Problemas de optimización: Objetivos de aprendizaje
4.7.1. Configurar y resolver problemas de optimización en varios campos de aplicación.
Una aplicación común en cálculo es hallar el valor mínimo o máximo de una función. Por ejemplo, las empresas a menudo quieren minimizar los costos de producción o maximizar los ingresos. En la fabricación, a menudo es deseable minimizar la cantidad de material utilizado para empaquetar un producto con un cierto volumen. En esta sección, mostramos cómo configurar estos tipos de problemas de minimización y maximización y resolverlos utilizando las herramientas desarrolladas en este capítulo.
Solución de problemas de optimización en un intervalo cerrado y acotado
La idea básica que siguen los problemas de optimización es básicamente la misma. Tenemos una cantidad particular que estamos interesados en maximizar o minimizar. Sin embargo, también tenemos algunas condiciones auxiliares que deben cumplirse. Por ejemplo, en el siguiente problema, estamos interesados en maximizar el área de un jardín rectangular. Ciertamente, si seguimos agrandando las longitudes laterales del jardín, el área continuará haciéndose más grande. Sin embargo, ¿qué pasa si tenemos alguna restricción sobre la cantidad de cercas que podemos usar para el perímetro? En este caso, no podemos hacer que el jardín sea tan grande como queramos. Veamos cómo podemos maximizar el área de un rectángulo sujeto a alguna restricción en el perímetro.
Maximizando el área de un jardín
Se construirá un jardín rectangular utilizando una pared de roca como un lado del jardín y cercas de alambre para los otros tres lados (Figura 4.35). Dados 100 pies de cercas de alambre, determine las dimensiones que crearían un jardín de área máxima. Cuál es el área máxima?
Solución:
Sea x la longitud del lado del jardín perpendicular a la pared de roca e y la longitud del lado paralelo a la pared de roca. Entonces el área del jardín está dada por
A = x⋅y.
Queremos encontrar el área máxima posible sujeta a la restricción de que la cerca total es de 100 pies. De la Figura 4.35, la cantidad total de cercado utilizada será 2x + y. Por lo tanto, la ecuación de restricción es
2x + y = 100.
Resolviendo esta ecuación para y, tenemos y = 100 − 2x. Por lo tanto, podemos escribir el área como
A(x) = x⋅ (100 − 2x) = 100x − 2x2.
Antes de intentar maximizar la función de área A(x) = 100x − 2x2, necesitamos determinar el dominio bajo consideración. Para construir un jardín rectangular, ciertamente necesitamos que las longitudes de ambos lados sean positivas. Por lo tanto, necesitamos x > 0 e y > 0. Como y = 100 − 2x, si y > 0, entonces x < 50. Por lo tanto, estamos tratando de determinar el valor máximo de A(x) para x en el intervalo abierto (0, 50). No sabemos que una función necesariamente tiene un valor máximo en un intervalo abierto. Sin embargo, sabemos que una función continua tiene un máximo absoluto (y un mínimo absoluto) durante un intervalo cerrado. Por lo tanto, consideremos la función A(x) = 100x − 2x2 durante el intervalo cerrado [0, 50]. Si el valor máximo se produce en un punto interior, entonces hemos encontrado el valor de x en el intervalo abierto (0, 50) que maximiza el área del jardín. Por lo tanto, consideramos el siguiente problema:
Maximice A(x) = 100x − 2x2 en el intervalo [0, 50].
Como se mencionó anteriormente, dado que A es una función continua en un intervalo cerrado y acotado, por el teorema del valor extremo, tiene un máximo y un mínimo. Estos valores extremos se producen en puntos finales o puntos críticos. En los puntos finales, A(x) = 0. Como el área es positiva para todas las x en el intervalo abierto (0, 50), el máximo debe ocurrir en un punto crítico. Al diferenciar la función A(x), obtenemos
A′(x) = 100 − 4x.
Por lo tanto, el único punto crítico es x = 25 (Figura 4.36). Concluimos que el área máxima debe ocurrir cuando x = 25. Entonces tenemos y = 100 − 2x = 100 − 2(25) = 50. Para maximizar el área del jardín, de toma x = 25 pies e y = 50 pies. El área de este jardín es de 1250 pies2.
Estrategia de resolución de problemas: Resolver problemas de optimización
1. Identifique todas las variables involucradas en el problema. Si corresponde, dibuje una figura ilustrativa y etiquete todas las variables (asigne una letra que represente cada variable).
2. Determine qué cantidad se debe maximizar o minimizar y para qué rango de valores de las otras variables (si esto se puede determinar en este momento).
3. Escriba una fórmula para la cantidad a maximizar o minimizar en términos de las variables. Esta fórmula puede involucrar más de una variable independiente.
4. Escriba cualquier ecuación que relacione las variables independientes en la fórmula del paso 3. Use estas ecuaciones para escribir la cantidad que se maximizará o minimizará en función de una sola variable independiente.
5. Identifique el dominio de consideración para la función en el paso 4 en relación del problema físico a resolver.
6. Calcule el valor máximo o mínimo de la función obtenida en el paso 4. Este paso generalmente implica buscar puntos críticos y evaluar la función en los puntos finales.
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