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6.9 Cálculo de las Funciones Hiperbólicas

Objetivos de aprendizaje:

6.9.1 Aplicar las fórmulas para derivadas e integrales de las funciones hiperbólicas.
6.9.2 Aplicar las fórmulas para las derivadas de las funciones hiperbólicas inversas y sus integrales asociadas.
6.9.3 Describir las condiciones aplicadas comunes de una curva catenaria.

En la Introducción a Funciones y Gráficas se nos presentaron las funciones hiperbólicas, junto con algunas de sus propiedades básicas. En esta sección, analizamos las fórmulas de diferenciación e integración para las funciones hiperbólicas y sus inversas.

Derivadas e Integrales de las Funciones Hiperbólicas

Recuerde que el seno hiperbólico y el coseno hiperbólico se definen como

\[\sinh x = \frac{e^x – e^{-x}}{2} \quad \text{y} \quad \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}.\]

Las otras funciones hiperbólicas se definen entonces en términos de sinhx y coshx. Las gráficas de las funciones hiperbólicas se muestran en la siguiente figura.

Figura 6.9.1 Gráficas de las funciones hiperbólicas.

Es fácil desarrollar fórmulas de diferenciación para las funciones hiperbólicas. Por ejemplo, mirando sinh x tenemos

\[ \begin{aligned} \frac{d}{dx}(\sinh x) &= \frac{d}{dx}\left(\frac{e^x – e^{-x}}{2}\right) \\ &= \frac{1}{2}\left[\frac{d}{dx}(e^x) – \frac{d}{dx}(e^{-x})\right] \\ &= \frac{1}{2}[e^x + e^{-x}] = \cosh x. \end{aligned} \]

De manera similar, \(\frac{d}{dx}\cosh x = \sinh x\). Resumimos las fórmulas de diferenciación para las funciones hiperbólicas en la siguiente tabla.

\(f(x)\)	\(\frac{d}{dx}f(x)\)
\(\sinh x\)	\(\cosh x\)
\(\cosh x\)	\(\sinh x\)
\(\tanh x\)	\(\operatorname{sech}^2 x\)
\(\coth x\)	\(-\operatorname{csch}^2 x\)
\(\operatorname{sech} x\)	\(-\operatorname{sech} x \tanh x\)
\(\operatorname{csch} x\)	\(-\operatorname{csch} x \coth x\)

Tabla 6.9.1 Derivadas de las Funciones Hiperbólicas

Tomémonos un momento para comparar las derivadas de las funciones hiperbólicas con las derivadas de las funciones trigonométricas estándar. Hay muchas similitudes, pero también diferencias. Por ejemplo, las derivadas de las funciones seno coinciden: \( (d/dx) \sin x = \cos x \) y \( (d/dx) \sinh x = \cosh x \). Las derivadas de las funciones coseno, sin embargo, difieren en signo: \( (d/dx) \cos x = -\sin x \), pero \( (d/dx) \cosh x = \sinh x \). A medida que continuamos nuestro examen de las funciones hiperbólicas, debemos tener en cuenta sus similitudes y diferencias con las funciones trigonométricas estándar.

Estas fórmulas de diferenciación para las funciones hiperbólicas conducen directamente a las siguientes fórmulas integrales:

Ejemplo ilustrativo 6.9.1: Derivando Funciones Hiperbólicas

Evalúe las siguientes derivadas:

1. \( \frac{d}{dx} \left( \sinh (x^2) \right) \)
2. \( \frac{d}{dx} (\cosh x)^2 \)

Solución:

Usando las fórmulas en la Tabla 2.2 y la regla de la cadena, obtenemos

1. \( \frac{d}{dx} (\sinh (x^2)) = \cosh (x^2) \cdot 2x \)
2. \( \frac{d}{dx} (\cosh x)^2 = 2 \cosh x \sinh x \)

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Ejercicio de control 6.9.1

Evalúe las siguientes derivadas:

1. \( \frac{d}{dx} \left( \tanh (x^2 + 3x) \right) \)
2. \( \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{(\sinh x)^2} \right) \)

♦

Ejemplo ilustrativo 6.9.2: Integrales que Involucran Funciones Hiperbólicas

Evalúe las siguientes integrales:

1. \( \int x \cosh (x^2) \, dx \)
2. \( \int \tanh x \, dx \)

Solución:

Podemos usar la sustitución *u* en ambos casos.

