| 9. Ecuaciones diferenciales | 9.4. Aplicaciones de ecuaciones de primer orden |
9.4.3 Mecánica elemental
Segunda ley de movimiento de Newton
En esta sección consideramos un objeto con masa constante m moviéndose a lo largo de una recta bajo una fuerza F. Sea y = y(t) el desplazamiento del objeto desde un punto de referencia en la recta en el tiempo t, y sea v = v( t) y a = a(t) la velocidad y la aceleración del objeto en el tiempo t. Así, v = y′ y a = v′ = y′′, donde las primas denotan diferenciación con respecto a t. La segunda ley del movimiento de Newton afirma que la fuerza F y la aceleración a están relacionadas por la ecuación
F = ma. (9.4.3.1)
Unidades de medida
En las aplicaciones, se utilizan tres conjuntos principales de unidades para longitud, masa, fuerza y tiempo: los sistemas cgs, mks y británico. Los tres utilizan el segundo como unidad de tiempo. La tabla 1 muestra las otras unidades. De acuerdo con (9.4.3.1), la unidad de fuerza en cada sistema se define como la fuerza requerida para impartir una aceleración de (una unidad de longitud)/s2 a una unidad de masa.
Tabla 1.
| Longitud | Fuerza | Masa | |
| cgs | centímetro (cm) | dina (d) | gramo (g) |
| mks | metro (m) | newton (N) | kilogramo (kg) |
| Británico | pie (ft) | libra (lb) | slug (sl) |
Si asumimos que la Tierra es una esfera perfecta con densidad de masa constante, la ley de gravitación de Newton (que se analiza más adelante en esta sección) afirma que la fuerza ejercida sobre un objeto por el campo gravitatorio de la Tierra es proporcional a la masa del objeto e inversamente proporcional a la cuadrado de su distancia al centro de la Tierra. Sin embargo, si el objeto permanece lo suficientemente cerca de la superficie terrestre, podemos suponer que la fuerza gravitatoria es constante e igual a su valor en la superficie. La magnitud de esta fuerza es mg, donde g se denomina aceleración de la gravedad. (Para ser completamente exactos, g debe llamarse la magnitud de la aceleración debida a la gravedad en la superficie de la Tierra). Esta cantidad se ha determinado experimentalmente. Los valores aproximados de g son
En general, la fuerza F en (9.4.3.1) puede depender de t, y e y′. Como a = y′′, (9.4.3.1) se puede escribir en la forma
my′′ = F(t, y, y′), (9.4.3.2)
que es una ecuación de segundo orden. Consideraremos esta ecuación con restricciones en F más adelante; sin embargo, dado que el Capítulo 9.2 trató solo con ecuaciones de primer orden, aquí consideramos solo problemas en los que (9.4.3.2) puede reformularse como una ecuación de primer orden. Esto es posible si F no depende de y, entonces (9.4.3.2) es de la forma
my′′ = F(t, y′).
Haciendo v = y′ y v′ = y′′ se obtiene una ecuación de primer orden para v:
Resolviendo esta ecuación se obtiene v como una función de t. Si conocemos y(t0) durante algún tiempo t0, podemos integrar v para obtener y como función de t.
Las ecuaciones de la forma (9.4.3.3) ocurren en problemas que involucran movimiento a través de un medio resistente.
Movimiento a través de un medio resistente bajo una fuerza gravitatoria constante
Ahora consideramos un objeto que se mueve verticalmente en algún medio. Suponemos que las únicas fuerzas que actúan sobre el objeto son la gravedad y la resistencia del medio. También suponemos que el movimiento tiene lugar cerca de la superficie de la Tierra y tomamos la dirección hacia arriba como positiva, por lo que se puede suponer que la fuerza gravitatoria tiene un valor constante −mg. Veremos que, bajo supuestos razonables sobre la fuerza de resistencia, la velocidad se aproxima a un límite cuando t → ∞. Llamamos a este límite la velocidad terminal.
Ejemplo ilustrativo 9.4.3.1
Un objeto con masa m se mueve bajo una fuerza gravitatoria constante a través de un medio que ejerce una resistencia de magnitud proporcional a la velocidad del objeto. (Recuerde que la velocidad de un objeto es |v|, el valor absoluto de su velocidad v.) Encuentre la velocidad del objeto en función de t, y encuentre la velocidad terminal. Suponga que la velocidad inicial es v0.
Solución:
La fuerza total que actúa sobre el objeto es
F = −mg + F1, (9.4.3.4)
donde −mg es la fuerza debida a la gravedad y F1 es la fuerza de resistencia del medio, que tiene magnitud k|v|, donde k es una constante positiva. Si el objeto se mueve hacia abajo (v ≤ 0), la fuerza de resistencia es hacia arriba (Figura 9.4.3.1(a)), entonces
F1 = k|v| = k(−v) = −kv.
