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9.8.2 LA TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE

😺 Ejercicios propuestos para el Capítulo 9.8.2 👀

Definición de la transformada inversa de Laplace

En la sección 9.8.1 definimos la transformada de Laplace de f por

También diremos que f es la transformada inversa de Laplace de F, y escribiremos

Para resolver ecuaciones diferenciales con la transformada de Laplace, debemos poder obtener f de su transformada F. Hay una fórmula para hacer esto, pero no podemos usarla porque requiere la teoría de funciones de una variable compleja. Afortunadamente, podemos usar la tabla de transformadas de Laplace para encontrar las transformaciones inversas que necesitaremos.

Ejemplo ilustrativo 9.8.2.1

Usa la tabla de transformadas de Laplace para encontrar

Solución:
(a) Establecer b = 1 en el par de transformación

senh bt ↔

muestra que

senh bt

(b) Establecer ω = 3 en el par de transformación

muestra que

♦

      El siguiente teorema nos permite encontrar transformadas inversas de combinaciones lineales de transformadas dadas en la tabla. Omitimos la prueba.

Teorema 9.8.2.1 [Propiedad de linealidad]

Si F₁, F₂,. . ., F_n son transformadas de Laplace y c₁, c₂,. . . , c_n son constantes, entonces

♦

Ejemplo ilustrativo 9.8.2.2

Hallar

Solución:

De la tabla de transformadas de Laplace en la Sección 9.8.8,

  y 

Al aplicar el teorema 9.8.2.1 con a = −5 y ω = √3, se obtiene

Ejemplo ilustrativo 9.8.2.3

Hallar

Solución:

Completando el cuadrado en el denominador se obtiene

Debido a la forma del denominador, consideramos los pares de transformadas

  y 

y se tiene que

OBSERVACIÓN: A menudo escribimos transformadas de Laplace inversas de funciones específicas sin indicar explícitamente cómo se obtienen. En tales casos, debe consultar la tabla de transformadas de Laplace en la Sección 9.8.8.

Transformadas inversas de Laplace de funciones racionales

El uso de la transformada de Laplace para resolver ecuaciones diferenciales a menudo requiere encontrar la transformada inversa de una función racional

donde P y Q son polinomios en s sin factores comunes. Dado que se puede demostrar que lim_{s → ∞} F(s) = 0 si F es una transformada de Laplace, solo necesitamos considerar el caso donde grado (P) < grado (Q). Para obtener (F), encontramos la expansión en fracciones parciales de F, obtenemos transformadas inversas de los términos individuales en la expansión de la tabla de transformadas de Laplace y usamos la propiedad de linealidad de la transformada inversa. Los siguientes dos ejemplos ilustran esto.

Ejemplo ilustrativo 9.8.2.4

Encuentre la transformada inversa de Laplace de

       (9.8.2.1)

Solución:
(MÉTODO 1) Factorizar el denominador en (9.8.2.1) produce

        (9.8.2.2)

La forma para la expansión en fracciones parciales es

        (9.8.2.3)

Multiplicando esto por (s − 1)(s − 2) se obtiene

3s + 2 = (s − 2)A + (s − 1)B.

Establecer s = 2 produce B = 8 y establecer s = 1 produce A = −5. Por lo tanto

y

(MÉTODO 2) Realmente no tenemos que multiplicar (9.8.2.3) por (s − 1)(s − 2) para calcular A y B. Podemos obtener A simplemente ignorando el factor s − 1 en el denominador de (9.8.2.2) y estableciendo s = 1 al igualar A a la fracción que queda en el miembro derecho; de donde,

      (9.8.2.4)

De manera similar, podemos obtener B ignorando el factor s − 2 en el denominador de (9.8.2.2) y estableciendo s = 2 al igualar B a la fracción que queda en el miembro derecho; de donde,

      (9.8.2.5)

Para justificar esto, observamos que multiplicar (9.8.2.3) por s − 1 produce

y establecer s = 1 conduce a (9.8.2.4). De manera similar, al multiplicar (9.8.2.3) por s − 2 se obtiene

y establecer s = 2 conduce a (9.8.2.5). (No es necesario escribir las dos últimas ecuaciones. Las escribimos solo para justificar el procedimiento de atajo indicado en (9.8.2.4) y (9.8.2.5).) ♦

      El atajo empleado en la segunda solución del ejemplo 9.8.2.4 es el método de Heaviside. El siguiente teorema establece este método formalmente. Para obtener una demostración y una extensión de este teorema, consulte el Ejercicio 10 de esta sección.

