PRUEBA DE COMPARACIÓN: Objetivos de aprendizaje
7.4.1. Use la prueba de comparación para probar una serie de convergencia.
7.4.2. Use la prueba de comparación de límites para determinar la convergencia de una serie.
Hemos visto que la prueba integral nos permite determinar la convergencia o divergencia de una serie comparándola con una integral impropia relacionada. En esta sección, mostramos cómo usar las pruebas de comparación para determinar la convergencia o divergencia de una serie comparándola con una serie cuya convergencia o divergencia es conocida. Por lo general, estas pruebas se utilizan para determinar la convergencia de series que son similares a las series geométricas o series p.
Prueba de comparación
En las dos secciones anteriores, discutimos dos grandes clases de series: series geométricas y series p. Sabemos exactamente cuándo convergen estas series y cuándo divergen. Aquí mostramos cómo usar la convergencia o divergencia de estas series para probar la convergencia o divergencia de otras series, utilizando un método llamado prueba de comparación.
Por ejemplo, considere la serie




Esta serie se parece a la serie convergente


Dado que los términos en cada una de las series son positivos, la secuencia de sumas parciales para cada serie es monótonamente creciente. Además, dado que


para todos los enteros positivos n, la k-ésima suma parcial Sk de




satisface


(Consulte la Figura 7.4_1 (a) y la Tabla 7.4_1.) Dado que la serie de la derecha converge, la secuencia {Sk} está limitada inferiormente. Concluimos que {Sk} es una secuencia monótona creciente que está limitada inferiormente. Por lo tanto, según el teorema de convergencia monótona, {Sk} converge, y por lo tanto la serie




converge.
Del mismo modo, considere la serie




Esta serie se parece a la serie divergente



La secuencia de sumas parciales para cada serie es monótona creciente y además


por cada entero positivo n. Por lo tanto, la k-ésima suma parcial Sk de




satisface


(Ver Figura 7.4_2 (b) y Tabla 7.4_2.). Dado que la serie



diverge al infinito, la secuencia de sumas parciales


es ilimitado. En consecuencia, {Sk} es una secuencia ilimitada y, por lo tanto, diverge. Concluimos que




diverge.




(Figura 7.4_1 (a) Cada una de las sumas parciales para la serie dada es menor que la suma parcial correspondiente para la serie p convergente. (b) Cada una de las sumas parciales para la serie dada es mayor que la suma parcial correspondiente para la serie armónica divergente.)




TEOREMA 7.4_1. Prueba de comparación
i. Supongamos que existe un número entero N tal que 0 ≤ an ≤ bn para todos los n ≥ N. Si converge, entonces converge. ii. Supongamos que existe un número entero N tal que an ≥ bn ≥ 0 para todos los n ≥ N. Si diverge, entonces diverge. |
PruebaProbamos la parte i. La prueba de la parte ii. es el contrapositivo de la parte i. Sea {Sk} la secuencia de sumas parciales asociadas con |
Usar la prueba de comparación para determinar la convergencia o divergencia de una serie
EJEMPLO ILUSTRATIVO 7.4_1. Usando la prueba de comparación
Para cada una de las siguientes series, use la prueba de comparación para determinar si la serie converge o diverge.


Solución:
a. Comparar con
b. Comparar con
para cada entero positivo n. Por lo tanto, vemos que la serie dada
c. Comparar con
Prueba de comparación de límites
La prueba de comparación funciona muy bien si podemos encontrar una serie comparable que satisfaga la hipótesis de la prueba. Sin embargo, a veces encontrar una serie apropiada puede ser difícil. Considera la serie


Es natural comparar esta serie con la serie convergente


Sin embargo, esta serie no satisface la hipótesis necesaria para usar la prueba de comparación porque


para todos los enteros n ≥2. Aunque podríamos buscar una serie diferente con la que comparar


en su lugar, mostramos cómo podemos usar la prueba de comparación de límites para comparar


Examinemos la idea detrás de la prueba de comparación de límites. Considere dos series


con términos positivos an y bn y evaluar


si


entonces, para n suficientemente grande, an ≈ Lbn. Por lo tanto, ambas series convergen o ambas series divergen. Para las series




Dado que


converge, concluimos que


converge.
La prueba de comparación de límites se puede usar en otros dos casos. Supongamos que


En este caso, {an / bn} es una secuencia limitada. Como resultado, existe una constante M tal que an ≤ Mbn. Por lo tanto, si


Por otro lado, supongamos que


En este caso, {an/bn} es una secuencia ilimitada. Por lo tanto, para cada constante M existe un número entero N tal que an ≥ Mbn para todos los n ≥ N. Por lo tanto, si


TEOREMA 7.4_2. Prueba de comparación de límites
Sean an, bn ≥ 0 para todo n ≥ 1: |
Tenga en cuenta que si an/bn → 0 y




diverge, la prueba de comparación de límites no proporciona información. Del mismo modo, si an/bn → ∞ y




converge, la prueba tampoco proporciona información. Por ejemplo, considere las dos series


Estas series son ambas series p con p = 1/2 y p = 2, respectivamente. Como p = 1/2 < 1, la serie


diverge.
Por otro lado, ya que p = 2 > 1, la serie


converge.
Sin embargo, supongamos que intentamos aplicar la prueba de comparación de límites, utilizando la serie p convergente


como nuestra serie de comparación. Primero, vemos que


Del mismo modo, vemos que


Por lo tanto, si an/bn → ∞ cuando




converge, no obtenemos ninguna información sobre la convergencia o divergencia de la serie


EJEMPLO ILUSTRATIVO 7.4_2. Uso de la prueba de comparación de límites
Para cada una de las siguientes series, use la prueba de comparación de límites para determinar si la serie converge o diverge. Si la prueba no se aplica, dígalo.


Solución:
a. Compare esta serie con


Calcular


Por la prueba de comparación de límites, ya que


b. Compare esta serie con


Observamos que


Por lo tanto,


Debido a que


converge, concluimos que


converge.
c. Como lnn < n, es adecuado comparar con


Observamos que


Para evaluar limn → ∞ lnn/n, evalúe el límite cuando x → ∞ de la función de valor real ln(x)/x. Estos dos límites son iguales, y hacer este cambio nos permite usar la regla de L’Hôpital. Obtenemos


Por lo tanto, limn → ∞ lnn/n = 0 y, en consecuencia,


Como el límite es 0 pero


diverge, la prueba de comparación de límites no proporciona ninguna información.
Comparar en su lugar con


En este caso,


Como el límite es ∞ pero


converge, la prueba aún no proporciona ninguna información.
Así que ahora intentamos una serie entre las dos que ya probamos. Si elegimos la serie


observamos que


Como se indicó anteriormente, para evaluar limn → ∞ lnn/√n, evalúe el límite cuando x → ∞ de la función de valor real lnx/√x. Usando la regla de L’Hôpital,


Como el límite es 0 y


converge, podemos concluir que


converge.