Figura 9.4.3.1 Fuerzas resistivas
Por otro lado, si el objeto se mueve hacia arriba (v ≥ 0), la fuerza de resistencia es hacia abajo (Figura 9.4.3.1(b)), entonces
F1 = −k|v| = −kv.
Por lo tanto, (9.4.3.4) se puede escribir como
F = −mg − kv, (9.4.3.5)
independientemente del signo de la velocidad.
De la segunda ley del movimiento de Newton,
F = ma = mv′,
entonces (9.4.3.5) da como resultado
mv′ = −mg − kv,
o
(9.4.3.6)
Dado que e−kt/m es una solución de la ecuación complementaria, las soluciones de (9.4.3.6) son de la forma v = ue−kt/m, donde u′e−kt/m = −g, entonces u′ = −gekt/m. Por eso,
entonces
(9.4.3.7)
Como v(0) = v0,
entonces
y (9.4.3.7) se convierte en
Dejando t → ∞ aquí muestra que la velocidad terminal es
que es independiente de la velocidad inicial v0 (Figura 9.4.3.2). ♦
Figura 9.4.3.2 Soluciones de mv′ = −mg − kv
Ejemplo ilustrativo 9.4.3.2
A un objeto de 960 lb se le da una velocidad ascendente inicial de 60 pie/s cerca de la superficie de la Tierra. La atmósfera resiste el movimiento con una fuerza de 3 lb por cada pie/s de velocidad. Suponiendo que la única otra fuerza que actúa sobre el objeto es la gravedad constante, encuentre su velocidad v en función de t, y encuentre su velocidad terminal.
Solución:
Como mg = 960 y g = 32, m = 960/32 = 30. La resistencia atmosférica es −3v lb si v se expresa en pies por segundo. Por lo tanto
30v′ = −960 − 3v,
que reescribimos como
Dado que e−t/10 es una solución de la ecuación complementaria, las soluciones de esta ecuación son de la forma v = ue−t/10, donde u′e−t/10 = −32, entonces u′ = −32et/10. Por eso,
u = −320et/10 + c,
entonces
v = ue−t/10 = −320 + ce−t/10. (9.4.3.8)
La velocidad inicial es de 60 pie/s en dirección ascendente (positiva); por tanto, v0 = 60. Sustituyendo t = 0 y v = 60 en (9.4.3.8) se obtiene
60 = −320 + c,
entonces c = 380, y (9.4.3.8) se convierte en
v = −320 + 380e−t/10 pie/s
La velocidad terminal es
♦
Ejemplo ilustrativo 9.4.3.3
A una masa de 10 kg se le da una velocidad inicial v0 ≤ 0 cerca de la superficie de la Tierra. Las únicas fuerzas que actúan sobre él son la gravedad y la resistencia atmosférica proporcional al cuadrado de la velocidad. Suponiendo que la resistencia es de 8 N si la velocidad es de 2 m/s, encuentre la velocidad del objeto en función de t y encuentre la velocidad terminal.
Solución:
Dado que el objeto está cayendo, la resistencia está en dirección hacia arriba (positiva). Por eso,
mv′ = −mg + kv2, (9.4.3.9)
donde k es una constante. Como la magnitud de la resistencia es 8 N cuando v = 2 m/s,
k(22) = 8,
entonces k = 2 N-s2/m2. Como m = 10 y g = 9.8, (9.4.3.9) se convierte en
10v′ = −98 + 2v2 = 2(v2 − 49). (9.4.3.10)
Si v0 = −7, entonces v ≡ −7 para todo t ≥ 0. Si v0 ≠ −7, separamos las variables para obtener
(9.4.3.11)
lo cual es conveniente para la expansión en fracciones parciales requerida
. (9.4.3.12)
Sustituyendo (9.4.3.12) en (9.4.3.11) se obtiene
entonces
Integrando esto se obtiene
ln|v − 7| − ln|v + 7| = 14t/5 + k.
Por lo tanto
Dado que el Teorema 9.2.3.1 implica que (v − 7)/(v + 7) no puede cambiar de signo (¿por qué?), podemos reescribir la última ecuación como
(9.4.3.13)
que es una solución implícita de (9.4.3.10). Resolviendo esto para v se obtiene
(9.4.3.14)
Como v(0) = v0, (9.4.3.13) implica que
Sustituyendo esto en (9.4.3.14) y simplificando se obtiene
Como v0 ≤ 0, v está definido y es negativo para todo t > 0. La velocidad terminal es
independiente de v0. Más generalmente, se puede demostrar (Ejercicio 11) que si v es cualquier solución de (9.4.3.9) tal que v0 ≤ 0 entonces
Figura 9.4.3.3 Soluciones de mv′ = −mg + kv2, v(0) = v0 ≤ 0 ♦
Ejemplo ilustrativo 9.4.3.4
Una masa de 10 kg se lanza verticalmente hacia arriba desde la superficie de la Tierra con una velocidad inicial de v0 m/s. Las únicas fuerzas que actúan sobre la masa son la gravedad y la resistencia atmosférica proporcional al cuadrado de la velocidad. Suponiendo que la resistencia atmosférica es de 8 N si la velocidad es de 2 m/s, encuentre el tiempo T requerido para que la masa alcance la altura máxima.