1. Sea \( u = x^2 \). Entonces, \( du = 2x \, dx \) y

   \( \int x \cosh (x^2) \, dx = \int \frac{1}{2} \cosh u \, du = \frac{1}{2} \sinh u + C = \frac{1}{2} \sinh (x^2) + C. \)

2. Sea \( u = \cosh x \). Entonces, \( du = \sinh x \, dx \) y

   \( \int \tanh x \, dx = \int \frac{\sinh x}{\cosh x} \, dx = \int \frac{1}{u} \, du = \ln |u| + C = \ln |\cosh x| + C. \)

Tenga en cuenta que \( \cosh x > 0 \) para todo *x*, por lo que podemos eliminar los signos de valor absoluto y obtener

\( \int \tanh x \, dx = \ln (\cosh x) + C. \)

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Ejercicio de control 6.9.2

Evalúe las siguientes integrales:

1. \( \int \sinh^3 x \cosh x \, dx \)
2. \( \int \operatorname{sech}^2 (3x) \, dx \)

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Cálculo de Funciones Hiperbólicas Inversas

Observando las gráficas de las funciones hiperbólicas, vemos que, con las restricciones de rango apropiadas, todas tienen inversas. La mayoría de las restricciones de rango necesarias se pueden discernir mediante un examen minucioso de las gráficas. Los dominios y rangos de las funciones hiperbólicas inversas se resumen en la siguiente tabla.

Función	Dominio	Rango
\( \sinh^{-1} x \)	\( (-\infty, \infty) \)	\( (-\infty, \infty) \)
\( \cosh^{-1} x \)	\( [1, \infty) \)	\( [0, \infty) \)
\( \tanh^{-1} x \)	\( (-1, 1) \)	\( (-\infty, \infty) \)
\( \coth^{-1} x \)	\( (-\infty, -1) \cup (1, \infty) \)	\( (-\infty, 0) \cup (0, \infty) \)
\( \operatorname{sech}^{-1} x \)	\( (0, 1] \)	\( [0, \infty) \)
\( \operatorname{csch}^{-1} x \)	\( (-\infty, 0) \cup (0, \infty) \)	\( (-\infty, 0) \cup (0, \infty) \)

Tabla 6.9.2 Dominios y Rangos de las Funciones Hiperbólicas Inversas

Las gráficas de las funciones hiperbólicas inversas se muestran en la siguiente figura:

Figura 6.9.2 Gráficas de las funciones hiperbólicas inversas.

Para encontrar las derivadas de las funciones inversas, utilizamos la diferenciación implícita. Tenemos

\( \begin{aligned} y &= \sinh^{-1} x \\ \sinh y &= x \\ \frac{d}{dx} \sinh y &= \frac{d}{dx} x \\ \cosh y \frac{dy}{dx} &= 1. \end{aligned} \)

Recordemos que \( \cosh^2 y – \sinh^2 y = 1 \), por lo que \( \cosh y = \sqrt{1 + \sinh^2 y} \). Entonces,

\( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cosh y} = \frac{1}{\sqrt{1 + \sinh^2 y}} = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}. \)

Podemos derivar fórmulas de diferenciación para las otras funciones hiperbólicas inversas de manera similar. Estas fórmulas de diferenciación se resumen en la siguiente tabla.

\( f(x) \)	\( \frac{d}{dx} f(x) \)
\( \sinh^{-1} x \)	\( \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \)
\( \cosh^{-1} x \)	\( \frac{1}{\sqrt{x^2-1}} \)
\( \tanh^{-1} x \)	\( \frac{1}{1-x^2} \)
\( \coth^{-1} x \)	\( \frac{1}{1-x^2} \)
\( \operatorname{sech}^{-1} x \)	\( \frac{-1}{x\sqrt{1-x^2}} \)
\( \operatorname{csch}^{-1} x \)	\( \frac{-1}{|x|\sqrt{1+x^2}} \)

Tabla 6.9.3 Derivadas de las Funciones Hiperbólicas Inversas

Tenga en cuenta que las derivadas de \( \tanh^{-1} x \) y \( \coth^{-1} x \) son las mismas. Por lo tanto, cuando integramos \( 1/(1-x^2) \), debemos seleccionar la antiderivada adecuada según el dominio de las funciones y los valores de *x*. Las fórmulas de integración que involucran las funciones hiperbólicas inversas se resumen de la siguiente manera:

Ejemplo ilustrativo 6.9.3: Derivando Funciones Hiperbólicas Inversas

Evalúe las siguientes derivadas:

1. \( \frac{d}{dx} \left( \sinh^{-1} \left( \frac{x}{3} \right) \right) \)
2. \( \frac{d}{dx} \left( \tanh^{-1} x \right)^2 \)

