| Series de potencias | Ejercicios propuestos para el Capítulo 7.9 |
7.9 Series de Taylor y Maclaurin
Objetivos de aprendizaje:
7.9.1 Describa el procedimiento para encontrar un polinomio de Taylor de un orden dado para una función.
7.9.2 Explique el significado y la importancia del teorema de Taylor con resto.
7.9.3 Estime el resto para una aproximación de serie de Taylor de una función dada.
En las dos secciones anteriores discutimos cómo encontrar representaciones en series de potencias para ciertos tipos de funciones, específicamente, funciones relacionadas con series geométricas. Aquí discutimos representaciones en series de potencias para otros tipos de funciones. En particular, abordamos las siguientes preguntas: ¿Qué funciones pueden ser representadas por series de potencias y cómo encontrar dichas representaciones? Si podemos encontrar una representación en series de potencias para una función particular f y la serie converge en algún intervalo, ¿cómo probamos que la serie realmente converge a f ?
Visión general de Series de Taylor/Maclaurin
Considera una función \( \mathit{f} \) que tiene una representación en serie de potencias en \( x = a \). Entonces la serie tiene la forma:
¿Cuáles deberían ser los coeficientes? Por ahora, ignoramos los problemas de convergencia y nos enfocamos en cómo debería ser la serie, si existe. Más adelante en esta sección, discutiremos la convergencia. Si la serie de la Ecuación (7.9.1) es una representación de \( \mathit{f} \) en \( x = a \), ciertamente queremos que la serie sea igual a \(f(a) \) en \( x = a \). Evaluando la serie en \( x = a \), vemos que
\[
\sum_{n=0}^{\infty} c_n (x – a)^n = c_0 + c_1 (a – a) + c_2 (a – a)^2 + \cdots = c_0.
\]
Así, la serie es igual a \(f(a) \) si el coeficiente \( c_0 = f(a) \). Además, nos gustaría que la primera derivada de la serie de potencias sea igual a \( f'(a) \) en \( x = a \). Diferenciando la Ecuación (7.9.1) término a término, vemos que
\[
\frac{d}{dx} \left( \sum_{n=0}^{\infty} c_n (x – a)^n \right) = c_1 + 2c_2 (x – a) + 3c_3 (x – a)^2 + \cdots.
\]
Por lo tanto, en \( x = a \), la derivada es
\[
\frac{d}{dx} \left( \sum_{n=0}^{\infty} c_n (x – a)^n \right) = c_1 + 2c_2 (a – a) + 3c_3 (a – a)^2 + \cdots = c_1.
\]
De tal manera que la derivada de la serie es igual a \( f'(a) \) si el coeficiente \( c_1 = f'(a) \). Continuando de esta manera, buscamos coeficientes \( c_n \) tales que todas las derivadas de la serie de potencias de la Ecuación \( (7.9.1) \) coincidan con todas las derivadas correspondientes de \( f \) en \( x = a \). Las segundas y terceras derivadas de la Ecuación \( (7.9.1) \) están dadas por
\[
\frac{d^2}{dx^2} \left( \sum_{n=0}^{\infty} c_n (x – a)^n \right) = 2c_2 + 3 \cdot 2c_3 (x – a) + 4 \cdot 3c_4 (x – a)^2 + \cdots
\]
y
\[
\frac{d^3}{dx^3} \left( \sum_{n=0}^{\infty} c_n (x – a)^n \right) = 3 \cdot 2c_3 + 4 \cdot 3 \cdot 2c_4 (x – a) + 5 \cdot 4 \cdot 3c_5 (x – a)^2 + \cdots
\]
Por lo tanto, en x = a, las segundas y terceras derivadas
\[
\frac{d^2}{dx^2} \left( \sum_{n=0}^{\infty} c_n (x – a)^n \right) = 2c_2 + 3 \cdot 2c_3 (a – a) + 4 \cdot 3c_4 (a – a)^2 + \cdots = 2c_2
\]
y
\[
\frac{d^3}{dx^3} \left( \sum_{n=0}^{\infty} c_n (x – a)^n \right) = 3 \cdot 2c_3 + 4 \cdot 3 \cdot 2c_4 (a – a) + 5 \cdot 4 \cdot 3c_5 (a – a)^2 + \cdots = 3 \cdot 2c_3
\]
son iguales a \( f′′(a) \) y \( f′′′(a) \), respectivamente, si \( c_2 = \frac{f′′(a)}{2} \) y \( c_3 = \frac{f′′′(a)}{3 \cdot 2} \).
\[
\]
Más generalmente, vemos que si \( f \) tiene una representación en serie de potencias en \( x = a \), entonces los coeficientes deberían ser \( c_n = \frac{f^{(n)}(a)}{n!} \). Es decir, la serie debería ser:
\[
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x – a)^n = f(a) + f′(a) (x – a) + \frac{f′′(a)}{2!} (x – a)^2 + \frac{f′′′(a)}{3!} (x – a)^3 + \cdots
\]
Esta serie de potencias para f se conoce como la serie de Taylor para f en a. Si a = 0, entonces esta serie se conoce como la serie de Maclaurin para f.
