4.6 LÍMITES EN EL INFINITO Y ASÍNTOTAS

Para cada una de las siguientes funciones, determine los límites cuando \( x \to \infty \) y \( x \to -\infty \). Luego, utilice esta información para describir el comportamiento final de la función.

1. \( f(x) = \frac{3x – 1}{2x + 5} \)

   Nota: El grado del numerador y del denominador es el mismo.

2. \( f(x) = \frac{3x^2 + 2x}{4x^3 – 5x + 7} \)

   Nota: El grado del numerador es menor que el grado del denominador.

3. \( f(x) = \frac{3x^2 + 4x}{x + 2} \)

   Nota: El grado del numerador es mayor que el grado del denominador.

Antes de continuar, considera la gráfica de \( f(x) = \frac{3x^2 + 4x}{x + 2} \), mostrado en la Figura 4.6.13. Cuando \( x \to \infty \) y \( x \to -\infty \), el gráfico de \( f \) parece casi lineal. Aunque \( f \) ciertamente no es una función lineal, ahora investigamos por qué el gráfico de \( f \) parece aproximarse a una función lineal.

Primero, utilizando la división larga de polinomios, podemos escribir:

\[ f(x) = \frac{3x^2 + 4x}{x + 2} = 3x – 2 + \frac{4}{x + 2}. \]

Dado que \( \frac{4}{x + 2} \to 0 \) cuando \( x \to \pm\infty \), concluimos que:

\[ \lim_{{x \to \pm\infty}} \left( f(x) – (3x – 2) \right) = \lim_{{x \to \pm\infty}} \frac{4}{x + 2} = 0. \]

Por lo tanto, el gráfico de \( f \) se aproxima a la recta \( y = 3x – 2 \) cuando \( x \to \pm\infty \). Esta recta es conocida como una asíntota oblicua de \( f \) (Figura 4.6.13).

Figura 4.6.13 La gráfica de la función racional f (x) = (3x² + 4x) / (x + 2) se acerca a la asíntota oblicua y = 3x − 2 cuando x → ± ∞.

Comportamiento final para funciones racionales.

Podemos resumir los resultados del Ejemplo 4.6.5 para llegar a la siguiente conclusión con respecto al comportamiento final de las funciones racionales. Considere una función racional

\[f(x) = \frac{p(x)}{q(x)} = \frac{a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1x + a_0}{b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + \dots + b_1x + b_0},\]

donde \(a_n \ne 0\) y \(b_m \ne 0\).

1. Si el grado del numerador es el mismo que el grado del denominador (\(n = m\)), entonces \(f\) tiene una asíntota horizontal de \(y = \frac{a_n}{b_m}\) cuando \(x \to \pm\infty\).
2. Si el grado del numerador es menor que el grado del denominador (\(n < m\)), entonces \(f\) tiene una asíntota horizontal de \(y = 0\) cuando \(x \to \pm\infty\).
3. Si el grado del numerador es mayor que el grado del denominador (\(n > m\)), entonces \(f\) no tiene una asíntota horizontal. Los límites en el infinito son infinito positivo o negativo, dependiendo de los signos de los términos principales. Además, usando la división larga, la función se puede reescribir como

   \[f(x) = \frac{p(x)}{q(x)} = g(x) + \frac{r(x)}{q(x)},\]

   donde el grado de \(r(x)\) es menor que el grado de \(q(x)\). Como resultado, \(\lim_{x \to \pm\infty} \frac{r(x)}{q(x)} = 0\). Por lo tanto, los valores de \([f(x) – g(x)]\) se acercan a cero cuando \(x \to \pm\infty\). Si el grado de \(p(x)\) es exactamente uno más que el grado de \(q(x)\) (\(n = m + 1\)), la función \(g(x)\) es una función lineal. En este caso, llamamos a \(g(x)\) una asíntota oblicua.

Ahora consideremos el comportamiento final para funciones que involucran un radical.

