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9.9.3  Coeficientes indeterminados para ecuaciones de orden superior

En esta sección consideramos la ecuación de coeficientes constantes

a₀y⁽ⁿ⁾ + a₁y^{(n − 1)} + · · · + a_ny = F(x),         (9.9.3.1)

donde n ≥ 3 y F es una combinación lineal de funciones de la forma

e^αx (p₀ + p₁x + · · · + p_kx^k)

o

e^λx [(p₀ + p₁x + · · · + p_kx^k) cosωx + (q₀ + q₁x + · · · + q_kx^k) senωx] .

        Del Teorema 9.9.1.5, la solución general de (9.9.3.1) es y = y_p + y_c, donde y_p es una solución particular de (9.9.3.1) y y_c es la solución general de la ecuación complementaria

a₀y⁽ⁿ⁾ + a₁y^{(n − 1)} + · · · + a_ny = 0

En la Sección 9.9.2 aprendimos cómo encontrar y_c. Aquí aprenderemos cómo encontrar y_p cuando la función de forzamiento tiene la forma indicada anteriormente. El procedimiento que utilizamos es una generalización del método que utilizamos en las Secciones 9.5.4 y 9.5.5, y nuevamente se llama método de coeficientes indeterminados. Dado que las ideas subyacentes son las mismas que las de las Secciones 9.5.4 y 9.5.5, haremos una presentación informal basada en ejemplos.

Funciones de forzamiento de la forma eα^x (p₀ + p₁x + · · · + p_kx^k)

Primero consideramos ecuaciones de la forma

a₀y⁽ⁿ⁾ + a₁y^{(n − 1)} + · · · + a_ny = e^αx (p₀ + p₁x + · · · + p_kx^k) .

Ejemplo ilustrativo 9.9.3.1

Encuentre una solución particular de

y′′′ + 3y′′ + 2y′ − y = e^x(21 + 24x + 28x² + 5x³).        (9.9.3.2)

Solución:

Sustituyendo

en (9.9.3.2) y cancelando e^x, se obtiene

(u′′′ + 3u′′ + 3u′ + u) + 3(u′′ + 2u′ + u) + 2(u′ + u) − u = 21 + 24x + 28x² + 5x³,

o

u′′′ + 6u′′ + 11u′ + 5u = 21 + 24x + 28x²+ 5x³.        (9.9.3.3)

Como la incógnita u aparece a la izquierda, podemos ver que (9.9.3.3) tiene una solución particular de la forma

u_p = A + Bx + Cx² + Dx³.

Entonces

Sustituyendo las últimas cuatro ecuaciones en el lado izquierdo de (9.9.3.3), se obtiene

               

Comparando los coeficientes de potencias iguales de x en los lados derechos de esta ecuación y (9.9.3.3) se muestra que u_p satisface (9.9.3.3) si

Al resolver estas ecuaciones sucesivamente se obtiene D = 1, C = −1, B = 2, A = 1. Por lo tanto

u_p = 1 + 2x − x² + x³

es una solución particular de (9.9.3.3), por lo que

y_p = e^xu_p = e^x(1 + 2x − x² + x³)

es una solución particular de (9.9.3.2) (Figura 9.9.3.1). ♦ 

Figura 9.9.3.1  y_p =  e^x(1 + 2x − x² + x³)

Ejemplo ilustrativo 9.9.3.2

Encuentre una solución particular de

y⁽⁴⁾ − y′′′ − 6y′′ + 4y′ + 8y = e^2x(4 + 19x + 6x²).        (9.9.3.4)

Solución:

Sustituyendo

en (9.9.3.4) y cancelando e^2x, se obtiene

o

u⁽⁴⁾ + 7u′′′ + 12u′′ = 4 + 19x + 6x².        (9.9.3.5)

Como ni u ni u′ aparecen a la izquierda, podemos ver que (9.9.3.5) tiene una solución particular de la forma

u_p = Ax² + Bx³ + Cx⁴.        (9.9.3.6)

Entonces

Sustituyendo u′′_p, u′′′_p y u(4)_p en el lado izquierdo de (9.9.3.5) se obtiene

Comparando coeficientes de potencias iguales de x en los lados derechos de esta ecuación y (9.9.3.5) se muestra que u_p satisface (9.9.3.5) si

