Determinación de volúmenes por rebanadas

Sólidos de revolución

Si una región en un plano gira alrededor de una recta en ese plano, el sólido resultante se llama sólido de revolución, como se muestra en la siguiente figura.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 6.2_2. Usando el método de rebanar para encontrar el volumen de un sólido de revolución

Utilice el método de corte para hallar el volumen del sólido de revolución acotado por las gráficas de f (x) = x² − 4x + 5, x = 1 y x = 4, y rotado sobre el eje x.

Solución:
Usando la estrategia de resolución de problemas, primero dibujamos la gráfica de la función cuadrática sobre el intervalo [1, 4] como se muestra en la siguiente figura.

(Figura 6.2_7 Una región utilizada para producir un sólido de revolución).

 

A continuación, gire la región alrededor del eje x, como se muestra en la siguiente figura.

(Figura 6.2_8 Dos vistas, (a) y (b), del sólido de revolución producido al girar la región de la Figura 6.2_7 alrededor del eje x).

 

Dado que el sólido se formó girando la región alrededor del eje x, las secciones transversales son círculos (paso 1). El área de la sección transversal, entonces, es el área de un círculo, y el radio del círculo está dado por f (x). Usa la fórmula para el área del círculo:

A(x) = πr² = π[ f (x)]² = π(x² − 4x + 5)²                     (paso 2).

El volumen, entonces, es (paso 3)

El volumen es 78π/5 de unidades cúbicas.

Ejercicio de control 6.2_2

Utilice el método de corte para encontrar el volumen del sólido de revolución formado al hacer girar la región entre la gráfica de la función f (x) = 1/x y el eje x sobre el intervalo [1, 2] alrededor del eje x. Vea la siguiente figura.

El método del disco

Cuando usamos el método de rebanadas con sólidos de revolución, a menudo se le llama método del disco porque, para los sólidos de revolución, las rebanadas que se usan para aproximar el volumen del sólido son discos. Para ver esto, considere el sólido de revolución generado al girar la región entre la gráfica de la función

y el eje x sobre el intervalo [−1, 3] alrededor del eje-x. La gráfica de la función y un disco representativo se muestran en la Figura 6.7 (a) y (b). La región de revolución y el sólido resultante se muestran en la Figura 6.7 (c) y (d).

(Figura 6.2_9 (a) Un rectángulo delgado para aproximar el área bajo una curva. (b) Un disco representativo formado al girar el rectángulo alrededor del eje x. (c) La región debajo de la curva gira sobre el eje x, dando como resultado (d) el sólido de revolución.)

Ya usamos el desarrollo formal de la suma de Riemann de la fórmula del volumen cuando desarrollamos el método de las rebanadas. Sabemos que está dada por

La única diferencia con el método del disco es que conocemos la fórmula para el área de la sección transversal con anticipación; es el área de un círculo. Esto da la siguiente regla.

Regla: EL Método del disco

Sea f (x) una función continua y no negativa. Y sea R la región delimitada arriba por la gráfica de f (x), abajo por el eje x, a la izquierda por la recta x = a, y a la derecha por la recta x = b. De tal modo que, el volumen del sólido de revolución formado al girar R alrededor del eje x viene dado por

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El volumen del sólido que hemos estado estudiando (Figura 6.2_9) viene dado por

 

Veamos algunos ejemplos.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 6.2_3. Uso del método del disco para encontrar el volumen de un sólido de revolución_1

Utilice el método del disco para encontrar el volumen del sólido de revolución generado al rotar la región entre la gráfica de f (x) = √x y el eje x sobre el intervalo [1, 4] alrededor del eje x.

Solución:
Los gráficos de la función y el sólido de revolución se muestran en la siguiente figura.

(Figura 6.2_10 (a) La función f (x) = √x sobre el intervalo [1, 4]. (b) El sólido de revolución obtenido al hacer girar la región debajo de la gráfica de f (x) alrededor del eje x .)

Nosotros tenemos que

El volumen es 15π/2 unidades³.