Ejemplo ilustrativo 4.6.6: Determinación del Comportamiento Final para una Función que Involucra una Raíz (o un Radical).

Encuentre los límites cuando \(x \rightarrow \infty\) y \(x \rightarrow -\infty\) para \(f(x) = \frac{3x-2}{\sqrt{4x^2+5}}\) y describa el comportamiento final de \(f\).

Solución:

Usemos la misma estrategia que usamos para las funciones racionales: dividir el numerador y el denominador por una potencia de \(x\). Para determinar la potencia apropiada de \(x\), considere la expresión \(\sqrt{4x^2+5}\) en el denominador. Dado que

\[\sqrt{4x^2+5} \approx \sqrt{4x^2} = 2|x|\]

para valores grandes de \(x\), en efecto, \(x\) aparece solo a la primera potencia en el denominador. Por lo tanto, dividimos el numerador y el denominador por \(|x|\). Luego, usando el hecho de que \(|x|=x\) para \(x>0\), \(|x|=-x\) para \(x<0\), y \(|x|=\sqrt{x^2}\) para toda \(x\), calculamos los límites de la siguiente manera:

\[\begin{aligned} \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{3x-2}{\sqrt{4x^2+5}} &= \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{(1/|x|)(3x-2)}{(1/|x|)\sqrt{4x^2+5}} \\ &= \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{(1/x)(3x-2)}{\sqrt{\frac{1}{x^2}(4x^2+5)}} \\ &= \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{3-\frac{2}{x}}{\sqrt{4+\frac{5}{x^2}}} = \frac{3}{\sqrt{4}} = \frac{3}{2} \end{aligned}\]

\[\begin{aligned} \lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{3x-2}{\sqrt{4x^2+5}} &= \lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{(1/|x|)(3x-2)}{(1/|x|)\sqrt{4x^2+5}} \\ &= \lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{(-1/x)(3x-2)}{\sqrt{\frac{1}{x^2}(4x^2+5)}} \\ &= \lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{-3+\frac{2}{x}}{\sqrt{4+\frac{5}{x^2}}} = \frac{-3}{\sqrt{4}} = -\frac{3}{2}. \end{aligned}\]

Por lo tanto, \(f(x)\) se acerca a la asíntota horizontal \(y=\frac{3}{2}\) cuando \(x\rightarrow\infty\) y a la asíntota horizontal \(y=-\frac{3}{2}\) cuando \(x\rightarrow-\infty\) como se muestra en la siguiente gráfica.

Figura 4.6.14 Esta función tiene dos asíntotas horizontales y cruza una de ellas. ♦

Ejercicio de control 4.6.6

Evalúe \(\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\sqrt{3x^2+4}}{x+6}\). ♦

Determinación del comportamiento final para funciones trascendentales

Las seis funciones trigonométricas básicas son periódicas y no se acercan a un límite finito cuando x → ± ∞. Por ejemplo, senx oscila entre 1 y − 1 (Figura 4.6.15). La función tanx tiene un número infinito de asíntotas verticales cuando x → ± ∞; por lo tanto, no se acerca a un límite finito ni se acerca a ± ∞ como x → ± ∞ como se muestra en la Figura 4.6.16.

Tenga presente que para cualquier base b > 0, b ≠ 1, la función y = b^x es una función exponencial con dominio (−∞, ∞) y rango (0, ∞). Si b > 1, y = b^x aumenta en (−∞, ∞). Si 0 < b < 1, y = = b^x disminuye en (−∞, ∞). Para la función exponencial natural f(x) = e^x, e ≈ 2.718 > 1. Por lo tanto, f(x) = e^x está aumentando en (−∞, ∞) y el rango es (0, ∞). La función exponencial f(x) = e^x se aproxima a ∞ cuando x → ∞ y se aproxima a 0 cuando x → −∞ como se muestra en la Tabla 4.6.4 y la Figura 4.6.17.

