9.10.7 Variación de parámetros para sistemas de ED lineales no homogéneos

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9.10.7 Variación de parámetros para sistemas de ED lineales no homogéneos

Consideremos ahora el sistema lineal no homogéneo

y′ = A(t)y + f(t),

donde A es una función matricial n × n y f es una función forzada de n vectores. Asociado con este sistema está el sistema complementario y′ = A(t)y.

El siguiente teorema es análogo a los Teoremas 9.5.3.2 y 9.9.1.5. Muestra cómo encontrar la solución general de y′ = A(t)y + f(t) si conocemos una solución particular de y′ = A(t)y + f(t) y un conjunto fundamental de soluciones de la sistema complementario. Dejamos la demostración como ejercicio (Ejercicio 21).

Teorema 9.10.7.1

Supongamos que la función matricial A de n × n y la función n-vectorial f son continuas en (a, b). Sea y_p una solución particular de y′ = A(t)y + f(t) en (a, b), y sea {y₁, y₂, . . ., y_n} sea un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación complementaria y′ = A(t)y en (a, b). Entonces y es una solución de y′ = A(t)y + f(t) en (a, b) si y solo si

y = y_p + c₁y₁ + c₂y₂ + · · · + c_ny_n,

donde c₁, c₂, . . . , c_n son constantes. ♦

Encontrar una solución particular de un sistema no homogéneo

Ahora discutimos una extensión del método de variación de parámetros a sistemas lineales no homogéneos. Este método producirá una solución particular de un sistema no homogéneo y′ = A(t)y + f(t) siempre que conozcamos una matriz fundamental para el sistema complementario. Para derivar el método, suponga que Y es una matriz fundamental para el sistema complementario; es decir,

donde

es un conjunto fundamental de soluciones del sistema complementario. En la Sección 9.10.3 vimos que Y′ = A(t)Y .
Buscamos una solución particular de

y′ = A(t)y + f(t) (9.10.7.1)

de la forma

y_p= Yu, (9.10.7.2)

donde se va a determinar u. Diferenciando (9.10.7.2), obtenemos

Comparando esto con (9.10.7.1) se muestra que y_p= Yu es una solución de (9.10.7.1) si y solo si

Yu′ = f.

Por lo tanto, podemos encontrar una solución particular y_p resolviendo esta ecuación para u′, integrando para obtener u y calculando Yu. Podemos tomar todas las constantes de integración como cero, ya que cualquier solución particular será suficiente.

El ejercicio 22 esboza una demostración de que este método es análogo al método de variación de parámetros analizado en las secciones 9.5.7 y 9.9.4 para ecuaciones lineales escalares.

Ejemplo ilustrativo 9.10.7.1

(a) Encuentre una solución particular del sistema

(9.10.7.3)

Lo que consideramos en el Ejemplo 9.10.2.1.

(b) Encuentre la solución general de (9.10.7.3)

Solución:

(a) El sistema complementario es

(9.10.7.4)

El polinomio característico de la matriz de coeficientes es

Usando el método de la Sección 9.10.4, encontramos que

son soluciones linealmente independientes de (9.10.7.4). Por lo tanto

es una matriz fundamental para (9.10.7.4). Buscamos una solución particular y_p = Yu de (9.10.7.3), donde Yu′ = f; esto es,

El determinante de Y es el Wronskiano

Por la regla de Cramer,

Por lo tanto

Integrando y tomando las constantes de integración como cero, se obtiene

de este modo

es una solución particular de (9.10.7.3).

(b) Del Teorema 9.10.7.1, la solución general de (9.10.7.3) es

(9.10.7.5)

(b) Del Teorema 9.10.7.1, la solución general de (9.10.7.3) es

(9.10.7.5)

que también se puede escribir como

donde c es un vector constante arbitrario.

Escribiendo (9.10.7.5) en términos de coordenadas se obtiene

por lo que nuestro resultado es consistente con el Ejemplo 9.10.2.1. ♦

Si A no es una matriz constante, normalmente es difícil encontrar un conjunto fundamental de soluciones para el sistema y′ = A(t)y. Está más allá del alcance de este texto discutir métodos para hacer esto. Por lo tanto, en los siguientes ejemplos y en los ejercicios que involucran sistemas con matrices de coeficientes variables proporcionaremos matrices fundamentales para los sistemas complementarios sin explicar cómo se obtuvieron.