Ejercicio de control 6.2_3

Utilice el método del disco para encontrar el volumen del sólido de revolución generado al rotar la región entre la gráfica de f (x) = √(4 − x) y el eje x sobre el intervalo [0, 4] alrededor del eje x.

Hasta ahora, nuestros ejemplos tienen todas las regiones interesadas giradas alrededor del eje x, pero podemos generar un sólido de revolución girando una región plana alrededor de cualquier recta horizontal o vertical. En el siguiente ejemplo, observamos un sólido de revolución que se ha generado al girar una región alrededor del eje y. La mecánica del método del disco es casi la misma que cuando el eje x es el eje de revolución, pero expresamos la función en términos de y, además integramos también con respecto a la variable y. Esto se resume en la siguiente regla.

Regla: El método del disco para sólidos de revolución alrededor del eje y

Sea  g (y) una función continua y no negativa. Y sea  Q la región delimitada a la derecha por la gráfica de g (y), a la izquierda por el eje y, debajo por la recta y = c, y arriba por la recta y = d. Entonces, el volumen del sólido de revolución formado al girar Q alrededor del eje y viene dado por

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El siguiente ejemplo muestra cómo funciona esta regla en la práctica.

 

EJEMPLO ILUSTRATIVO 6.2_4. Usando el método del disco para encontrar el volumen de un sólido de Revolución_2

Sea R la región delimitada por la gráfica de g(y) = √(4 − y) y el eje y sobre el intervalo del eje y [0, 4]. Utilice el método del disco para encontrar el volumen del sólido de revolución generado al girar R alrededor del eje y.

Solución:

La figura 6.2_11 muestra la función y un disco representativo que se puede usar para estimar el volumen. Observe que, dado que estamos haciendo girar la función alrededor del eje y, los discos son horizontales, en lugar de verticales.

(Figura 6.2_11 (a) Se muestra un rectángulo delgado entre la curva de la función g(y) = √(4 − y) y el eje y. (b) El rectángulo forma un disco representativo después de la revolución alrededor del eje y.)

La región a girar y el sólido completo de la revolución se muestran en la siguiente figura.

(Figura 6.2_12 (a) La región a la izquierda de la función g(y) = √(4 − y) sobre el intervalo del eje y [0, 4]. (b) El sólido de revolución formado al hacer girar la región sobre el eje y.)

Para encontrar el volumen, integramos con respecto a y. Obtenemos

El volumen es de 8π unidades³

Ejercicio de control 6.2_4

Utilice el método del disco para encontrar el volumen del sólido de revolución generado al rotar la región entre la gráfica de g(y) = y y el eje y sobre el intervalo [1, 4] alrededor del eje y.

El método de las arandelas

Algunos sólidos de revolución tienen cavidades en el medio; no son sólidos hasta el eje de revolución. A veces, esto es solo el resultado de la manera en que se forma la región de revolución con respecto al eje de revolución. En otros casos, las cavidades surgen cuando la región de revolución se define como la región entre las gráficas de dos funciones. Una tercera forma en que esto puede suceder es cuando se selecciona un eje de revolución que no sea el eje x o el eje y.

Cuando el sólido de revolución tiene una cavidad en el medio, las rodajas utilizadas para aproximar el volumen no son discos, sino arandelas (discos con agujeros en el centro). Por ejemplo, considere la región limitada por la gráfica de la función f (x) = √x y por debajo por la gráfica de la función g(x) = 1 en el intervalo [1, 4]. Cuando esta región gira alrededor del eje x, el resultado es un sólido con una cavidad en el medio, y las rodajas son arandelas. El gráfico de la función y una arandela representativa se muestran en la Figura 6.8 (a) y (b). La región de revolución y el sólido resultante se muestran en la Figura 6.8 (c) y (d).

(Figura 6.2_13 (a) Un rectángulo delgado en la región entre dos curvas. (b) Un disco representativo formado al girar el rectángulo alrededor del eje x. (c) La región entre las curvas sobre el intervalo dado. (d) El sólido resultante de la revolución).

