| 10. Cálculo vectorial – Vectores en el espacio | Ejercicios propuestos para el Capítulo 10.1 |

10.1 VECTORES EN EL PLANO: Objetivos de aprendizaje

10.1.1. Describir un vector en el plano, usando la notación correcta.

10.1.2. Realizar operaciones básicas de vectores (multiplicación escalar, suma, resta).

10.1.3. Expresar un vector en forma de componente.

10.1.4. Fórmula para la magnitud de un vector.

10.1.5. Expresar un vector en términos de vectores unitarios.

10.1.6. Ejemplos de cantidades vectoriales.

       Cuando se describe el movimiento de un avión en vuelo, es importante comunicar dos datos: la dirección en la que viaja el avión y la velocidad del avión. Al medir una fuerza, como el empuje de los motores del avión, es importante describir no sólo la magnitud de esa fuerza, sino también la dirección en la que se aplica. Algunas cantidades, como la fuerza, se definen en términos de magnitud y dirección. Una cantidad que tiene magnitud y dirección se llama vector. En este texto, denotamos vectores con letras en negrita, como v.

DEFINICIÓN 10.1.1. Vector Un vector es una cantidad que tiene magnitud y dirección.

 

Representación vectorial

Un vector en el plano está representado por un segmento de recta dirigida (una flecha). Los puntos extremos del segmento se denominan punto inicial y punto terminal del vector. Una flecha desde el punto inicial al punto terminal indica la dirección del vector. La longitud del segmento de recta representa su magnitud. Usamos la notación ∥v∥ para denotar la magnitud del vector v. Un vector con un punto inicial y un punto terminal que son iguales se llama vector cero, denotado 0. El vector cero es el único vector sin dirección, y por convención se puede considerar que tiene cualquier dirección conveniente para el problema en cuestión.

Vectores equivalentes. Los vectores con la misma magnitud y dirección se denominan vectores equivalentes. Tratamos los vectores equivalentes como iguales, incluso si tienen puntos iniciales diferentes. Por lo tanto, si v y w son equivalentes, escribimos

v = w.

DEFINICIÓN 10.1.2. VECTORES EQUIVALENTES Se dice que dos vectores son vectores equivalentes si tienen la misma magnitud y dirección.

Las flechas en la Figura 10.1_1(b) son equivalentes. Cada flecha tiene la misma longitud y dirección. Un concepto estrechamente relacionado es la idea de vectores paralelos. Se dice que dos vectores son paralelos si tienen las mismas direcciones o direcciones opuestas. Exploramos esta idea con más detalle más adelante en el capítulo. Un vector se define por su magnitud y dirección, independientemente de dónde se encuentre su punto inicial.

El uso de letras minúsculas en negrita para nombrar vectores es una representación común en la impresión, pero hay anotaciones alternativas. Al escribir el nombre de un vector a mano, por ejemplo, es más fácil dibujar una flecha sobre la variable para referirse a un vector:

Cuando un vector tiene un punto inicial P y un punto terminal Q, la siguiente notación es útil porque indica la dirección y ubicación del vector:

EJEMPLO ILUSTRATIVO 10.1_1. Dibujando Vectores

Dibuje un vector en el plano desde el punto inicial P (1, 1) hasta el punto terminal Q (8, 5).

Solución:

Ejercicio de control 10.1_1

Dibuje un vector en el plano desde el punto inicial P (3, −1) hasta el punto terminal Q (−2, 3).

Combinando Vectores

Los vectores tienen muchas aplicaciones de la vida real, incluidas situaciones que implican fuerza o velocidad. Por ejemplo, considere las fuerzas que actúan en un bote que cruza un río. El motor del bote genera una fuerza en una dirección, y la corriente del río genera una fuerza en otra dirección. Ambas fuerzas son vectores. Debemos tener en cuenta tanto la magnitud como la dirección de cada fuerza si queremos saber a dónde irá el bote.

Un segundo ejemplo que involucra vectores es un mariscal de campo lanzando una pelota de fútbol. El mariscal de campo no lanza la pelota paralela al suelo; en cambio, apunta hacia el aire. La velocidad de su lanzamiento puede ser representada por un vector. Si sabemos qué tan fuerte lanza la pelota (magnitud, en este caso, rapidez) y el ángulo (dirección), podemos decir qué tan lejos viajará la pelota por el campo.

