Prueba de comparación

PRUEBA DE COMPARACIÓN: Objetivos de aprendizaje

7.4.1. Use la prueba de comparación para probar una serie de convergencia.
7.4.2. Use la prueba de comparación de límites para determinar la convergencia de una serie.

Hemos visto que la prueba integral nos permite determinar la convergencia o divergencia de una serie comparándola con una integral impropia relacionada. En esta sección, mostramos cómo usar las pruebas de comparación para determinar la convergencia o divergencia de una serie comparándola con una serie cuya convergencia o divergencia es conocida. Por lo general, estas pruebas se utilizan para determinar la convergencia de series que son similares a las series geométricas o series p.

Prueba de comparación

En las dos secciones anteriores, discutimos dos grandes clases de series: series geométricas y series p. Sabemos exactamente cuándo convergen estas series y cuándo divergen. Aquí mostramos cómo usar la convergencia o divergencia de estas series para probar la convergencia o divergencia de otras series, utilizando un método llamado prueba de comparación.

Por ejemplo, considere la serie

Esta serie se parece a la serie convergente

Dado que los términos en cada una de las series son positivos, la secuencia de sumas parciales para cada serie es monótonamente creciente. Además, dado que

para todos los enteros positivos n, la k-ésima suma parcial S_k de

satisface

(Consulte la Figura 7.4_1 (a) y la Tabla 7.4_1.) Dado que la serie de la derecha converge, la secuencia {S_k} está limitada inferiormente. Concluimos que {S_k} es una secuencia monótona creciente que está limitada inferiormente. Por lo tanto, según el teorema de convergencia monótona, {S_k} converge, y por lo tanto la serie

converge.

Del mismo modo, considere la serie

Esta serie se parece a la serie divergente

La secuencia de sumas parciales para cada serie es monótona creciente y además

por cada entero positivo n. Por lo tanto, la k-ésima suma parcial S_k de

satisface

(Ver Figura 7.4_2 (b) y Tabla 7.4_2.). Dado que la serie

diverge al infinito, la secuencia de sumas parciales

es ilimitado. En consecuencia, {S_k} es una secuencia ilimitada y, por lo tanto, diverge. Concluimos que

diverge.

(Figura 7.4_1 (a) Cada una de las sumas parciales para la serie dada es menor que la suma parcial correspondiente para la serie p convergente. (b) Cada una de las sumas parciales para la serie dada es mayor que la suma parcial correspondiente para la serie armónica divergente.)

TEOREMA 7.4_1. Prueba de comparación

i.   Supongamos que existe un número entero N tal que 0 ≤ an ≤ bn para todos los n ≥ N. Si converge, entonces converge. ii.  Supongamos que existe un número entero N tal que an ≥ bn ≥ 0 para todos los n ≥ N. Si diverge, entonces diverge.

Prueba Probamos la parte i. La prueba de la parte ii. es el contrapositivo de la parte i. Sea {Sk} la secuencia de sumas parciales asociadas conPor lo tanto, la secuencia de sumas parciales está creciendo. Además, como an ≤ bn para todos los n ≥ N, entoncesPor lo tanto, para todos los k ≥ 1,Como a1 + a2 + ⋯ + aN − 1 es un número finito, concluimos que la secuencia {Sk} está limitada inferiormente. Por lo tanto, {Sk} es una secuencia creciente que está limitada inferiormente. Por el teorema de la convergencia monótona, concluimos que {Sk} converge y, por lo tanto, la serie converge.

Usar la prueba de comparación para determinar la convergencia o divergencia de una seriees necesario encontrar una serie adecuada para compararla. Como conocemos las propiedades de convergencia de las series geométricas y las series p, estas series se usan con frecuencia. Si existe un número entero N tal que para todos los n ≥ N, cada término a_n es menor que cada término correspondiente de una serie convergente conocida, entoncesconverge De manera similar, si existe un número entero N tal que para todos los n ≥ N, cada término a_n es mayor que cada término correspondiente de una serie divergente conocida, entoncesdiverge.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 7.4_1. Usando la prueba de comparación

Para cada una de las siguientes series, use la prueba de comparación para determinar si la serie converge o diverge.