Definición 7.9.1:
Si f tiene derivadas de todos los órdenes en x = a, entonces la serie de Taylor para la función f en a es
\[
\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f ”(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + \cdots.
\]
La serie de Taylor para f en 0 se conoce como la serie de Maclaurin para f. ♦
Más adelante en esta sección, mostraremos ejemplos de cómo encontrar series de Taylor y discutiremos las condiciones bajo las cuales la serie de Taylor para una función convergerá a esa función. Aquí, enunciamos un resultado importante. Recordemos de “Unicidad de las Series de Potencias” que las representaciones de series de potencias son únicas. Por lo tanto, si una función f tiene una serie de potencias en a, entonces debe ser la serie de Taylor para f en a.
Teorema 7.9.1 Unicidad de las Series de Taylor
Si una función f tiene una serie de potencias en a que converge a f en algún intervalo abierto que contiene a a, entonces esa serie de potencias es la serie de Taylor para f en a. ♦
La demostración se deduce directamente de la Unicidad de las Series de Potencias.
Para determinar si una serie de Taylor converge, necesitamos observar su secuencia de sumas parciales. Estas sumas parciales son polinomios finitos, conocidos como polinomios de Taylor.
Polinomios de Taylor
La n-ésima suma parcial de la serie de Taylor para una función f en a se conoce como el n-ésimo polinomio de Taylor. Por ejemplo, las sumas parciales 0, 1, 2 y 3 de la serie de Taylor están dadas por:
\( p_0(x) = f(a), \)
\( p_1(x) = f(a) + f'(a)(x – a), \)
\( p_2(x) = f(a) + f'(a)(x – a) + \dfrac{f′′(a)}{2!}(x – a)^2, \)
\( p_3(x) = f(a) + f'(a)(x – a) + \dfrac{f′′(a)}{2!}(x – a)^2 + \dfrac{f′′′(a)}{3!}(x – a)^3, \)
respectivamente. Estas sumas parciales se conocen como los polinomios de Taylor de orden 0, 1, 2 y 3 de f en a, respectivamente. Si a = 0, entonces estos polinomios se conocen como los polinomios de Maclaurin de f. A continuación, proporcionamos una definición formal de los polinomios de Taylor y Maclaurin para una función f.
Definición 7.9.2:
Si \( f \) tiene \( n \) derivadas en \( x = a \), entonces el \( n \)-ésimo polinomio de Taylor para \( f \) en \( a \) es
\[ p_n(x) = f(a) + f'(a)(x – a) + \dfrac{f′′(a)}{2!}(x – a)^2 + \dfrac{f′′′(a)}{3!}(x – a)^3 + \cdots + \dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x – a)^n. \]
El \( n \)-ésimo polinomio de Taylor para \( f \) en 0 se conoce como el \( n \)-ésimo polinomio de Maclaurin para \( f \).
♦
Ahora mostramos cómo usar esta definición para encontrar varios polinomios de Taylor para \( f(x) = \ln(x) \) en \( x = 1 \).
Ejemplo ilustrativo 7.9.1 Encontrar Polinomios de Taylor
Encuentra los polinomios de Taylor \( p_0, p_1, p_2 \) y \( p_3 \) para \( f(x) = \ln(x) \) en \( x = 1 \). Usa una herramienta graficadora para comparar la gráfica de \( f \) con las gráficas de \( p_0, p_1, p_2 \) y \( p_3 \).
Solución:
Para encontrar estos polinomios de Taylor, necesitamos evaluar \( f \) y sus primeras tres derivadas en \( x = 1 \).
\(
\begin{array}{r@{\,}c@{\,}l}
f(x) &=& \ln x \\
f′(x) &=& \frac{1}{x} \\
f′′(x) &=& -\frac{1}{x^2} \\
f′′′(x) &=& \frac{2}{x^3}
\end{array}
\qquad
\begin{array}{r@{\,}c@{\,}l}
f(1) &=& 0 \\
f′(1) &=& 1 \\
f′′(1) &=& -1 \\
f′′′(1) &=& 2
\end{array}
\)
Por lo tanto,
\(
\begin{array}{rcl}
p_0(x) &=& f(1) = 0, \\
p_1(x) &=& f(1) + f′(1)(x – 1) = x – 1, \\
p_2(x) &=& f(1) + f′(1)(x – 1) + \dfrac{f′′(1)}{2}(x – 1)^2 = (x – 1) – \dfrac{1}{2}(x – 1)^2, \\
p_3(x) &=& f(1) + f′(1)(x – 1) + \dfrac{f′′(1)}{2}(x – 1)^2 + \dfrac{f′′′(1)}{3!}(x – 1)^3 = (x – 1) – \dfrac{1}{2}(x – 1)^2 + \dfrac{1}{3}(x – 1)^3.
\end{array}
\)
Las gráficas de \( y = f(x) \) y los primeros tres polinomios de Taylor se muestran en la Figura 7.9.1.
(Figura 7.9.1 La función \( y = \ln x \) y los polinomios de Taylor \( p_0 \), \( p_1 \), \( p_2 \) y \( p_3 \) en \( x = 1 \) están trazados en este gráfico.)