Un número real a menudo se llama escalar en matemáticas y física. A diferencia de los vectores, generalmente se considera que los escalares solo tienen una magnitud, pero no una dirección. Multiplicar un vector por un escalar cambia la magnitud del vector. Esto se llama multiplicación escalar. Tenga en cuenta que cambiar la magnitud de un vector no indica un cambio en su dirección. Por ejemplo, el viento que sopla de norte a sur puede aumentar o disminuir su velocidad mientras mantiene su dirección de norte a sur.

DEFINICIÓN 1.0.3. Multiplicación escalar El producto k v de un vector v y un escalar k es un vector con una magnitud que es | k | veces la magnitud de v, y con una dirección que es la misma que la dirección de v si k > 0, y opuesta a la dirección de v si k < 0. Esto se denomina multiplicación escalar. Si k = 0 o v = 0, entonces k v = 0.

Como es de esperar, si k = −1, denotamos el producto k v como

k v = (−1) v = −v.

Tenga en cuenta que −v tiene la misma magnitud que v, pero tiene la dirección opuesta (Figura 10.1_2).

       Otra operación que podemos realizar con vectores es sumarlos en la suma de vectores, pero como cada vector puede tener su propia dirección, el proceso es diferente al de sumar dos números. El método gráfico más común para sumar dos vectores es colocar el punto inicial del segundo vector en el punto terminal del primero, como en la Figura 10.1_3(a). Para ver por qué esto tiene sentido, supongamos, por ejemplo, que ambos vectores representan desplazamiento. Si un objeto se mueve primero desde el punto inicial hasta el punto terminal del vector v, luego desde el punto inicial hasta el punto terminal del vector w, el desplazamiento general es el mismo que si el objeto hubiera hecho un solo movimiento desde el punto inicial hasta el punto terminal del vector que designamos por v + w. Por razones obvias, este enfoque se llama el método del triángulo. Tenga en cuenta que si hubiéramos cambiado el orden, de modo que w fuera nuestro primer vector y v fuera nuestro segundo vector, habríamos tenido el mismo desplazamiento general. (Nuevamente, vea la Figura 10.1_3(a).) Por lo tanto, v + w = ​​w + v.

Un segundo método para sumar vectores se llama método del paralelogramo. Con este método, colocamos los dos vectores para que tengan el mismo punto inicial, y luego dibujamos un paralelogramo con los vectores como dos lados adyacentes, como en la Figura 10.1_3(b). La longitud de la diagonal del paralelogramo es la suma. Comparando la Figura 10.1_3(b) y la Figura 10.1_3(a), podemos ver que obtenemos la misma respuesta usando cualquiera de los métodos. El vector v + w se llama suma vectorial.

DEFINICIÓN 10.1.4.  ADICIÓN DE VECTORES La suma de dos vectores v y w puede construirse gráficamente colocando el punto inicial de w en el punto terminal de v. Luego, la suma vectorial, v + w, es el vector con un punto inicial que coincide con el punto inicial de v y tiene un punto terminal que coincide con el punto terminal de w. Esta operación se conoce como adición de vectores.

En la Figura 10.1_3(a), el punto inicial de v + w es el punto inicial de v. El punto terminal de v + w es el punto terminal de w. Estos tres vectores forman los lados de un triángulo. Se deduce que la longitud de cualquier lado es menor que la suma de las longitudes de los lados restantes. Entonces tenemos

∥v + w∥ ≤ ∥v∥ + ∥w∥.

Esto se conoce más generalmente como la desigualdad del triángulo. Sin embargo, hay un caso en el que el vector resultante u + v tiene la misma magnitud que la suma de las magnitudes de u y v. Esto sucede solo cuando u y v tienen la misma dirección.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 10.1_2. Combinando Vectores

Dados los vectores v y w que se muestran en la Figura 10.1_4, dibuje los vectores

a. 3w

b. v + w

c. 2v − w

(Figura 10.1_4 Los vectores v y w se encuentran en el mismo plano.)

Solución:

a. El vector 3w tiene la misma dirección que w; es tres veces más largo que w.

b. Use cualquiera de los métodos geométricos de suma para encontrar v + w.

Para encontrar v + w, alinee los vectores en sus puntos iniciales o coloque el punto inicial de un vector en el punto terminal del otro. (a) El vector v + w es la diagonal del paralelogramo con los lados v y w. (b) El vector v + w es el tercer lado de un triángulo formado con w colocado en el punto terminal de v.

c. Para encontrar 2v − w, primero podemos reescribir la expresión como 2v + (− w). Luego podemos dibujar el vector −w, luego agregarlo al vector 2v.

Ejercicio de control 10.1_2

Utilizando los vectores v y w del ejemplo ilustrativo 10.1_2, dibuje el vector 2w − v.