangle = \langle 6, 8 \rangle + \langle 4, -8 \rangle = \langle 10, 0 \rangle. \]

♦

Ejercicio de control 10.1_5

Sean \( \mathbf{a} = \langle 7, 1 \rangle \) y \( \mathbf{b} \) el vector con punto inicial \( (3, 2) \) y punto terminal \( (-1, -1) \).

1. Encuentra \( ||\mathbf{a}|| \).
2. Expresa \( \mathbf{b} \) en forma de componente.
3. Encuentra \( 3\mathbf{a} – 4\mathbf{b} \).

♦

       Ahora que hemos establecido las reglas básicas de la aritmética vectorial, podemos dar las propiedades de las operaciones vectoriales. Probaremos dos de estas propiedades. Las otras pueden ser probadas de manera similar.

Teorema 10.1.1:  Propiedades de las operaciones vectoriales

Sean u, v y w vectores en el plano. Sean r y s escalares.

		Propiedad
i.	\( \mathbf{u} + \mathbf{v} = \mathbf{v} + \mathbf{u} \)	Propiedad Conmutativa
ii.	\( (\mathbf{u} + \mathbf{v}) + \mathbf{w} = \mathbf{u} + (\mathbf{v} + \mathbf{w}) \)	Propiedad Asociativa
iii.	\( \mathbf{u} + \mathbf{0} = \mathbf{u} \)	Propiedad de la Identidad Aditiva
iv.	\( \mathbf{u} + (-\mathbf{u}) = \mathbf{0} \)	Propiedad del Inverso Aditivo
v.	\( r(s\mathbf{u}) = (rs)\mathbf{u} \)	Asociatividad de la Multiplicación Escalar
vi.	\( (r + s)\mathbf{u} = r\mathbf{u} + s\mathbf{u} \)	Propiedad Distributiva
vii.	\( r(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = r\mathbf{u} + r\mathbf{v} \)	Propiedad Distributiva
viii.	\( 1\mathbf{u} = \mathbf{u}, 0\mathbf{u} = \mathbf{0} \)	Propiedades de la Identidad y el Cero

Demostración de la Propiedad Conmutativa

Sean \( \mathbf{u} = \langle x_1, y_1 \rangle \) y \( \mathbf{v} = \langle x_2, y_2 \rangle \). Aplica la propiedad conmutativa para números reales:

\[ \mathbf{u} + \mathbf{v} = \langle x_1 + x_2, y_1 + y_2 \rangle = \langle x_2 + x_1, y_2 + y_1 \rangle = \mathbf{v} + \mathbf{u}. \]

Demostración de la Propiedad Distributiva

Aplica la propiedad distributiva para números reales:

\[ \begin{aligned} r(\mathbf{u} + \mathbf{v}) &= r \cdot \langle x_1 + x_2, y_1 + y_2 \rangle \\ &= \langle r(x_1 + x_2), r(y_1 + y_2) \rangle \\ &= \langle rx_1 + rx_2, ry_1 + ry_2 \rangle \\ &= \langle rx_1, ry_1 \rangle + \langle rx_2, ry_2 \rangle \\ &= r\mathbf{u} + r\mathbf{v}. \end{aligned} \]

Ejercicio de control 10.1_6

Demuestre la propiedad inversa aditiva. ♦

       Hemos encontrado las componentes de un vector dados sus puntos iniciales y terminales. En algunos casos, solo podemos tener la magnitud y la dirección de un vector, no los puntos. Para estos vectores, podemos identificar las componentes horizontal y vertical usando trigonometría (Figura 10.1_8).

(Figura 10.1_8 Los componentes de un vector forman los catetos de un triángulo rectángulo, con el vector como hipotenusa.)

Considera el ángulo \( \theta \) formado por el vector \( \mathbf{v} \) y el eje x positivo. Podemos ver desde el triángulo que las componentes del vector \( \mathbf{v} \) son \( \langle \|\mathbf{v}\| \cos \theta, \|\mathbf{v}\| \sin \theta \rangle \). Por lo tanto, dado un ángulo y la magnitud de un vector, podemos usar el coseno y el seno del ángulo para encontrar las componentes del vector.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 10.1_6  Encontrar la forma componente de un vector usando trigonometría

Encuentre la forma componente de un vector con magnitud 4 que forma un ángulo de −45° con el eje x.

