Límites en el infinito y asíntotas

LÍMITES EN EL INFINITO Y ASÍNTOTAS : Objetivos de aprendizaje

4.6.1. Calcular el límite de una función a medida que x aumenta o disminuye sin límite.
4.6.2. Reconocer una asíntota horizontal en la gráfica de una función.
4.6.3. Estimar el comportamiento final de una función a medida que x aumenta o disminuye sin límite.
4.6.4. Reconocer una asíntota oblicua en la gráfica de una función.
4.6.5. Analizar una función y sus derivados para dibujar su gráfica.

Hemos mostrado cómo usar las derivadas primera y segunda de una función para describir la forma de su gráfica. Para graficar una función f definida en un dominio ilimitado, también necesitamos conocer el comportamiento de f cuando x → ± ∞. En esta sección, definimos límites en el infinito y mostramos cómo estos límites afectan la gráfica de una función. Al final de esta sección, describimos una estrategia para graficar una función arbitraria f.

Límites en el infinito

Comenzamos examinando lo que significa que una función tenga un límite finito en el infinito. Luego estudiamos la idea de una función con un límite infinito en el infinito. En esta sección tratamos las asíntotas horizontales y oblicuas.

Límites en infinito y asíntotas horizontales

Recuerde que

significa que f(x) se aproxima arbitrariamente a L siempre que x esté lo suficientemente cerca de a. Podemos extender esta idea a límites en el infinito. Por ejemplo, considere la función f(x) = 2 + 1/x. Como se puede ver gráficamente en la Figura 4.21 y numéricamente en la Tabla 4.2, a medida que los valores de x aumentan, los valores de f(x) se aproximan a 2. Decimos que el límite a medida que x se aproxima a ∞ de f(x) es 2 y escribimos

Del mismo modo, para x < 0, conforme los valores de |x| aumentan, los valores de f (x) se acercan a 2. Decimos que el límite a medida que x se acerca a −∞ de f(x) es 2 y escribimos

Figura 4.21  La función se acerca a la asíntota y = 2 a medida que x se aproxima a ± ∞.
x10101001001,0001,00010,00010,000
2 + 1/x2.12.12.012.012.0012.0012.00012.0001
x−10−10−100−100−1000−1000−10,000−10,000
2 + 1/x 1.91.91.991.991.9991.9991.9999

Tabla 4.2 Valores de la función f (x) = 2 + 1/x cuando x → ± ∞

Más generalmente, para cualquier función f, decimos que el límite cuando x → ∞ de f (x) es L si f(x) se acerca arbitrariamente a L siempre que x sea suficientemente grande. En ese caso, escribimos

De manera similar, decimos que el límite como x → −∞ de f(x) es L si f(x) se acerca arbitrariamente a L siempre que x < 0 y |x| es suficientemente grande. En ese caso, escribimos

Ahora establecemos la definición de una función que tiene un límite en el infinito.

Definición 4.6.1 (Informal). Límite en el infinito

Si los valores de f(x) se vuelven acercan arbitrariamente a L cuando x se hace lo suficientemente grande, decimos que la función f tiene un límite en el infinito y escribimos

Si los valores de f(x) se vuelven acercan arbitrariamente a L para x < 0 como |x| se vuelve suficientemente grande, decimos que la función f tiene un límite en infinito negativo y escribimos

Si los valores de f(x) se están acercando arbitrariamente a algún valor finito L cuando x → ∞ o x → −∞, la gráfica de f se aproxima a la recta y = L. En ese caso, la recta y = L es una asíntota horizontal de f (Figura 4.22). Por ejemplo, para la función f(x) = 1/x, dado que

la recta y = 0 es una asíntota horizontal de f(x) = 1/x.

Definición 4.6.2. Asíntota horizontal

Si

decimos que la línea y = L es una asíntota horizontal de f.

Figura 4.22 (a)  Cuando x → ∞, los valores de f se están acercando arbitrariamente a L. La recta y = L es una asíntota horizontal de f. (b) Cuando x → −∞, los valores de f se están acercando arbitrariamente a M. La línea y = M es una asíntota horizontal de f.

Una función no puede cruzar una asíntota vertical porque la gráfica debe acercarse al infinito (o −∞) desde al menos una dirección a medida que x se acerca a la asíntota vertical. Sin embargo, una función puede cruzar una asíntota horizontal. De hecho, una función puede cruzar una asíntota horizontal un número ilimitado de veces. Por ejemplo, la función f (x) = (cosx)/x + 1 que se muestra en la Figura 4.23 cruza la asíntota horizontal y = 1 un número infinito de veces a medida que oscila alrededor de la asíntota con una amplitud cada vez menor.

Figura 4.23  La gráfica de f(x) = (cosx) / x + 1 cruza su asíntota horizontal y = 1 un número infinito de veces

Las leyes de límites algebraicos y el teorema de compresión que presentamos en Introducción a los límites también se aplican a los límites en el infinito.

Ejercicios resueltos

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