Tabla 4.6.4  Comportamiento final de la función exponencial natural

Figura 4.6.17  La función exponencial se aproxima a cero cuando x → −∞ y se aproxima a ∞ cuando x → ∞.

Recuerde que la función de logaritmo natural f (x) = ln(x) es la inversa de la función exponencial natural y = e^x. Por lo tanto, el dominio de f (x) = ln(x) es (0, ∞) y el rango es (−∞, ∞). La gráfica de f (x) = ln(x) es el reflejo de la gráfica de y = e^x  sobre la recta y = x. Por lo tanto, ln(x) → −∞ cuando x → 0⁺ y ln(x) → ∞ cuando x → ∞ como se muestra en la Figura 4.6.18 y la Tabla 4.6.5

Tabla 4.6.5  Comportamiento final de la función logaritmo natural

Ejemplo ilustrativo 4.6.7: Determinación del Comportamiento Final para una Función Trascendente

Encuentre los límites cuando \(x \rightarrow \infty\) y \(x \rightarrow -\infty\) para \(f(x) = \frac{2+3e^x}{7-5e^x}\) y describa el comportamiento final de \(f\).

Solución:

Para encontrar el límite cuando \(x \rightarrow \infty\), dividimos el numerador y el denominador por \(e^x\):

\[\begin{aligned} \lim_{x\rightarrow\infty}f(x) &= \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{2+3e^x}{7-5e^x} \\ &= \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\frac{2}{e^x}+3}{\frac{7}{e^x}-5}. \end{aligned}\]

Como se muestra en la Figura 4.6.17, \(e^x \rightarrow \infty\) cuando \(x \rightarrow \infty\). Por lo tanto,

\[\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{2}{e^x} = 0 = \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{7}{e^x}.\]

Concluimos que \(\lim_{x\rightarrow\infty}f(x) = -\frac{3}{5}\), y la gráfica de \(f\) se acerca a la asíntota horizontal \(y = -\frac{3}{5}\) cuando \(x \rightarrow \infty\). Para encontrar el límite cuando \(x \rightarrow -\infty\), use el hecho de que \(e^x \rightarrow 0\) cuando \(x \rightarrow -\infty\) para concluir que \(\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x) = \frac{2}{7}\), y por lo tanto la gráfica de \(f\) se acerca a la asíntota horizontal \(y = \frac{2}{7}\) cuando \(x \rightarrow -\infty\).

Figura 4.6.17 ♦

Ejercicio de control 4.6.7

Encuentre los límites cuando \(x \rightarrow \infty\) y \(x \rightarrow -\infty\) para \(f(x) = \frac{3e^x – 4}{5e^x + 2}\). ♦

Pautas para dibujar la gráfica de una función

Ahora tenemos suficientes herramientas analíticas para dibujar las gráficas de una amplia variedad de funciones algebraicas y trascendentales. Antes de mostrar cómo graficar funciones específicas, veamos una estrategia general para usar al graficar cualquier función.

Dada una función \(f\), use los siguientes pasos para esbozar una gráfica de \(f\):

1. Determine el dominio de la función.
2. Localice las intersecciones con los ejes \(x\) e \(y\).
3. Evalúe \(\lim_{x \to \infty} f(x)\) y \(\lim_{x \to -\infty} f(x)\) para determinar el comportamiento final. Si cualquiera de estos límites es un número finito \(L\), entonces \(y = L\) es una asíntota horizontal. Si cualquiera de estos límites es \(\infty\) o \(-\infty\), determine si \(f\) tiene una asíntota oblicua. Si \(f\) es una función racional tal que \(f(x) = \frac{p(x)}{q(x)}\) donde el grado del numerador es mayor que el grado del denominador, entonces \(f\) se puede escribir como

   \[f(x) = \frac{p(x)}{q(x)} = g(x) + \frac{r(x)}{q(x)},\]