Solución:

Si \( x \) e \( y \) representan las componentes del vector (Figura 10.1.9). Entonces, \( x = 4 \cos(-45^\circ) = 2\sqrt{2} \) e \( y = 4 \sin(-45^\circ) = -2\sqrt{2} \). La forma de componente del vector es \( \langle 2\sqrt{2}, -2\sqrt{2} \rangle \).

(Figura 10.1_9 Use razones trigonométricas, x = ∥v∥cosθ e y = ∥v∥senθ, para identificar los componentes del vector.)

Ejercicio de control 10.1_7

Encuentre la forma componente del vector v con magnitud 10 que forma un ángulo de 120 ° con el eje x positivo. ♦

Vectores unitarios

Un vector unitario es un vector con magnitud 1. Para cualquier vector v, distinto de cero, podemos usar la multiplicación escalar para encontrar un vector unitario u que tenga la misma dirección que v. Para hacer esto, multiplicamos el vector por el recíproco de su magnitud:

Recuerde que cuando definimos la multiplicación escalar, notamos que ∥k v∥ = | k |⋅∥v∥.

Decimos que u es el vector unitario en la dirección de v (Figura 10.1_10). El proceso de usar la multiplicación escalar para encontrar un vector unitario con una dirección dada se llama normalización.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 10.1_7  Encontrar un vector unitario

a) Encuentre un vector unitario con la misma dirección que v.

b) Encuentre un vector w con la misma dirección que v tal que ∥w∥ = 7.

Solución:

a) Primero, encuentre la magnitud de v, luego divida los componentes de v por la magnitud:

b) El vector u está en la misma dirección que v y ∥u∥ = 1. Use la multiplicación escalar para aumentar la longitud de u sin cambiar de dirección:

Ejercicio de control 10.1_8

Sea \( \mathbf{v} = \langle 9, 2 \rangle \). Encuentra un vector con magnitud 5 en la dirección opuesta a \( \mathbf{v} \). ♦

Hemos visto lo conveniente que puede ser escribir un vector en forma de componente. Sin embargo, a veces es más conveniente escribir un vector como una suma de un vector horizontal y un vector vertical. Para facilitar esto, veamos los vectores unitarios estándar. Los vectores unitarios estándar son los vectores \( \mathbf{i} = \langle 1, 0 \rangle \) y \( \mathbf{j} = \langle 0, 1 \rangle \) (Figura 10.1.11).

Al aplicar las propiedades de los vectores, es posible expresar cualquier vector en términos de i y j en lo que llamamos una combinación lineal:

Por lo tanto, v es la suma de un vector horizontal con magnitud x, y un vector vertical con magnitud y, como en la siguiente figura:

EJEMPLO ILUSTRATIVO 10.1_8  Usando vectores unitarios estándar

1. Expresa el vector \( \mathbf{w} = \langle 3, -4 \rangle \) en términos de vectores unitarios estándar.
2. El vector \( \mathbf{u} \) es un vector unitario que forma un ángulo de \( 60^\circ \) con el eje x positivo. Usa vectores unitarios estándar para describir \( \mathbf{u} \).

Solución:

1. Resuelve el vector \( \mathbf{w} \) en un vector con una componente y igual a cero y un vector con una componente x igual a cero: \[ \mathbf{w} = \langle 3, -4 \rangle = 3\mathbf{i} – 4\mathbf{j}. \]
2. Dado que \( \mathbf{u} \) es un vector unitario, el punto terminal se encuentra en el círculo unitario cuando el vector se coloca en la posición estándar (Figura 2.20). \[ \begin{aligned} \mathbf{u} &= \langle \cos 60^\circ, \sin 60^\circ \rangle \\ &= \left\langle \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} \right\rangle \\ &= \frac{1}{2}\mathbf{i} + \frac{\sqrt{3}}{2}\mathbf{j}. \end{aligned} \]

Ejercicio de control 10.1_9

Sean \( \mathbf{a} = \langle 16, -11 \rangle \) y \( \mathbf{b} \) un vector unitario que forma un ángulo de \( 225^\circ \) con el eje x positivo. Expresa \( \mathbf{a} \) y \( \mathbf{b} \) en términos de los vectores unitarios estándar. ♦