Solución:
La masa ascenderá mientras v > 0 y alcanzará su altura máxima cuando v = 0. Por lo tanto, v > 0 para 0 ≤ t < T y v(T) = 0. Aunque la masa del objeto y nuestras suposiciones sobre las fuerzas que actúan son las mismas que las del ejemplo 3, (9.4.3.10) no se aplica aquí, ya que la fuerza resistente es negativa si v > 0; por lo tanto, reemplazamos (9.4.3.10) por
10v′ = −98 − 2v2. (9.4.3.15)
Separando variables, se obtiene
e integrando, se obtiene
(Recuerde que tan−1u es el número θ tal que −π/2 < θ < π/2 y tan θ = u). Como v(0) = v0,
entonces v está definida implícitamente por
(9.4.3.16)
Resolviendo esto para v se obtiene
(9.4.3.17)
usando la identidad
con A = tan−1(v0/7) y B = 7t/5, y observando que tan(tan−1θ) = θ, podemos simplificar (9.4.3.17) a
Dado que v(T) = 0 y tan−1(0) = 0, (9.4.3.16) implica que
Por lo tanto
Como tan−1(v0/7) < π/2 para todo v0, el tiempo requerido para que la masa alcance su altura máxima es menor que
independientemente de la velocidad inicial. La Figura 9.4.3.4 muestra las gráficas de v sobre [0, T] para varios valores de v0.
Figura 9.4.3.4 Soluciones de (9.4.3.15) para varias v0 > 0
Velocidad de escape
Suponga que un vehículo espacial se lanza verticalmente y su combustible se agota cuando el vehículo alcanza una altitud h sobre la Tierra, donde h es lo suficientemente grande como para despreciar la resistencia debida a la atmósfera terrestre. Sea t = 0 el momento en que ocurre el agotamiento. Suponiendo que las fuerzas gravitatorias de todos los demás cuerpos celestes pueden despreciarse, el movimiento del vehículo para t > 0 es el de un objeto con masa constante m bajo la influencia de la fuerza gravitacional de la Tierra, que ahora suponemos que varía inversamente con el cuadrado de la distancia desde el centro de la Tierra; por lo tanto, si consideramos que la dirección hacia arriba es positiva, entonces la fuerza gravitacional sobre el vehículo a una altitud y sobre la Tierra es
(9.4.3.18)
donde R es el radio de la Tierra (Figura 9.4.3.5).
Figura 9.4.3.5 Velocidad de escape
Dado que F = −mg cuando y = 0, al establecer y = 0 en (9.4.3.18) se obtiene
por lo tanto, K = mgR2 y (9.4.3.18) se puede escribir más específicamente como
(9.4.3.19)
De la segunda ley del movimiento de Newton,
entonces (9.4.3.19) implica que
(9.4.3.20)
Mostraremos que existe un número ve, llamado velocidad de escape, con las siguientes dos propiedades:
1. Si v0 ≥ ve entonces v(t) > 0 para todo t > 0, y el vehículo sigue subiendo para todo t > 0; es decir, se “escapa” de la Tierra. (¿Es realmente tan obvio que limt→∞ y(t) = ∞ en este caso? Para una demostración, vea el Ejercicio 20.)
2. Si v0 < ve entonces v(t) decrece a cero y se vuelve negativo. Por lo tanto, el vehículo alcanza una altitud máxima ym y vuelve a caer a la Tierra.
Dado que (9.4.3.20) es de segundo orden, no podemos resolverlo con los métodos discutidos hasta ahora. Sin embargo, nos interesa v en lugar de y, y v es más fácil de encontrar. Como v = y′ la regla de la cadena implica que
Sustituyendo esto en (9.4.3.20) se obtiene la ecuación separable de primer orden
(9.4.3.21)
Cuando t = 0, la velocidad es v0 y la altitud es h. Por lo tanto podemos obtener v en función de y resolviendo el problema de valor inicial
(9.4.3.22)
Como v(h) = v0,
entonces (9.4.3.22) se convierte en
(9.4.3.23)
Si
la expresión entre paréntesis en (9.4.3.23) no es negativa, por lo que v(y) > 0 para y > h. Esto prueba que hay una velocidad de escape ve. Ahora probaremos que
mostrando que el vehículo vuelve a caer a la Tierra si
(9.4.3.24)
Si (9.4.3.24) se cumple, entonces la expresión entre paréntesis en (9.4.3.23) es negativa y el vehículo alcanzará una altitud máxima ym > h que satisfaga la ecuación
La velocidad será cero a la altura máxima y el objeto caerá a la Tierra bajo la influencia de la gravedad.