9. Ecuaciones diferenciales

9.8. La transformada de Laplace

9.8.2 LA TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE

😺 Ejercicios propuestos para el Capítulo 9.8.2 👀

Definición de la transformada inversa de Laplace

En la sección 9.8.1 definimos la transformada de Laplace de f por

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También diremos que f es la transformada inversa de Laplace de F, y escribiremos

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Para resolver ecuaciones diferenciales con la transformada de Laplace, debemos poder obtener f de su transformada F. Hay una fórmula para hacer esto, pero no podemos usarla porque requiere la teoría de funciones de una variable compleja. Afortunadamente, podemos usar la tabla de transformadas de Laplace para encontrar las transformaciones inversas que necesitaremos.

Ejemplo ilustrativo 9.8.2.1

Usa la tabla de transformadas de Laplace para encontrar

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Solución:
(a) Establecer b = 1 en el par de transformación

senh btEsta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-119.png

muestra que

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-120.pngsenh bt

(b) Establecer ω = 3 en el par de transformación

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muestra que

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      El siguiente teorema nos permite encontrar transformadas inversas de combinaciones lineales de transformadas dadas en la tabla. Omitimos la prueba.

Teorema 9.8.2.1 [Propiedad de linealidad]

Si F1, F2,. . ., Fn son transformadas de Laplace y c1, c2,. . . , cn son constantes, entonces

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Ejemplo ilustrativo 9.8.2.2

Hallar

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Solución:

De la tabla de transformadas de Laplace en la Sección 9.8.8,

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-125.png  y  Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-126.png

Al aplicar el teorema 9.8.2.1 con a = −5 y ω = √3, se obtiene

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Ejemplo ilustrativo 9.8.2.3

Hallar

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Solución:

Completando el cuadrado en el denominador se obtiene

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Debido a la forma del denominador, consideramos los pares de transformadas

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-184.png  y  Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-185.png

y se tiene que

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OBSERVACIÓN: A menudo escribimos transformadas de Laplace inversas de funciones específicas sin indicar explícitamente cómo se obtienen. En tales casos, debe consultar la tabla de transformadas de Laplace en la Sección 9.8.8.

Transformadas inversas de Laplace de funciones racionales

El uso de la transformada de Laplace para resolver ecuaciones diferenciales a menudo requiere encontrar la transformada inversa de una función racional

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donde P y Q son polinomios en s sin factores comunes. Dado que se puede demostrar que lims → ∞ F(s) = 0 si F es una transformada de Laplace, solo necesitamos considerar el caso donde grado (P) < grado (Q). Para obtener Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-188.png(F), encontramos la expansión en fracciones parciales de F, obtenemos transformadas inversas de los términos individuales en la expansión de la tabla de transformadas de Laplace y usamos la propiedad de linealidad de la transformada inversa. Los siguientes dos ejemplos ilustran esto.

Ejemplo ilustrativo 9.8.2.4

Encuentre la transformada inversa de Laplace de

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-189.png       (9.8.2.1)

Solución:
(MÉTODO 1) Factorizar el denominador en (9.8.2.1) produce

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La forma para la expansión en fracciones parciales es

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-191.png        (9.8.2.3)

Multiplicando esto por (s − 1)(s − 2) se obtiene

3s + 2 = (s − 2)A + (s − 1)B.

Establecer s = 2 produce B = 8 y establecer s = 1 produce A = −5. Por lo tanto

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y

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(MÉTODO 2) Realmente no tenemos que multiplicar (9.8.2.3) por (s − 1)(s − 2) para calcular A y B. Podemos obtener A simplemente ignorando el factor s − 1 en el denominador de (9.8.2.2) y estableciendo s = 1 al igualar A a la fracción que queda en el miembro derecho; de donde,

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-194.png      (9.8.2.4)

De manera similar, podemos obtener B ignorando el factor s − 2 en el denominador de (9.8.2.2) y estableciendo s = 2 al igualar B a la fracción que queda en el miembro derecho; de donde,

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Para justificar esto, observamos que multiplicar (9.8.2.3) por s − 1 produce

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y establecer s = 1 conduce a (9.8.2.4). De manera similar, al multiplicar (9.8.2.3) por s − 2 se obtiene

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-197.png

y establecer s = 2 conduce a (9.8.2.5). (No es necesario escribir las dos últimas ecuaciones. Las escribimos solo para justificar el procedimiento de atajo indicado en (9.8.2.4) y (9.8.2.5).)

      El atajo empleado en la segunda solución del ejemplo 9.8.2.4 es el método de Heaviside. El siguiente teorema establece este método formalmente. Para obtener una demostración y una extensión de este teorema, consulte el Ejercicio 10 de esta sección.