Ejercicio de control 7.9.1
Encuentra los polinomios de Taylor \( p_0 \), \( p_1 \), \( p_2 \) y \( p_3 \) para \( f(x) = \frac{1}{x^2} \) en \( x = 1 \). ♦
Ahora mostramos cómo encontrar los polinomios de Maclaurin para \( e^x \), \( \sin(x) \), y \( \cos(x) \). Como se indicó anteriormente, los polinomios de Maclaurin son polinomios de Taylor centrados en cero.
Ejemplo ilustrativo 7.9.2 Hallar Polinomios de Maclaurin
Para cada una de las siguientes funciones, encuentra las fórmulas para los polinomios de Maclaurin \( p_0, p_1, p_2 \) y \( p_3 \). Halla una fórmula para el n-ésimo polinomio de Maclaurin y exprésalo utilizando notación sigma. Usa una herramienta gráficadora para comparar los gráficos de \( p_0, p_1, p_2 \) y \( p_3 \) con \( f \).
a. \( f(x) = e^x \)
b. \( f(x) = \sin x \)
c. \( f(x) = \cos x \)
Solución:
a. Dado que \( f(x) = e^x \), sabemos que \( f(x) = f'(x) = f”(x) = \cdots = f^{(n)}(x) = e^x \) para todos los enteros positivos \( n \). Por lo tanto,
\[ f(0) = f'(0) = f”(0) = \cdots = f^{(n)}(0) = 1 \]
para todos los enteros positivos \( n \). Por lo tanto, tenemos
\(
\begin{aligned}
p_0(x) &= f(0) = 1, \\
p_1(x) &= f(0) + f'(0)x = 1 + x, \\
p_2(x) &= f(0) + f'(0)x + \frac{f′′(0)}{2!}x^2 = 1 + x + \frac{1}{2}x^2, \\
p_3(x) &= f(0) + f'(0)x + \frac{f′′(0)}{2}x^2 + \frac{f′′′(0)}{3!}x^3 = 1 + x + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3!}x^3, \\
p_n(x) &= f(0) + f'(0)x + \frac{f′′(0)}{2}x^2 + \frac{f′′′(0)}{3!}x^3 + \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n \\
&= 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} \\
&= \sum_{k=0}^{n} \frac{x^k}{k!}.
\end{aligned}
\)
Las gráficas de \( y = f(x) \) y los primeros tres polinomios de Taylor se muestran en la Figura 7.9.2.
(Figura 7.9.2 El gráfico muestra la función \( y = e^x \) y los polinomios de Maclaurin \( p_0, p_1, p_2 \) y \( p_3 \).)
b. Para \( f(x) = \sin(x) \), los valores de la función y sus primeras cuatro derivadas en \( x = 0 \) son los siguientes:
\(
\begin{array}{rcl}
f(x) &=& \sin x \\
f'(x) &=& \cos x \\
f′′(x) &=& -\sin x \\
f′′′(x) &=& -\cos x \\
f^{(4)}(x) &=& \sin x
\end{array}
\qquad
\begin{array}{rcl}
f(0) &=& 0 \\
f'(0) &=& 1 \\
f′′(0) &=& 0 \\
f′′′(0) &=& -1 \\
f^{(4)}(0) &=& 0.
\end{array}
\)
Dado que la cuarta derivada es \( \sin x \), el patrón se repite. Es decir, \( f^{(2m)}(0) = 0 \) y \( f^{(2m+1)}(0) = (-1)^m \) para \( m \ge 0 \). Por lo tanto, tenemos
\(
\begin{aligned}
p_0(x) &= 0 \\
p_1(x) &= 0 + x = x, \\
p_2(x) &= 0 + x + 0 = x, \\
p_3(x) &= 0 + x + 0 – \frac{1}{3!}x^3 = x – \frac{x^3}{3!}, \\
p_4(x) &= 0 + x + 0 – \frac{1}{3!}x^3 + 0 = x – \frac{x^3}{3!}, \\
p_5(x) &= 0 + x + 0 – \frac{1}{3!}x^3 + 0 + \frac{1}{5!}x^5 = x – \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!}
\end{aligned}
\)
y para \( m \ge 0 \),
\(
\begin{aligned}
p_{2m+1}(x) &= p_{2m+2}(x) \\
&= x – \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} – \cdots + (-1)^m \frac{x^{2m+1}}{(2m+1)!} \\
&= \sum_{k=0}^{m} (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}.
\end{aligned}
\)
Los gráficos de la función y sus polinomios de Maclaurin se muestran en la Figura 7.9.3.
Figura 7.9.3 El gráfico muestra la función \( y = \sin(x) \) y los polinomios de Maclaurin \( p_1 \), \( p_3 \) y \( p_5 \).
c. Para \( f(x) = \cos(x) \), los valores de la función y sus primeras cuatro derivadas en \( x = 0 \) son los siguientes:
\(
\begin{array}{rcl}
f(x) &=& \cos x \\
f′(x) &=& -\sin x \\
f′′(x) &=& -\cos x \\
f′′′(x) &=& \sin x \\
f^{(4)}(x) &=& \cos x
\end{array}
\qquad
\begin{array}{rcl}
f(0) &=& 1 \\
f′(0) &=& 0 \\
f′′(0) &=& -1 \\
f′′′(0) &=& 0 \\
f^{(4)}(0) &=& 1.