   donde el grado de \(r(x)\) es menor que el grado de \(q(x)\). Los valores de \(f(x)\) se acercan a los valores de \(g(x)\) cuando \(x \to \pm\infty\). Si \(g(x)\) es una función lineal, se conoce como una asíntota oblicua.
4. Determine si \(f\) tiene alguna asíntota vertical.
5. Calcule \(f’\). Encuentre todos los puntos críticos y determine los intervalos donde \(f\) es creciente y donde \(f\) es decreciente. Determine si \(f\) tiene algún extremo local.
6. Calcule \(f″\). Determine los intervalos donde \(f\) es cóncava hacia arriba y donde \(f\) es cóncava hacia abajo. Use esta información para determinar si \(f\) tiene algún punto de inflexión. La segunda derivada también se puede usar como un medio alternativo para determinar o verificar que \(f\) tiene un extremo local en un punto crítico. ♦

      Ahora usemos esta estrategia para graficar varias funciones diferentes. Comenzamos graficando una función polinómica.

Ejemplo ilustrativo 4.6.8: Bosquejando la Gráfica de un Polinomio 

Esboce una gráfica de \(f(x)=(x-1)^{2}(x+2)\).

Solución:

1. Dado que \(f\) es un polinomio, el dominio es el conjunto de todos los números reales.

2. Cuando \(x=0\), \(f(x)=2\). Por lo tanto, la intersección con el eje y es \((0,2)\). Para encontrar las intersecciones con el eje x, necesitamos resolver la ecuación \((x-1)^2(x+2)=0\), lo que nos da las intersecciones con el eje x \((1,0)\) y \((-2,0)\).

3. Necesitamos evaluar el comportamiento final de \(f\). Cuando \(x\rightarrow\infty\), \((x-1)^2\rightarrow\infty\) y \((x+2)\rightarrow\infty\). Por lo tanto, \(\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=\infty\). Cuando \(x\rightarrow-\infty\), \((x-1)^2\rightarrow\infty\) y \((x+2)\rightarrow-\infty\). Por lo tanto, \(\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=-\infty\). Para obtener aún más información sobre el comportamiento final de \(f\), podemos multiplicar los factores de \(f\). Al hacerlo, vemos que

   \[f(x)=(x-1)^2(x+2)=x^3-3x+2.\]

   Dado que el término principal de \(f\) es \(x^3\), concluimos que \(f\) se comporta como \(y=x^3\) cuando \(x\rightarrow\pm\infty\).

4. Dado que \(f\) es una función polinómica, no tiene asíntotas verticales.

5. La primera derivada de \(f\) es

   \[f'(x)=3x^2-3.\]

   Por lo tanto, \(f\) tiene dos puntos críticos: \(x=1, -1\). Divida el intervalo \((-\infty, \infty)\) en los tres intervalos más pequeños: \((-\infty, -1)\), \((-1, 1)\) y \((1, \infty)\). Luego, elija puntos de prueba \(x=-2\), \(x=0\) y \(x=2\) de estos intervalos y evalúe el signo de \(f'(x)\) en cada uno de estos puntos de prueba, como se muestra en la siguiente tabla.

De la tabla, vemos que \(f\) tiene un máximo local en \(x=-1\) y un mínimo local en \(x=1\). Evaluando \(f(x)\) en esos dos puntos, encontramos que el valor máximo local es \(f(-1)=4\) y el valor mínimo local es \(f(1)=0\).

Paso 6. La segunda derivada de \(f\) es

\[f”(x)=6x.\]

La segunda derivada es cero en \(x=0\). Por lo tanto, para determinar la concavidad de \(f\), divida el intervalo \((-\infty,\infty)\) en los intervalos más pequeños \((-\infty,0)\) y \((0,\infty)\), y elija los puntos de prueba \(x=-1\) y \(x=1\) para determinar la concavidad de \(f\) en cada uno de estos intervalos más pequeños, como se muestra en la siguiente tabla.