Aplicaciones de los vectores

Debido a que los vectores tienen dirección y magnitud, son herramientas valiosas para resolver problemas que involucran aplicaciones tales como movimiento y fuerza.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 10.1_9  Hallando una fuerza resultante

El auto de Jane está atrapado en el barro. Lisa y Jed vienen en un camión para ayudar a sacarlo. Atan un extremo de una correa de remolque a la parte delantera del automóvil y el otro extremo al enganche de remolque del camión, y el camión comienza a tirar. Mientras tanto, Jane y Jed se ponen detrás del auto y empujan. El camión genera una fuerza horizontal de 300 lb sobre el automóvil. Jane y Jed empujan ligeramente hacia arriba y generan una fuerza de 150 lb sobre el automóvil. Estas fuerzas pueden representarse mediante vectores, como se muestra en la figura 10.1_12. El ángulo entre estos vectores es de 15°. Encuentre la fuerza resultante (la suma de los vectores: vector suma) y dé su magnitud a la décima de libra más cercana y su ángulo de dirección desde el eje x positivo.

Solución:

Para encontrar el efecto de combinar las dos fuerzas, suma sus vectores representativos. Primero, expresa cada vector en forma de componente o en términos de los vectores unitarios estándar. Para este propósito, es más fácil si alineamos uno de los vectores con el eje x positivo. El vector horizontal, entonces, tiene punto inicial \( (0, 0) \) y punto terminal \( (300, 0) \). Se puede expresar como \( \langle 300, 0 \rangle \) o \( 300\mathbf{i} \).

El segundo vector tiene una magnitud de 150 y forma un ángulo de \( 15^\circ \) con el primero, por lo que podemos expresarlo como \( \langle 150 \cos(15^\circ), 150 \sin(15^\circ) \rangle \), o \( 150 \cos(15^\circ) \mathbf{i} + 150 \sin(15^\circ) \mathbf{j} \). Entonces, la suma de los vectores, o vector resultante, es \( \mathbf{r} = \langle 300, 0 \rangle + \langle 150 \cos(15^\circ), 150 \sin(15^\circ) \rangle \), y tenemos

\[ \|\mathbf{r}\| = \sqrt{(300 + 150 \cos(15^\circ))^2 + (150 \sin(15^\circ))^2} \] \[ \approx 446.6. \]

El ángulo \( \theta \) formado por \( \mathbf{r} \) y el eje x positivo tiene \( \tan \theta = \frac{150 \sin 15^\circ}{(300 + 150 \cos 15^\circ)} \approx 0.09 \), por lo que \( \theta \approx \tan^{-1}(0.09) \approx 5^\circ \), lo que significa que la fuerza resultante \( \mathbf{r} \) tiene un ángulo de \( 5^\circ \) por encima del eje horizontal. ♦

EJEMPLO ILUSTRATIVO 10.1_10  Hallando la velocidad resultante

Un avión vuela hacia el oeste a una velocidad de 425 mph. El viento sopla del noreste a 40 mph. ¿Cuál es la velocidad de avance del avión? ¿Cuál es el rumbo del avión?

Solución:

Comencemos dibujando la situación descrita (Figura 10.1_13).

Configure un boceto para que los puntos iniciales de los vectores se encuentren en el origen. Entonces, el vector de velocidad del avión es p = −425i. El vector que describe el viento forma un ángulo de 225° con el eje x positivo:

Cuando la velocidad del aire y el viento actúan juntos en el avión, podemos agregar sus vectores para encontrar la fuerza resultante:

La magnitud del vector resultante muestra el efecto del viento sobre la velocidad de avance del avión:

Como resultado del viento, el avión viaja a aproximadamente 454 mph en relación con el suelo.

Para determinar el rumbo del avión, queremos encontrar la dirección del vector p + w:

La dirección general del avión es 3.57° al sur del oeste (suroeste).

Ejercicio de control 10.1_10

Un avión vuela hacia el norte a una velocidad de 550 mph. El viento sopla del noroeste a 50 mph. ¿Cuál es la velocidad respecto al suelo del avión? ♦