\end{array}
\)
Dado que la cuarta derivada es \( \cos x \), el patrón se repite. En otras palabras, \( f^{(2m)}(0) = (-1)^m \) y \( f^{(2m+1)}(0) = 0 \) para \( m \ge 0 \). Por lo tanto,
\(
\begin{aligned}
p_0(x) &= 1 \\
p_1(x) &= 1 + 0 = 1, \\
p_2(x) &= 1 + 0 – \frac{1}{2!}x^2 = 1 – \frac{x^2}{2!}, \\
p_3(x) &= 1 + 0 – \frac{1}{2!}x^2 + 0 = 1 – \frac{x^2}{2!}, \\
p_4(x) &= 1 + 0 – \frac{1}{2!}x^2 + 0 + \frac{1}{4!}x^4 = 1 – \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!}, \\
p_5(x) &= 1 + 0 – \frac{1}{2!}x^2 + 0 + \frac{1}{4!}x^4 + 0 = 1 – \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!}
\end{aligned}
\)
y para \( n \ge 0 \),
\(
\begin{aligned}
p_{2m}(x) &= p_{2m+1}(x) \\
&= 1 – \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} – \cdots + (-1)^m \frac{x^{2m}}{(2m)!} \\
&= \sum_{k=0}^{m} (-1)^k \frac{x^{2k}}{(2k)!}.
\end{aligned}
\)
Los gráficos de la función y los polinomios de Maclaurin aparecen en la Figura 7.9.4.
(Figura 7.9.4 La función \( y = \cos(x) \) y los polinomios de Maclaurin \( p_0, p_2 \) y \( p_4 \) están representados en este gráfico.) ♦
Ejercicio de control 7.9.2
Encuentra fórmulas para los polinomios de Maclaurin \( p_0 \), \( p_1 \), \( p_2 \) y \( p_3 \) para \( f(x) = \dfrac{1}{1+x} \). Encuentra una fórmula para el \( n \)-ésimo polinomio de Maclaurin. Escribe tu respuesta usando notación sigma.
♦
Teorema de Taylor con Resto
Recordemos que el \( n \)-ésimo polinomio de Taylor para una función \( f \) en \( a \) es la \( n \)-ésima suma parcial de la serie de Taylor para \( f \) en \( a \). Por lo tanto, para determinar si la serie de Taylor converge, necesitamos determinar si la secuencia de polinomios de Taylor \( \{p_n\} \) converge. Sin embargo, no solo queremos saber si la secuencia de polinomios de Taylor converge, sino que queremos saber si converge a \( f \). Para responder a esta pregunta, definimos el resto \( R_n(x) \) como
\[ R_n(x) = f(x) – p_n(x). \]
Para que la secuencia de polinomios de Taylor converja a \( f \), necesitamos que el resto \( R_n \) converja a cero. Para determinar si \( R_n \) converge a cero, introducimos el teorema de Taylor con resto. Este teorema no solo es útil para probar que una serie de Taylor converge a su función relacionada, sino que también nos permitirá cuantificar qué tan bien el \( n \)-ésimo polinomio de Taylor aproxima la función.
Aquí buscamos una cota para \( |R_0| \). Consideremos el caso más simple: \( n = 0 \). Sea \( p_0 \) el 0-ésimo polinomio de Taylor en \( a \) para una función \( f \). El resto \( R_0 \) satisface
\[
\begin{aligned}
R_0(x) &= f(x) – p_0(x) \\
&= f(x) – f(a).
\end{aligned}
\]
Si \( f \) es diferenciable en un intervalo \( I \) que contiene a \( a \) y \( x \), entonces, por el Teorema del Valor Medio, existe un número real \( c \) entre \( a \) y \( x \) tal que \( f(x) – f(a) = f'(c)(x – a) \). Por lo tanto,
\[ R_0(x) = f'(c)(x – a). \]
Usando el Teorema del Valor Medio en un argumento similar, podemos mostrar que si \( f \) es \( n \) veces diferenciable en un intervalo \( I \) que contiene a \( a \) y \( x \), entonces el \( n \)-ésimo resto \( R_n \) satisface
\[ R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x – a)^{n+1} \]
para algún número real \( c \) entre \( a \) y \( x \). Es importante notar que el valor \( c \) en el numerador anterior no es el centro \( a \), sino un valor desconocido \( c \) entre \( a \) y \( x \). Esta fórmula nos permite obtener una cota para el resto \( R_n \). Si resulta que sabemos que \( |f^{(n+1)}(x)| \) está acotada por algún número real \( M \) en este intervalo \( I \), entonces
\[ |R_n(x)| \le \frac{M}{(n+1)!}|x – a|^{n+1} \]
para toda \( x \) en el intervalo \( I \).
Ahora enunciamos el teorema de Taylor, que proporciona la relación formal entre una función \( f \) y su polinomio de Taylor de grado \( n \), \( p_n(x) \). Este teorema nos permite acotar el error al usar un polinomio de Taylor para aproximar el valor de una función, y será importante para probar que una serie de Taylor para \( f \) converge a \( f \).
