| 9. Ecuaciones diferenciales | 9.9. Ecuaciones lineales de orden superior | Ejercicios propuestos para el Capítulo 9.9.3 |
9.9.3 Coeficientes indeterminados para ecuaciones de orden superior
En esta sección consideramos la ecuación de coeficientes constantes
a0y(n) + a1y(n − 1) + · · · + any = F(x), (9.9.3.1)
donde n ≥ 3 y F es una combinación lineal de funciones de la forma
eαx (p0 + p1x + · · · + pkxk)
o
eλx [(p0 + p1x + · · · + pkxk) cosωx + (q0 + q1x + · · · + qkxk) senωx] .
Del Teorema 9.9.1.5, la solución general de (9.9.3.1) es y = yp + yc, donde yp es una solución particular de (9.9.3.1) y yc es la solución general de la ecuación complementaria
a0y(n) + a1y(n − 1) + · · · + any = 0
En la Sección 9.9.2 aprendimos cómo encontrar yc. Aquí aprenderemos cómo encontrar yp cuando la función de forzamiento tiene la forma indicada anteriormente. El procedimiento que utilizamos es una generalización del método que utilizamos en las Secciones 9.5.4 y 9.5.5, y nuevamente se llama método de coeficientes indeterminados. Dado que las ideas subyacentes son las mismas que las de las Secciones 9.5.4 y 9.5.5, haremos una presentación informal basada en ejemplos.
Funciones de forzamiento de la forma eαx (p0 + p1x + · · · + pkxk)
Primero consideramos ecuaciones de la forma
a0y(n) + a1y(n − 1) + · · · + any = eαx (p0 + p1x + · · · + pkxk) .
Ejemplo ilustrativo 9.9.3.1
Encuentre una solución particular de
y′′′ + 3y′′ + 2y′ − y = ex(21 + 24x + 28x2 + 5x3). (9.9.3.2)
Solución:
Sustituyendo
en (9.9.3.2) y cancelando ex, se obtiene
(u′′′ + 3u′′ + 3u′ + u) + 3(u′′ + 2u′ + u) + 2(u′ + u) − u = 21 + 24x + 28x2 + 5x3,
o
u′′′ + 6u′′ + 11u′ + 5u = 21 + 24x + 28x2+ 5x3. (9.9.3.3)
Como la incógnita u aparece a la izquierda, podemos ver que (9.9.3.3) tiene una solución particular de la forma
up = A + Bx + Cx2 + Dx3.
Entonces
Sustituyendo las últimas cuatro ecuaciones en el lado izquierdo de (9.9.3.3), se obtiene
Comparando los coeficientes de potencias iguales de x en los lados derechos de esta ecuación y (9.9.3.3) se muestra que up satisface (9.9.3.3) si
Al resolver estas ecuaciones sucesivamente se obtiene D = 1, C = −1, B = 2, A = 1. Por lo tanto
up = 1 + 2x − x2 + x3
es una solución particular de (9.9.3.3), por lo que
yp = exup = ex(1 + 2x − x2 + x3)
es una solución particular de (9.9.3.2) (Figura 9.9.3.1). ♦
Figura 9.9.3.1 yp = ex(1 + 2x − x2 + x3)
Ejemplo ilustrativo 9.9.3.2
Encuentre una solución particular de
y(4) − y′′′ − 6y′′ + 4y′ + 8y = e2x(4 + 19x + 6x2). (9.9.3.4)
Solución:
Sustituyendo
en (9.9.3.4) y cancelando e2x, se obtiene
o
u(4) + 7u′′′ + 12u′′ = 4 + 19x + 6x2. (9.9.3.5)
Como ni u ni u′ aparecen a la izquierda, podemos ver que (9.9.3.5) tiene una solución particular de la forma
up = Ax2 + Bx3 + Cx4. (9.9.3.6)
Entonces
Sustituyendo u′′p, u′′′p y u(4)p en el lado izquierdo de (9.9.3.5) se obtiene
Comparando coeficientes de potencias iguales de x en los lados derechos de esta ecuación y (9.9.3.5) se muestra que up satisface (9.9.3.5) si
Al resolver estas ecuaciones sucesivamente se obtiene C = 1/24, B = 1/6, A = −1/6. Sustituyéndolos en (9.9.3.6) se muestra que
es una solución particular de (9.9.3.5), por lo que
es una solución particular de (9.9.3.4). (Figura 9.9.3.2). ♦
Figura 9.9.3.2
Funciones de forzamiento de la forma eλx (P(x) cosωx + Q(x) senωx)
Consideremos ahora ecuaciones de la forma
a0y(n) + a1y(n − 1) + · · · + any = eλx (P(x) cosωx + Q(x) senωx),
donde P y Q son polinomios.
