PRUEBA DE COMPARACIÓN: Objetivos de aprendizaje
7.4.1. Use la prueba de comparación para probar una serie de convergencia.
7.4.2. Use la prueba de comparación de límites para determinar la convergencia de una serie.
Hemos visto que la prueba integral nos permite determinar la convergencia o divergencia de una serie comparándola con una integral impropia relacionada. En esta sección, mostramos cómo usar las pruebas de comparación para determinar la convergencia o divergencia de una serie comparándola con una serie cuya convergencia o divergencia es conocida. Por lo general, estas pruebas se utilizan para determinar la convergencia de series que son similares a las series geométricas o series p.
Prueba de comparación
En las dos secciones anteriores, discutimos dos grandes clases de series: series geométricas y series p. Sabemos exactamente cuándo convergen estas series y cuándo divergen. Aquí mostramos cómo usar la convergencia o divergencia de estas series para probar la convergencia o divergencia de otras series, utilizando un método llamado prueba de comparación.
Por ejemplo, considere la serie
Esta serie se parece a la serie convergente
Dado que los términos en cada una de las series son positivos, la secuencia de sumas parciales para cada serie es monótonamente creciente. Además, dado que
para todos los enteros positivos n, la k-ésima suma parcial Sk de
satisface
(Consulte la Figura 7.4_1 (a) y la Tabla 7.4_1.) Dado que la serie de la derecha converge, la secuencia {Sk} está limitada inferiormente. Concluimos que {Sk} es una secuencia monótona creciente que está limitada inferiormente. Por lo tanto, según el teorema de convergencia monótona, {Sk} converge, y por lo tanto la serie
converge.
Del mismo modo, considere la serie
Esta serie se parece a la serie divergente
La secuencia de sumas parciales para cada serie es monótona creciente y además
por cada entero positivo n. Por lo tanto, la k-ésima suma parcial Sk de
satisface
(Ver Figura 7.4_2 (b) y Tabla 7.4_2.). Dado que la serie
diverge al infinito, la secuencia de sumas parciales
es ilimitado. En consecuencia, {Sk} es una secuencia ilimitada y, por lo tanto, diverge. Concluimos que
diverge.
(Figura 7.4_1 (a) Cada una de las sumas parciales para la serie dada es menor que la suma parcial correspondiente para la serie p convergente. (b) Cada una de las sumas parciales para la serie dada es mayor que la suma parcial correspondiente para la serie armónica divergente.)
TEOREMA 7.4_1. Prueba de comparación
|
i. Supongamos que existe un número entero N tal que 0 ≤ an ≤ bn para todos los n ≥ N. Si
converge, entonces
converge. ii. Supongamos que existe un número entero N tal que an ≥ bn ≥ 0 para todos los n ≥ N. Si
diverge, entonces
diverge. |
PruebaProbamos la parte i. La prueba de la parte ii. es el contrapositivo de la parte i. Sea {Sk} la secuencia de sumas parciales asociadas con |
Por lo tanto, la secuencia de sumas parciales está creciendo. Además, como an ≤ bn para todos los n ≥ N, entonces
Por lo tanto, para todos los k ≥ 1,
Como a1 + a2 + ⋯ + aN − 1 es un número finito, concluimos que la secuencia {Sk} está limitada inferiormente. Por lo tanto, {Sk} es una secuencia creciente que está limitada inferiormente. Por el teorema de la convergencia monótona, concluimos que {Sk} converge y, por lo tanto, la serie Usar la prueba de comparación para determinar la convergencia o divergencia de una serie
es necesario encontrar una serie adecuada para compararla. Como conocemos las propiedades de convergencia de las series geométricas y las series p, estas series se usan con frecuencia. Si existe un número entero N tal que para todos los n ≥ N, cada término an es menor que cada término correspondiente de una serie convergente conocida, entoncesconverge De manera similar, si existe un número entero N tal que para todos los n ≥ N, cada término an es mayor que cada término correspondiente de una serie divergente conocida, entoncesdiverge.
EJEMPLO ILUSTRATIVO 7.4_1. Usando la prueba de comparación
Para cada una de las siguientes series, use la prueba de comparación para determinar si la serie converge o diverge.