Teorema 7.9.1 Teorema de Taylor con Resto
Sea \( f \) una función que puede ser diferenciada \( n+1 \) veces en un intervalo \( I \) que contiene al número real \( a \). Sea \( p_n \) el \( n \)-ésimo polinomio de Taylor de \( f \) en \( a \) y sea
\[ R_n(x) = f(x) – p_n(x) \]
sea el \( n \)-ésimo resto. Entonces, para cada \( x \) en el intervalo \( I \), existe un número real \( c \) entre \( a \) y \( x \) tal que
\[ R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x – a)^{n+1}. \]
Si existe un número real \( M \) tal que
\[ |f^{(n+1)}(x)| \le M \]
para toda \( x \in I \), entonces
\[ |R_n(x)| \le \frac{M}{(n+1)!}|x – a|^{n+1} \]
para toda \( x \) en \( I \). ♦
Demostración:
Fijemos un punto \( x \in I \) e introduzcamos la función \( g \) tal que
\[ g(t) = f(x) – f(t) – f′(t)(x-t) – \frac{f′′(t)}{2!}(x-t)^2 – \cdots – \frac{f^{(n)}(t)}{n!}(x-t)^n – R_n(x)\frac{(x-t)^{n+1}}{(x-a)^{n+1}}. \]
Afirmamos que \( g \) satisface los criterios del teorema de Rolle. Como \( g \) es una función polinómica (en \( t \)), es una función diferenciable. Además, \( g \) es cero en \( t = a \) y \( t = x \) porque
\[
\begin{aligned}
g(a) &= f(x) – f(a) – f′(a)(x-a) – \frac{f′′(a)}{2!}(x-a)^2 – \cdots – \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n – R_n(x) \\
&= f(x) – p_n(x) – R_n(x) \\
&= f(x) – 0 – \cdots – 0 \\
&= 0,
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
g(x) &= f(x) – f(x) – 0 – \cdots – 0 \\
&= 0,
\end{aligned}
\]
Por lo tanto, \( g \) satisface el teorema de Rolle y, en consecuencia, existe \( c \) entre \( a \) y \( x \) tal que \( g′(c) = 0 \). Ahora calculamos \( g′ \). Usando la regla del producto, notamos que
\[ \frac{d}{dt}\left[\frac{f^{(n)}(t)}{n!}(x-t)^n\right] = \frac{-f^{(n)}(t)}{(n-1)!}(x-t)^{n-1} + \frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^n. \]
En consecuencia,
\[
\begin{aligned}
g′(t) &= -f′(t) + [f′(t) – f′′(t)(x-t)] + [f′′(t)(x-t) – \frac{f′′′(t)}{2}(x-t)^2] + \cdots \\
&\quad + \left[\frac{f^{(n)}(t)}{(n-1)!}(x-t)^{n-1} – \frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^n\right] + (n+1)R_n(x)\frac{(x-t)^n}{(x-a)^{n+1}}.
\end{aligned}
\]
Nótese que hay un efecto telescópico. Por lo tanto,
\[ g′(t) = \frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^n + (n+1)R_n(x)\frac{(x-t)^n}{(x-a)^{n+1}}. \]
Por el teorema de Rolle, concluimos que existe un número \( c \) entre \( a \) y \( x \) tal que \( g′(c) = 0 \). Dado que
\[ g′(c) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{n!}(x-c)^n + (n+1)R_n(x)\frac{(x-c)^n}{(x-a)^{n+1}} \]
concluimos que
\[ -\frac{f^{(n+1)}(c)}{n!}(x-c)^n + (n+1)R_n(x)\frac{(x-c)^n}{(x-a)^{n+1}} = 0. \]
Sumando el primer término del lado izquierdo a ambos lados de la ecuación y dividiendo ambos lados de la ecuación por
\[ \frac{(n+1)(x-c)^n}{(x-a)^{n+1}}, \]
concluimos que
\[ R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} \]
como se deseaba. De este hecho, se deduce que si existe \( M \) tal que \( |f^{(n+1)}(x)| \le M \) para toda \( x \) en \( I \), entonces
\[ |R_n(x)| \le \frac{M}{(n+1)!}|x-a|^{n+1}.\]
♦
El teorema de Taylor no solo nos permite probar que una serie de Taylor converge a una función, sino que también nos permite estimar la precisión de los polinomios de Taylor al aproximar valores de funciones. Comenzamos observando las aproximaciones lineal y cuadrática de \( f(x) = \sqrt[3]{x} \) en \( x = 8 \) y determinamos qué tan precisas son estas aproximaciones al estimar \( \sqrt[3]{11} \).
Ejemplo ilustrativo 7.9.3 Uso de Aproximaciones Lineales y Cuadráticas para Estimar Valores de Funciones
Considera la función \( f(x) = \sqrt[3]{x} \).
a. Encuentra los polinomios de Taylor de primer y segundo grado para \( f \) en \( x = 8 \). Usa una utilidad gráfica para comparar estos polinomios con \( f \) cerca de \( x = 8 \).
b. Usa estos dos polinomios para estimar \( \sqrt[3]{11} \).
c. Usa el teorema de Taylor para acotar el error.