El área de la sección transversal, entonces, es el área del círculo exterior menos el área del círculo interior. En este caso,

A(x) = π(√x)² − π(1)² = π(x − 1).

Entonces el volumen del sólido es

La generalización de este proceso se conoce como el método de las arandelas.

Regla: El método de las arandelas

Suponga que f (x) y g(x) son funciones continuas, no negativas, y de modo que f (x) ≥ g (x) sobre el intervalo cerrado [a, b]. Supongamos además que R denota la región limitada por la gráfica de f (x), debajo por la gráfica de g(x), a la izquierda por la recta x = a, y a la derecha por la recta x = b. Entonces, el volumen del sólido de revolución formado al girar R alrededor del eje x viene dado por

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EJEMPLO ILUSTRATIVO 6.2_5. Usando el método de las arandelas

Encuentre el volumen de un sólido de revolución formado al girar la región delimitada arriba por la gráfica de f (x) = x y abajo por la gráfica de g(x) = 1/x sobre el intervalo [1, 4] alrededor del eje x.

Solución:
Las gráficas de las funciones y el sólido de revolución se muestran en la siguiente figura.

(Figura 9.2_14 (a) La región entre las gráficas de las funciones f (x) = x y g(x) = 1/x en el intervalo [1, 4]. (b) Revolución de la región alrededor del eje x genera un sólido de revolución con una cavidad en el medio).

Tenemos que

Al igual que con el método de disco, también podemos aplicar el método de las arandelas a los sólidos de revolución que resultan de girar una región alrededor del eje y. En este caso, se aplica la siguiente regla.

Ejercicio de control 6.2_5

Encuentre el volumen de un sólido de revolución formado al girar la región limitada por las gráficas de f (x) = √x y g(x) = 1/x en el intervalo [1, 3] alrededor del eje x.

Regla: El método de las arandelas para sólidos de revolución alrededor del eje y

Suponga que u(y) y v(y) son funciones continuas, no negativas, de modo que v(y) ≤ u(y) para y ∈ [c, d]. Supongamos que Q denota la región limitada a la derecha por la gráfica de u(y), a la izquierda por la gráfica de v(y), debajo por la recta y = c, y arriba por la recta y = d. Entonces, el volumen del sólido de revolución formado al girar Q alrededor del eje y viene dado por

En lugar de mirar un ejemplo del método de arandela con el eje y como eje de revolución, ahora consideramos un ejemplo en el que el eje de revolución es una línea distinta de uno de los dos ejes de coordenadas. Se aplica el mismo método general, pero es posible que tenga que visualizar cómo describir el área de la sección transversal del volumen.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 6.2_6. El método de arandelas con un eje de revolución diferente

Encuentre el volumen de un sólido de revolución formado al girar la región limitada arriba por f (x) = 4 − x y abajo por el eje x sobre el intervalo [0, 4] alrededor de la línea y = −2.

Solución:
La gráfica de la región y el sólido de revolución se muestran en la siguiente figura.

(Figura 6.2_15 (a) La región entre la gráfica de la función f (x) = 4 − x y el eje x sobre el intervalo [0, 4]. (b) Revolución de la región alrededor de la línea y = −2 genera un sólido de revolución con un agujero cilíndrico en el medio).

No podemos aplicar la fórmula del volumen a este problema directamente porque el eje de revolución no es uno de los ejes de coordenadas. Sin embargo, todavía sabemos que el área de la sección transversal es el área del círculo exterior menos el área del círculo interior. Mirando la gráfica de la función, vemos que el radio del círculo exterior está dado por f (x) + 2, que se simplifica a

f (x) + 2 = (4 − x) + 2 = 6 − x.

El radio del círculo interior es g(x) = 2. Por lo tanto, tenemos que

Ejercicio de control 6.2_6

Encuentre el volumen de un sólido de revolución formado al girar la región limitada arriba por la gráfica de f (x) = x + 2 y abajo por el eje x sobre el intervalo [0, 3] alrededor de la línea y = −1.