Ejemplo ilustrativo 9.9.3.3
Encuentre una solución particular de
y′′′ + y′′ − 4y′ − 4y = ex[(5 − 5x) cosx + (2 + 5x) senx]. (9.9.3.7)
Solución:
Sustituyendo
en (9.9.3.7) y cancelando ex, se obtiene
(u′′′ + 3u′′ + 3u′ + u) + (u′′ + 2u′ + u) − 4(u′ + u) − 4u = (5 − 5x) cosx + (2 + 5x) senx,
o
u′′′ + 4u′′ + u′ − 6u = (5 − 5x) cosx + (2 + 5x) senx. (9.9.3.8)
Dado que cosx y senx no son soluciones de la ecuación complementaria
u′′′ + 4u′′ + u′ − 6u = 0,
un teorema análogo al Teorema 9.5.5.1 implica que (9.9.3.8) tiene una solución particular de la forma
p = (A0 + A1x) cosx + (B0 + B1x) senx. (9.9.3.9)
Entonces
esto es
Comparando los coeficientes de x cosx, x senx, cosx y senx aquí con los coeficientes correspondientes en (9.9.3.8) se muestra que up es una solución de (9.9.3.8) si
Al resolver las dos primeras ecuaciones se obtiene A1 = 1/2, B1 = −1/2. Sustituyendo estos en las dos últimas ecuaciones, se obtiene
entonces A0 = −1, B0 = −1/2. Sustituyendo A0 = −1, A1 = 1/2, B0 = −1/2, B1 = −1/2 en (9.9.3.9) se muestra que
es una solución particular de (9.9.3.8), por lo que
es una solución particular de (9.9.3.7) (Figura 9.9.3.3). ♦
Figura 9.9.3.3
Ejemplo ilustrativo 9.9.3.4
Encuentre una solución particular de
y′′′ + 4y′′ + 6y′ + 4y = e−x [(1 − 6x) cosx − (3 + 2x) senx]. (9.9.3.10)
Solución:
Sustituyendo
en (9.9.3.10) y cancelando e−x, se obtiene
(u′′′ − 3u′′ + 3u′ − u) + 4(u′′ − 2u′ + u) + 6(u′ − u) + 4u = (1 − 6x) cosx − (3 + 2x) senx,
o
u′′′ + u′′ + u′ + u = (1 − 6x) cosx − (3 + 2x) senx. (9.9.3.11)
Dado que cosx y senx son soluciones de la ecuación complementaria
u′′′ + u′′ + u′ + u = 0,
un teorema análogo al Teorema 9.5.5.1 implica que (9.9.3.11) tiene una solución particular de la forma
up = (A0x + A1x2) cosx + (B0x + B1x2) senx. (9.9.3.12)
Entonces
o
Comparando los coeficientes de xcosx, xsenx, cosx y senx aquí con los coeficientes correspondientes en (9.9.3.11) se muestra que up es una solución de (9.9.3.11) si
Al resolver las dos primeras ecuaciones se obtiene A1 = 1, B1 = −1/2. Sustituyendo estos en las dos últimas ecuaciones se obtiene
entonces A0 = −3/2 y B0 = −1/2. Sustituyendo A0 = −3/2, A1 = 1, B0 = −1/2, B1 = −1/2 en (9.9.3.12) se muestra que
es una solución particular de (9.9.3.11), por lo que
(Figura 9.9.3.4) es una solución particular de (9.9.3.10).
Figura 9.9.3.4