Solución:
a. Para \( f(x) = \sqrt[3]{x} \), los valores de la función y sus primeras dos derivadas en \( x = 8 \) son los siguientes:
\(
\begin{array}{rcl}
f(x) &=& \sqrt[3]{x} \\
f′(x) &=& \frac{1}{3x^{2/3}} \\
f′′(x) &=& \frac{-2}{9x^{5/3}}
\end{array}
\qquad
\begin{array}{rcl}
f(8) &=& 2 \\
f′(8) &=& \frac{1}{12} \\
f′′(8) &=& -\frac{1}{144}
\end{array}
\)
Por lo tanto, los polinomios de Taylor de primer y segundo grado en \( x = 8 \) están dados por
\(
\begin{aligned}
p_1(x) &= f(8) + f′(8)(x – 8) \\
&= 2 + \frac{1}{12}(x – 8)
\end{aligned}
\)
\(
\begin{aligned}
p_2(x) &= f(8) + f′(8)(x – 8) + \frac{f′′(8)}{2!}(x – 8)^2 \\
&= 2 + \frac{1}{12}(x – 8) – \frac{1}{288}(x – 8)^2.
\end{aligned}
\)
La función y los polinomios de Taylor se muestran en la Figura 7.9.5.
(Figura 7.9.5: Los gráficos de \( f(x) = \sqrt[3]{x} \), y las aproximaciones lineal y cuadrática \( p_1(x) \) y \( p_2(x) \).)
b. Usando el primer polinomio de Taylor en \( x = 8 \), podemos estimar
\[ \sqrt[3]{11} \approx p_1(11) = 2 + \frac{1}{12}(11 – 8) = 2.25. \]
Usando el segundo polinomio de Taylor en \( x = 8 \), obtenemos
\[ \sqrt[3]{11} \approx p_2(11) = 2 + \frac{1}{12}(11 – 8) – \frac{1}{288}(11 – 8)^2 = 2.21875. \]
c. Por el Teorema de Taylor con Resto, existe una \( c \) en el intervalo \( (8, 11) \) tal que el resto al aproximar \( \sqrt[3]{11} \) por el primer polinomio de Taylor satisface
\[ R_1(11) = \frac{f”(c)}{2!}(11-8)^2. \]
No conocemos el valor exacto de \( c \), así que encontramos una cota superior para \( |R_1(11)| \) determinando el valor máximo de \( f′′ \)en el intervalo \( (8, 11) \). Dado que \( f′′(x) = -\frac{2}{9x^{5/3}} \), el valor más grande para \( |f′′(x)| \) en ese intervalo ocurre en \( x = 8 \). Usando el hecho de que \( f′′(8) = -\frac{1}{144} \), obtenemos
\[ |R_1(11)| \le \frac{1}{144 \cdot 2!}(11-8)^2 = 0.03125. \]
De manera similar, para estimar \( R_2(11) \), usamos el hecho de que
\[ R_2(11) = \frac{f′′′(c)}{3!}(11-8)^3. \]
Dado que \( f′′′(x) = \frac{10}{27x^{8/3}} \), el valor máximo de \( f′′′ \) en el intervalo \( (8, 11) \) es \( f′′′(8) \approx 0.0014468 \). Por lo tanto, tenemos
\[ |R_2(11)| \le \frac{0.0014468}{3!}(11-8)^3 \approx 0.0065104. \]
♦
Ejercicio de control 7.9.3
Encuentra los polinomios de Taylor de primer y segundo grado para \( f(x) = \sqrt{x} \) en \( x = 4 \). Usa estos polinomios para estimar \( \sqrt{6} \). Usa el teorema de Taylor para acotar el error. ♦
Ejemplo ilustrativo 7.9.4 Aproximación de senx usando Polinomios de Maclaurin
Del Ejemplo 7.9.2b., los polinomios de Maclaurin para \( \sin x \) están dados por
\[
\begin{matrix}
p_{2m+1}(x) = p_{2m+2}(x) = x – \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} – \frac{x^7}{7!} + \cdots + (-1)^m \frac{x^{2m+1}}{(2m+1)!}
\end{matrix}
\]
para \( m = 0, 1, 2, …. \)
a. Usa el quinto polinomio de Maclaurin para \( \sin x \) para aproximar \( \sin(\frac{\pi}{18}) \) y acota el error.
b. ¿Para qué valores de \( x \) el quinto polinomio de Maclaurin aproxima a \( \sin x \) con una precisión de 0.0001?
Solución:
a. El quinto polinomio de Maclaurin es
\[ p_5(x) = x – \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!}. \]
Usando este polinomio, podemos estimar de la siguiente manera:
\[
\begin{matrix}
\sin(\frac{\pi}{18}) &\approx p_5(\frac{\pi}{18}) \\
&= \frac{\pi}{18} – \frac{1}{3!}\left(\frac{\pi}{18}\right)^3 + \frac{1}{5!}\left(\frac{\pi}{18}\right)^5 \\
&\approx 0.173648.