Teorema 9.8.2.2  Método de Heaviside

Suponga que

        (9.8.2.6)

donde s₁, s₂,. . ., s_n son distintos y P es un polinomio de grado menor que n. Entonces

donde A_i se puede calcular a partir de (9.8.2.6) ignorando el factor s − s_i y estableciendo s = s_i en otro lugar. ♦

Ejemplo ilustrativo 9.8.2.5

Encuentre la transformada inversa de Laplace de

        (9.8.2.7)

Solución:

La expansión en fracciones parciales de (9.8.2.7) tiene la forma

        (9.8.2.8)

Para encontrar A, ignoramos el factor s en el denominador de (9.8.2.7) y establecemos s = 0 en otro lugar. Esto produce

De manera similar, los otros coeficientes vienen dados por

y

Por lo tanto

y

OBSERVACIÓN: No “multiplicamos” el numerador en (9.8.2.7) antes de calcular los coeficientes en (9.8.2.8), ya que no simplificaría los cálculos.

Ejemplo ilustrativo 9.8.2.6

Encuentre la transformada inversa de Laplace de

        (9.8.2.9)

Solución:

La forma para la expansión en fracciones parciales es

        (9.8.2.10)

Debido al factor repetido (s + 2)² en (9.8.2.9), el método de Heaviside no funciona. En cambio, encontramos un denominador común en (9.8.2.10). Esto produce

        (9.8.2.11)

Si (9.8.2.9) y (9.8.2.11) van a ser equivalentes, entonces

        (9.8.2.12)

Los dos lados de esta ecuación son polinomios de grado dos. Según un teorema de álgebra, serán iguales para todos los s si son iguales para tres valores distintos de s. Podemos determinar A, B y C eligiendo valores convenientes de s.

      El lado izquierdo de (9.8.2.12) sugiere que tomamos s = −2 para obtener C = −8 y s = −1 para obtener A = 2. Ahora podemos elegir cualquier tercer valor de s para determinar B. Tomando s = 0 produce 4A + 2B + C = −12. Dado que A = 2 y C = −8, esto implica que B = −6. Por lo tanto

y

Ejemplo ilustrativo 9.8.2.7

Encuentre la transformada inversa de Laplace de

Solución:
La forma para la expansión en fracciones parciales es

La forma más fácil de obtener A, B y C es expandir el numerador en potencias de s + 2. Esto produce

s² − 5s + 7 = [(s + 2) − 2]² − 5[(s + 2) − 2] + 7 = (s + 2)² − 9(s + 2) + 21.

Por lo tanto

y

Ejemplo ilustrativo 9.8.2.8

Encuentre la transformada inversa de Laplace de

        (9.8.2.13)

Solución:

Una forma para la expansión en fracciones parciales de F es

        (9.8.2.14)

Sin embargo, vemos en la tabla de transformadas de Laplace que la transformada inversa de la segunda fracción a la derecha de (9.8.2.14) será una combinación lineal de las transformadas inversas

  y 

de

  y 

respectivamente. Por lo tanto, en lugar de (9.8.2.14) escribimos

        (9.8.2.15)

Encontrar un denominador común produce

        (9.8.2.16)

Si (9.8.2.13) y (9.8.2.16) deben ser equivalentes, entonces

A(s + 1)² + 1 + B(s + 1)s + Cs = 1 − s(5 + 3s).

Esto es cierto para todos los s si es cierto para tres valores distintos de s. Al elegir s = 0, −1 y 1 se obtiene el sistema

Resolver este sistema produce

Por tanto, de (9.8.2.15),

Por lo tanto

Ejemplo ilustrativo 9.8.2.9

Encuentre la transformada inversa de Laplace de

        (9.8.2.17)

Solución:

Una forma para la expansión en fracciones parciales de F es

Los coeficientes A, B, C y D se pueden obtener encontrando un denominador común y equiparando el numerador resultante con el numerador de (9.8.2.17). Sin embargo, dado que no hay una primera potencia de s en el denominador de (9.8.2.17), hay una forma más fácil: la expansión de

se puede obtener rápidamente utilizando el método de Heaviside para expandir

y luego estableciendo x = s² para obtener

Multiplicando esto por 8 + 3s se obtiene

Por lo tanto

USANDO TECNOLOGÍA

      Algunos paquetes de software que hacen álgebra simbólica pueden encontrar expansiones de fracciones parciales muy fácilmente. Le recomendamos que utilice un paquete de este tipo si tiene uno disponible, pero solo después de haber realizado suficientes expansiones de fracciones parciales por su cuenta para dominar la técnica.