Teorema 9.8.2.2  Método de Heaviside

Suponga que

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donde s1, s2,. . ., sn son distintos y P es un polinomio de grado menor que n. Entonces

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donde Ai se puede calcular a partir de (9.8.2.6) ignorando el factor ssi y estableciendo s = si en otro lugar.

Ejemplo ilustrativo 9.8.2.5

Encuentre la transformada inversa de Laplace de

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Solución:

La expansión en fracciones parciales de (9.8.2.7) tiene la forma

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Para encontrar A, ignoramos el factor s en el denominador de (9.8.2.7) y establecemos s = 0 en otro lugar. Esto produce

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De manera similar, los otros coeficientes vienen dados por

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y

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Por lo tanto

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-205.png

y

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-206.png

OBSERVACIÓN: No “multiplicamos” el numerador en (9.8.2.7) antes de calcular los coeficientes en (9.8.2.8), ya que no simplificaría los cálculos.

Ejemplo ilustrativo 9.8.2.6

Encuentre la transformada inversa de Laplace de

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Solución:

La forma para la expansión en fracciones parciales es

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-208.png        (9.8.2.10)

Debido al factor repetido (s + 2)2 en (9.8.2.9), el método de Heaviside no funciona. En cambio, encontramos un denominador común en (9.8.2.10). Esto produce

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Si (9.8.2.9) y (9.8.2.11) van a ser equivalentes, entonces

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Los dos lados de esta ecuación son polinomios de grado dos. Según un teorema de álgebra, serán iguales para todos los s si son iguales para tres valores distintos de s. Podemos determinar A, B y C eligiendo valores convenientes de s.

      El lado izquierdo de (9.8.2.12) sugiere que tomamos s = −2 para obtener C = −8 y s = −1 para obtener A = 2. Ahora podemos elegir cualquier tercer valor de s para determinar B. Tomando s = 0 produce 4A + 2B + C = −12. Dado que A = 2 y C = −8, esto implica que B = −6. Por lo tanto

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y

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Ejemplo ilustrativo 9.8.2.7

Encuentre la transformada inversa de Laplace de

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Solución:
La forma para la expansión en fracciones parciales es

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La forma más fácil de obtener A, B y C es expandir el numerador en potencias de s + 2. Esto produce

s2 − 5s + 7 = [(s + 2) − 2]2 − 5[(s + 2) − 2] + 7 = (s + 2)2 − 9(s + 2) + 21.

Por lo tanto

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y

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Ejemplo ilustrativo 9.8.2.8

Encuentre la transformada inversa de Laplace de

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-217.png        (9.8.2.13)

Solución:

Una forma para la expansión en fracciones parciales de F es

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Sin embargo, vemos en la tabla de transformadas de Laplace que la transformada inversa de la segunda fracción a la derecha de (9.8.2.14) será una combinación lineal de las transformadas inversas

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-219.png  y  Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-220.png

de

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-221.png  y  Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-222.png

respectivamente. Por lo tanto, en lugar de (9.8.2.14) escribimos

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Encontrar un denominador común produce

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Si (9.8.2.13) y (9.8.2.16) deben ser equivalentes, entonces

A(s + 1)2 + 1 + B(s + 1)s + Cs = 1 − s(5 + 3s).

Esto es cierto para todos los s si es cierto para tres valores distintos de s. Al elegir s = 0, −1 y 1 se obtiene el sistema

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Resolver este sistema produce

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Por tanto, de (9.8.2.15),

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Por lo tanto

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Ejemplo ilustrativo 9.8.2.9

Encuentre la transformada inversa de Laplace de

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Solución:

Una forma para la expansión en fracciones parciales de F es

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Los coeficientes A, B, C y D se pueden obtener encontrando un denominador común y equiparando el numerador resultante con el numerador de (9.8.2.17). Sin embargo, dado que no hay una primera potencia de s en el denominador de (9.8.2.17), hay una forma más fácil: la expansión de

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se puede obtener rápidamente utilizando el método de Heaviside para expandir

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y luego estableciendo x = s2 para obtener

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Multiplicando esto por 8 + 3s se obtiene

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Por lo tanto

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USANDO TECNOLOGÍA

      Algunos paquetes de software que hacen álgebra simbólica pueden encontrar expansiones de fracciones parciales muy fácilmente. Le recomendamos que utilice un paquete de este tipo si tiene uno disponible, pero solo después de haber realizado suficientes expansiones de fracciones parciales por su cuenta para dominar la técnica.

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