Solución:

a. Comparar conYa que esta serie es una serie p con p = 3, converge. Además,para cada entero positivo n. Por lo tanto, podemos concluir que la serie dadaconverge.

b. Comparar conDebido a que esta serie es una serie geométrica con r = 1/2 y |1/2| < 1, converge. Además,

para cada entero positivo n. Por lo tanto, vemos que la serie dadaconverge.

c. Comparar conDado que para cada entero n ≥ 2 ydiverge, tenemos que la serie dadadiverge.

Prueba de comparación de límites

La prueba de comparación funciona muy bien si podemos encontrar una serie comparable que satisfaga la hipótesis de la prueba. Sin embargo, a veces encontrar una serie apropiada puede ser difícil. Considera la serie

Es natural comparar esta serie con la serie convergente

Sin embargo, esta serie no satisface la hipótesis necesaria para usar la prueba de comparación porque

para todos los enteros n ≥2. Aunque podríamos buscar una serie diferente con la que comparar

en su lugar, mostramos cómo podemos usar la prueba de comparación de límites para comparar

Examinemos la idea detrás de la prueba de comparación de límites. Considere dos series

con términos positivos a_n y b_n y evaluar

si

entonces, para n suficientemente grande, a_n ≈ Lb_n. Por lo tanto, ambas series convergen o ambas series divergen. Para las series

Dado que

converge, concluimos que

converge.

La prueba de comparación de límites se puede usar en otros dos casos. Supongamos que

En este caso, {a_n / b_n} es una secuencia limitada. Como resultado, existe una constante M tal que a_n ≤ Mb_n. Por lo tanto, si

Por otro lado, supongamos que

En este caso, {a_n/b_n} es una secuencia ilimitada. Por lo tanto, para cada constante M existe un número entero N tal que a_n ≥ Mb_n para todos los n ≥ N. Por lo tanto, si

TEOREMA 7.4_2. Prueba de comparación de límites

Sean an, bn ≥ 0 para todo n ≥ 1:

Tenga en cuenta que si a_n/b_n → 0 y

diverge, la prueba de comparación de límites no proporciona información. Del mismo modo, si a_n/b_n → ∞ y

converge, la prueba tampoco proporciona información. Por ejemplo, considere las dos series

Estas series son ambas series p con p = 1/2 y p = 2, respectivamente. Como p = 1/2 < 1, la serie

diverge.

Por otro lado, ya que p = 2 > 1, la serie

converge.

Sin embargo, supongamos que intentamos aplicar la prueba de comparación de límites, utilizando la serie p convergente

como nuestra serie de comparación. Primero, vemos que

Del mismo modo, vemos que

Por lo tanto, si a_n/b_n → ∞ cuando

converge, no obtenemos ninguna información sobre la convergencia o divergencia de la serie

EJEMPLO ILUSTRATIVO 7.4_2. Uso de la prueba de comparación de límites

Para cada una de las siguientes series, use la prueba de comparación de límites para determinar si la serie converge o diverge. Si la prueba no se aplica, dígalo.

Solución:
a. Compare esta serie con

Calcular

Por la prueba de comparación de límites, ya que

b. Compare esta serie con

Observamos que

Por lo tanto,

Debido a que

converge, concluimos que

converge.

c. Como lnn < n, es adecuado comparar con

Observamos que

Para evaluar lim_{n → ∞} lnn/n, evalúe el límite cuando x → ∞ de la función de valor real ln(x)/x. Estos dos límites son iguales, y hacer este cambio nos permite usar la regla de L’Hôpital. Obtenemos

Por lo tanto, lim_{n → ∞} lnn/n = 0 y, en consecuencia,

Como el límite es 0 pero

diverge, la prueba de comparación de límites no proporciona ninguna información.

Comparar en su lugar con

En este caso,

Como el límite es ∞ pero

converge, la prueba aún no proporciona ninguna información.
Así que ahora intentamos una serie entre las dos que ya probamos. Si elegimos la serie

observamos que

Como se indicó anteriormente, para evaluar lim_{n → ∞} lnn/√n, evalúe el límite cuando x → ∞ de la función de valor real lnx/√x. Usando la regla de L’Hôpital,

Como el límite es 0 y

converge, podemos concluir que

converge.