Solución:
a. Comparar con
Ya que esta serie es una serie p con p = 3, converge. Además,
para cada entero positivo n. Por lo tanto, podemos concluir que la serie dada
converge.
b. Comparar con
Debido a que esta serie es una serie geométrica con r = 1/2 y |1/2| < 1, converge. Además,
para cada entero positivo n. Por lo tanto, vemos que la serie dada
converge.
c. Comparar con
Dado que 
para cada entero n ≥ 2 y
diverge, tenemos que la serie dada
diverge.
Prueba de comparación de límites
La prueba de comparación funciona muy bien si podemos encontrar una serie comparable que satisfaga la hipótesis de la prueba. Sin embargo, a veces encontrar una serie apropiada puede ser difícil. Considera la serie
Es natural comparar esta serie con la serie convergente
Sin embargo, esta serie no satisface la hipótesis necesaria para usar la prueba de comparación porque
para todos los enteros n ≥2. Aunque podríamos buscar una serie diferente con la que comparar
en su lugar, mostramos cómo podemos usar la prueba de comparación de límites para comparar
Examinemos la idea detrás de la prueba de comparación de límites. Considere dos series
con términos positivos an y bn y evaluar
si
entonces, para n suficientemente grande, an ≈ Lbn. Por lo tanto, ambas series convergen o ambas series divergen. Para las series
Dado que
converge, concluimos que
converge.
La prueba de comparación de límites se puede usar en otros dos casos. Supongamos que
En este caso, {an / bn} es una secuencia limitada. Como resultado, existe una constante M tal que an ≤ Mbn. Por lo tanto, si
Por otro lado, supongamos que
En este caso, {an/bn} es una secuencia ilimitada. Por lo tanto, para cada constante M existe un número entero N tal que an ≥ Mbn para todos los n ≥ N. Por lo tanto, si
TEOREMA 7.4_2. Prueba de comparación de límites
|
Sean an, bn ≥ 0 para todo n ≥ 1:
|
Tenga en cuenta que si an/bn → 0 y
diverge, la prueba de comparación de límites no proporciona información. Del mismo modo, si an/bn → ∞ y
converge, la prueba tampoco proporciona información. Por ejemplo, considere las dos series
Estas series son ambas series p con p = 1/2 y p = 2, respectivamente. Como p = 1/2 < 1, la serie
diverge.
Por otro lado, ya que p = 2 > 1, la serie
converge.
Sin embargo, supongamos que intentamos aplicar la prueba de comparación de límites, utilizando la serie p convergente
como nuestra serie de comparación. Primero, vemos que
Del mismo modo, vemos que
Por lo tanto, si an/bn → ∞ cuando
converge, no obtenemos ninguna información sobre la convergencia o divergencia de la serie
EJEMPLO ILUSTRATIVO 7.4_2. Uso de la prueba de comparación de límites
Para cada una de las siguientes series, use la prueba de comparación de límites para determinar si la serie converge o diverge. Si la prueba no se aplica, dígalo.
Solución:
a. Compare esta serie con
Calcular
Por la prueba de comparación de límites, ya que
b. Compare esta serie con
Observamos que
Por lo tanto,
Debido a que
converge, concluimos que
converge.
c. Como lnn < n, es adecuado comparar con
Observamos que
Para evaluar limn → ∞ lnn/n, evalúe el límite cuando x → ∞ de la función de valor real ln(x)/x. Estos dos límites son iguales, y hacer este cambio nos permite usar la regla de L’Hôpital. Obtenemos
Por lo tanto, limn → ∞ lnn/n = 0 y, en consecuencia,
Como el límite es 0 pero
diverge, la prueba de comparación de límites no proporciona ninguna información.
Comparar en su lugar con
En este caso,
Como el límite es ∞ pero
converge, la prueba aún no proporciona ninguna información.
Así que ahora intentamos una serie entre las dos que ya probamos. Si elegimos la serie
observamos que
Como se indicó anteriormente, para evaluar limn → ∞ lnn/√n, evalúe el límite cuando x → ∞ de la función de valor real lnx/√x. Usando la regla de L’Hôpital,
Como el límite es 0 y
converge, podemos concluir que
converge.