\end{matrix}
\]
Para estimar el error, use el hecho de que el sexto polinomio de Maclaurin es \( p_6(x) = p_5(x) \) y calcule una cota para \( R_6(\frac{\pi}{18}) \). Por la Unicidad de las Series de Taylor, el resto es
\[ R_6\left(\frac{\pi}{18}\right) = \frac{f^{(7)}(c)}{7!}\left(\frac{\pi}{18}\right)^7 \]
para alguna c entre 0 y \( \frac{\pi}{18} \). Usando el hecho de que \( |f^{(7)}(x)| \le 1 \) para toda x, encontramos que la magnitud del error es a lo sumo
\[ \frac{1}{7!}\cdot{\left(\frac{\pi}{18}\right)}^{7} \le 9.8 \times 10^{-10}. \]
b. Necesitamos encontrar los valores de x tales que
\[ \frac{1}{7!}|x|^{7} \le 0.0001. \]
Resolviendo esta desigualdad para \( \mathit{x} \), tenemos que el quinto polinomio de Maclaurin da una estimación con una precisión de 0.0001 siempre que \( |\mathit{x}| < 0.907. \) ♦
Ejercicio de control 7.9.4
Usa el cuarto polinomio de Maclaurin para cosx para aproximar cos(π/12). ♦
Ahora que somos capaces de acotar el resto Rn(x), podemos utilizar este límite para demostrar que una serie de Taylor para f en a converge a f.
Representación de Funciones con Series de Taylor y Maclaurin
Ahora discutimos cuestiones de convergencia para las series de Taylor. Comenzamos mostrando cómo encontrar una serie de Taylor para una función y cómo encontrar su intervalo de convergencia.
Ejemplo ilustrativo 7.9.5 Encontrando una Serie de Taylor
Encuentra la serie de Taylor para \( f(x) = \frac{1}{x} \) en \( x = 1 \). Determina el intervalo de convergencia.
Solución:
Para \( f(x) = \frac{1}{x} \), los valores de la función y sus primeras cuatro derivadas en \( x = 1 \) son
\[
\begin{array}{rcl}
f(x) &=& \frac{1}{x} \\
f'(x) &=& -\frac{1}{x^2} \\
f′′(x) &=& \frac{2}{x^3} \\
f′′′(x) &=& -\frac{3 \cdot 2}{x^4} \\
f^{(4)}(x) &=& \frac{4 \cdot 3 \cdot 2}{x^5}
\end{array}
\qquad
\begin{array}{rcl}
f(1) &=& 1 \\
f'(1) &=& -1 \\
f”(1) &=& 2! \\
f”'(1) &=& -3! \\
f^{(4)}(1) &=& 4!
\end{array}
\]
Es decir, tenemos \( f^{(n)}(1) = (-1)^n n! \) para toda \( n \ge 0 \). Por lo tanto, la serie de Taylor para \( f \) en \( x = 1 \) está dada por
\[ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(1)}{n!}(x-1)^n = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n (x-1)^n. \]
Para encontrar el intervalo de convergencia, usamos la prueba de la razón. Encontramos que
\[ \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} = \frac{|(-1)^{n+1}(x-1)^{n+1}|}{|(-1)^n(x-1)^n|} = |x-1|. \]
Así, la serie converge si \( |x-1| < 1 \). Es decir, la serie converge para \( 0 < x < 2 \). A continuación, necesitamos verificar los puntos extremos. En \( x = 2 \), vemos que
\[ \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n (2-1)^n = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \]
diverge por la prueba de divergencia. De manera similar, en \( x = 0 \)
\[ \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n (0-1)^n = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{2n} = \sum_{n=0}^{\infty} 1 \]
diverge. Por lo tanto, el intervalo de convergencia es (0, 2). ♦
Ejercicio de control 7.9.5
Encuentra la serie de Taylor para \( f(x) = \frac{1}{2x} \) en \( x = 2 \) y determina su intervalo de convergencia. ♦
Sabemos que la serie de Taylor encontrada en este ejemplo converge en el intervalo (0, 2), pero ¿cómo sabemos que realmente converge a f ? Consideramos esta cuestión de manera más general en un momento, pero para este ejemplo, podemos responder esta pregunta escribiendo
\[ f(x) = \frac{1}{x} = \frac{1}{1-(1-x)}. \]
Es decir, \( f \) puede representarse mediante la serie geométrica \( \sum_{n=0}^{\infty}(1-x)^{n} \). Dado que esta es una serie geométrica, converge a \( \frac{1}{x} \) siempre que \( |1 – x| < 1 \). Por lo tanto, la serie de Taylor encontrada e nel Ejemplo 7.9.5 sí converge a \( f(x) = \frac{1}{x} \) en \( (0, 2) \).
Ahora consideremos la cuestión más general: si una serie de Taylor para una función f converge en algún intervalo, ¿cómo podemos determinar si realmente converge a f ? Para responder a esta pregunta, recordemos que una serie converge a un valor particular si y solo si su secuencia de sumas parciales converge a ese valor. Dada una serie de Taylor para f en a, la enésima suma parcial está dada por el enésimo polinomio de Taylor pn. Por lo tanto, para determinar si la serie de Taylor converge a f, necesitamos determinar si
\[ \lim_{n \to \infty} p_n(x) = f(x). \]
Dado que el resto \( R_n(x) = f(x) – p_n(x) \), la serie de Taylor converge a \( f \) si y solo si
\[ \lim_{n \to \infty} R_n(x) = 0. \]
Ahora enunciamos este teorema formalmente.