Al resolver estas ecuaciones sucesivamente se obtiene C = 1/24, B = 1/6, A = −1/6. Sustituyéndolos en (9.9.3.6) se muestra que

es una solución particular de (9.9.3.5), por lo que

es una solución particular de (9.9.3.4). (Figura 9.9.3.2). ♦

Figura 9.9.3.2 

Funciones de forzamiento de la forma e^λx (P(x) cosωx + Q(x) senωx)

Consideremos ahora ecuaciones de la forma

a₀y⁽ⁿ⁾ + a₁y^{(n − 1)} + · · · + a_ny = e^λx (P(x) cosωx + Q(x) senωx),

donde P y Q son polinomios.

Ejemplo ilustrativo 9.9.3.3

Encuentre una solución particular de

y′′′ + y′′ − 4y′ − 4y = e^x[(5 − 5x) cosx + (2 + 5x) senx].         (9.9.3.7)

Solución:

Sustituyendo

en (9.9.3.7) y cancelando e^x, se obtiene

(u′′′ + 3u′′ + 3u′ + u) + (u′′ + 2u′ + u) − 4(u′ + u) − 4u = (5 − 5x) cosx + (2 + 5x) senx,

o

u′′′ + 4u′′ + u′ − 6u = (5 − 5x) cosx + (2 + 5x) senx.        (9.9.3.8)

Dado que cosx y senx no son soluciones de la ecuación complementaria

u′′′ + 4u′′ + u′ − 6u = 0,

un teorema análogo al Teorema 9.5.5.1 implica que (9.9.3.8) tiene una solución particular de la forma

p = (A₀ + A₁x) cosx + (B₀ + B₁x) senx.        (9.9.3.9)

Entonces

esto es

Comparando los coeficientes de x cosx, x senx, cosx y senx aquí con los coeficientes correspondientes en (9.9.3.8) se muestra que u_p es una solución de (9.9.3.8) si

Al resolver las dos primeras ecuaciones se obtiene A₁ = 1/2, B₁ = −1/2. Sustituyendo estos en las dos últimas ecuaciones, se obtiene

entonces A₀ = −1, B₀ = −1/2. Sustituyendo A₀ = −1, A₁ = 1/2, B₀ = −1/2, B₁ = −1/2 en (9.9.3.9) se muestra que

es una solución particular de (9.9.3.8), por lo que

es una solución particular de (9.9.3.7) (Figura 9.9.3.3). ♦

Figura 9.9.3.3

Ejemplo ilustrativo 9.9.3.4

Encuentre una solución particular de

y′′′ + 4y′′ + 6y′ + 4y = e^−x [(1 − 6x) cosx − (3 + 2x) senx].        (9.9.3.10)

Solución:

Sustituyendo

en (9.9.3.10) y cancelando e^−x, se obtiene

(u′′′ − 3u′′ + 3u′ − u) + 4(u′′ − 2u′ + u) + 6(u′ − u) + 4u = (1 − 6x) cosx − (3 + 2x) senx,

o

u′′′ + u′′ + u′ + u = (1 − 6x) cosx − (3 + 2x) senx.        (9.9.3.11)

Dado que cosx y senx son soluciones de la ecuación complementaria

u′′′ + u′′ + u′ + u = 0,

un teorema análogo al Teorema 9.5.5.1 implica que (9.9.3.11) tiene una solución particular de la forma

u_p = (A₀x + A₁x²) cosx + (B₀x + B₁x²) senx.         (9.9.3.12)

Entonces

o

Comparando los coeficientes de xcosx, xsenx, cosx y senx aquí con los coeficientes correspondientes en (9.9.3.11) se muestra que u_p es una solución de (9.9.3.11) si

Al resolver las dos primeras ecuaciones se obtiene A₁ = 1, B₁ = −1/2. Sustituyendo estos en las dos últimas ecuaciones se obtiene

entonces A₀ = −3/2 y B₀ = −1/2. Sustituyendo A₀ = −3/2, A₁ = 1, B₀ = −1/2, B₁ = −1/2 en (9.9.3.12) se muestra que

es una solución particular de (9.9.3.11), por lo que

(Figura 9.9.3.4) es una solución particular de (9.9.3.10).

Figura 9.9.3.4