Solución:

Usando las fórmulas en la Tabla 6.9.3 y la regla de la cadena, obtenemos los siguientes resultados:

1. \( \frac{d}{dx} \left( \sinh^{-1} \left( \frac{x}{3} \right) \right) = \frac{1}{3 \sqrt{1 + \frac{x^2}{9}}} = \frac{1}{\sqrt{9 + x^2}} \)
2. \( \frac{d}{dx} (\tanh^{-1} x)^2 = \frac{2 \tanh^{-1} x}{1 – x^2} \)

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Ejercicio de control 6.9.3

Evalúe las siguientes derivadas:

1. \( \frac{d}{dx} \left( \cosh^{-1} (3x) \right) \)
2. \( \frac{d}{dx} \left( \coth^{-1} x \right)^3 \)

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Ejemplo ilustrativo 6.9.4: Integrales que Involucran Funciones Hiperbólicas Inversas

Evalúe las siguientes integrales:

1. \( \int \frac{1}{\sqrt{4x^2 – 1}} \, dx \)
2. \( \int \frac{1}{2x\sqrt{1 – 9x^2}} \, dx \)

Solución:

Podemos usar la sustitución *u* en ambos casos.

1. Sea \( u = 2x \). Entonces, \( du = 2 \, dx \) y tenemos

   \( \int \frac{1}{\sqrt{4x^2 – 1}} \, dx = \int \frac{1}{2\sqrt{u^2 – 1}} \, du = \frac{1}{2} \cosh^{-1} u + C = \frac{1}{2} \cosh^{-1} (2x) + C. \)

2. Sea \( u = 3x \). Entonces, \( du = 3 \, dx \) y obtenemos

   \( \int \frac{1}{2x\sqrt{1 – 9x^2}} \, dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u\sqrt{1 – u^2}} \, du = -\frac{1}{2} \operatorname{sech}^{-1} |u| + C = -\frac{1}{2} \operatorname{sech}^{-1} |3x| + C. \)

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Ejercicio de control 6.9.4

Evalúe las siguientes integrales:

1. \( \int \frac{1}{\sqrt{x^2 – 4}} \, dx, \quad x > 2 \)
2. \( \int \frac{1}{\sqrt{1 – e^{2x}}} \, dx \)

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Aplicaciones

Las funciones hiperbólicas se pueden usar para modelar catenarias. Específicamente, las funciones de la forma \( y = a \cosh(x/a) \) son catenarias. La Figura 6.9.4 muestra la gráfica de \( y = 2 \cosh(x/2) \).

Figura 6.9.4 Una función coseno hiperbólico describe la forma de una catenaria.

Ejemplo ilustrativo 6.9.5: Usando una Catenaria para Encontrar la Longitud de un Cable

Suponga que un cable colgante tiene la forma \( 10 \cosh(x/10) \) para \( -15 \leq x \leq 15 \), donde *x* se mide en pies. Determine la longitud del cable (en pies).

Solución:

Recordemos de la Sección 6.4 que la fórmula para la longitud de arco es

\( \text{Longitud de Arco} = \int_a^b \sqrt{1 + [f'(x)]^2} \, dx. \)

Tenemos \( f(x) = 10 \cosh(x/10) \), por lo que \( f'(x) = \sinh(x/10) \). Entonces,

\( \begin{aligned} \text{Longitud de Arco} &= \int_a^b \sqrt{1 + [f'(x)]^2} \, dx \\ &= \int_{-15}^{15} \sqrt{1 + \sinh^2 \left( \frac{x}{10} \right)} \, dx. \end{aligned} \)

Ahora recordemos que \( 1 + \sinh^2 x = \cosh^2 x \), así que tenemos

\( \begin{aligned} \text{Longitud de Arco} &= \int_{-15}^{15} \sqrt{1 + \sinh^2 \left( \frac{x}{10} \right)} \, dx \\ &= \int_{-15}^{15} \cosh \left( \frac{x}{10} \right) \, dx \\ &= 10 \sinh \left( \frac{x}{10} \right) \Big|_{-15}^{15} = 10 \left[ \sinh \left( \frac{3}{2} \right) – \sinh \left( -\frac{3}{2} \right) \right] = 20 \sinh \left( \frac{3}{2} \right) \\ &\approx 42.586 \text{ ft.} \end{aligned} \)

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Ejercicio de control 6.9.5

Suponga que un cable colgante tiene la forma \( 15 \cosh(x/15) \) para \( -20 \leq x \leq 20 \). Determine la longitud del cable (en pies). ♦