Teorema 7.9.2 Convergencia de Series de Taylor
Suponga que \( f \) tiene derivadas de todos los órdenes en un intervalo \( I \) que contiene a \( a \). Entonces la serie de Taylor
\[ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n \]
converge a \( f(x) \) para toda \( x \) en \( I \) si y solo si
\[ \lim_{n \to \infty} R_n(x) = 0 \]
para toda \( x \) en \( I \). ♦
Con este teorema, podemos probar que una serie de Taylor para \( f \) en \( a \) converge a \( f \) si podemos probar que el resto \( R_n(x) \to 0 \). Para probar que \( R_n(x) \to 0 \), normalmente usamos la cota
\[ |R_n(x)| \le \frac{M}{(n+1)!}|x-a|^{n+1} \]
del teorema de Taylor con resto.
En el siguiente ejemplo, encontramos la serie de Maclaurin para \( e^{\mathit{x}} \) y \( \sin{\mathit{x}} \), y mostramos que estas series convergen a las funciones correspondientes para todos los números reales al demostrar que los residuos \( R_n(\mathit{x}) \to 0 \) para todos los números reales \( \mathit{x} \).
Ejemplo ilustrativo 7.9.6 Encontrando Series de Maclaurin
Para cada una de las siguientes funciones, encuentra la serie de Maclaurin y su intervalo de convergencia. Usa el Teorema de Taylor con resto para demostrar que la serie de Maclaurin para f converge a f en ese intervalo:
a. \( e^x \)
b. \( \sin x \)
Solución:
a. Usando el \( n \)-ésimo polinomio de Maclaurin para \( e^x \) encontrado en Ejemplo 7.9.2a, hallamos que la serie de Maclaurin para \( e^x \) está dada por
\[ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}. \]
Para determinar el intervalo de convergencia, usamos la prueba de la razón. Dado que
\[ \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} = \frac{|x|^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{|x|^n} = \frac{|x|}{n+1}, \]
tenemos
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} = \lim_{n \to \infty} \frac{|x|}{n+1} = 0 \]
para toda \( x \). Por lo tanto, la serie converge absolutamente para toda \( x \), y por lo tanto, el intervalo de convergencia es \( (-\infty, \infty) \). Para mostrar que la serie converge a \( e^x \) para toda \( x \), usamos el hecho de que \( f^{(n)}(x) = e^x, n \ge 0 \) y \( e^x \) es una función creciente en \( (-\infty, \infty) \). Por lo tanto, para cualquier número real \( b \), el valor máximo de \( e^x \) para toda \( |x| < b \) es \( e^b \). Así
\[ |R_n(x)| \le \frac{e^b}{(n+1)!} |x|^{n+1}. \]
Dado que acabamos de mostrar que
\[ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{|x|^n}{n!} \]
converge para toda \( x \), por la prueba de divergencia, sabemos que
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{|x|^{n+1}}{(n+1)!} = 0 \]
para cualquier número real \( x \). Combinando este hecho con el teorema del encaje, el resultado es
\[ \lim_{n \to \infty} R_n(x) = 0. \]
b. Usando el \( n \)-ésimo polinomio de Maclaurin para \( \sin x \) encontrado en Ejemplo 7.9.2b, hallamos que la serie de Maclaurin para \( \sin x \) está dada por
\[ \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}. \]
Para aplicar la prueba de la razón, considere
\[ \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} = \frac{|x|^{2n+3}}{(2n+3)!} \cdot \frac{(2n+1)!}{|x|^{2n+1}} = \frac{|x|^2}{(2n+3)(2n+2)}. \]
Dado que
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{|x|^2}{(2n+3)(2n+2)} = 0 \]
para toda \( x \), obtenemos el intervalo de convergencia como \( (-\infty, \infty) \). Para mostrar que la serie de Maclaurin converge a \( \sin x \), observe \( R_n(x) \). Para cada \( x \) existe un número real \( c \) entre 0 y \( x \) tal que
\[ R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!} x^{n+1}. \]
Dado que \( |f^{(n+1)}(c)| \le 1 \) para todos los enteros \( n \) y todos los números reales \( c \), tenemos
\[ |R_n(x)| \le \frac{|x|^{n+1}}{(n+1)!} \]
para todos los números reales \( x \). Usando la misma idea que en la parte a., el resultado es \( \lim_{n \to \infty} R_n(x) = 0 \) para toda \( x \) y, por lo tanto, la serie de Maclaurin para \( \sin x \) converge a \( \sin x \) para toda \( x \) real. ♦
Ejercicio de control 7.9.6
Encuentra la serie de Maclaurin para \( f(\mathit{x}) = \cos{\mathit{x}} \). Usa la prueba de razón para mostrar que el intervalo de convergencia es \( (-\infty, \infty) \). Demuestra que la serie de Maclaurin converge a \( \cos{\mathit{x}} \) para todos los números reales \( \mathit{x} \). ♦