Observamos que la información en la tabla anterior confirma el hecho, encontrado en el paso 5, de que \(f\) tiene un máximo local en \(x=-1\) y un mínimo local en \(x=1\). Además, la información encontrada en el paso 5—a saber, \(f\) tiene un máximo local en \(x=-1\) y un mínimo local en \(x=1\), y \(f'(x)=0\) en esos puntos—combinado con el hecho de que \(f”\) cambia de signo solo en \(x=0\) confirma los resultados encontrados en el paso 6 sobre la concavidad de \(f\).

Combinando esta información, llegamos a la gráfica de \(f(x)=(x-1)^2(x+2)\) que se muestra en la siguiente gráfica.

♦

Ejercicio de control 4.6.8

Esboce una gráfica de \(f(x)=(x-1)^{3}(x+2)\). ♦

Ejemplo ilustrativo 4.6.9: Bosquejando una Función Racional

Esboce la gráfica de \(f(x)=\frac{x^{2}}{(1-x^{2})}.\)

Solución:

1. La función \(f\) está definida siempre y cuando el denominador no sea cero. Por lo tanto, el dominio es el conjunto de todos los números reales \(x\) excepto \(x=\pm1\).

2. Encuentra las intersecciones. Si \(x=0\), entonces \(f(x)=0\), por lo que 0 es una intersección. Si \(y=0\), entonces \(\frac{x^2}{1-x^2}=0\), lo que implica \(x=0\). Por lo tanto, \((0,0)\) es la única intersección.

3. Evalúa los límites en el infinito. Dado que \(f\) es una función racional, divide el numerador y el denominador por la mayor potencia en el denominador: \(x^2\). Obtenemos

   \[\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{x^2}{1-x^2}=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{1}{\frac{1}{x^2}-1}=-1.\]

   Por lo tanto, \(f\) tiene una asíntota horizontal de \(y=-1\) cuando \(x\rightarrow\infty\) y \(x\rightarrow-\infty\).

4. Para determinar si \(f\) tiene alguna asíntota vertical, primero verifica si el denominador tiene algún cero. Encontramos que el denominador es cero cuando \(x=\pm1\). Para determinar si las rectas \(x=1\) o \(x=-1\) son asíntotas verticales de \(f\), evalúa \(\lim_{x\rightarrow1}f(x)\) y \(\lim_{x\rightarrow-1}f(x)\). Al observar cada límite unilateral cuando \(x\rightarrow1\), vemos que

   \[\lim_{x\rightarrow1^+}\frac{x^2}{1-x^2}=-\infty \quad \text{y} \quad \lim_{x\rightarrow1^-}\frac{x^2}{1-x^2}=\infty.\]

   Además, al observar cada límite unilateral cuando \(x\rightarrow-1\), encontramos que

   \[\lim_{x\rightarrow-1^+}\frac{x^2}{1-x^2}=\infty \quad \text{y} \quad \lim_{x\rightarrow-1^-}\frac{x^2}{1-x^2}=-\infty.\]

De este análisis, concluimos que f tiene un mínimo local en x = 0 pero ningún máximo local.

6. Calcula la segunda derivada:

\( \begin{aligned} f″(x) &= \frac{(1-x^2)^2(2) – 2x(2(1-x^2)(-2x))}{(1-x^2)^4} \\ &= \frac{(1-x^2)[2(1-x^2)+8x^2]}{(1-x^2)^4} \\ &= \frac{2(1-x^2)+8x^2}{(1-x^2)^3} \\ &= \frac{6x^2+2}{(1-x^2)^3}. \end{aligned} \)

Para determinar los intervalos donde \(f\) es cóncava hacia arriba y donde \(f\) es cóncava hacia abajo, primero necesitamos encontrar todos los puntos \(x\) donde \(f”(x)=0\) o \(f”(x)\) es indefinida. Dado que el numerador \(6x^2+2\ne0\) para cualquier \(x\), \(f”(x)\) nunca es cero. Además, \(f”\) no es indefinida para ningún \(x\) en el dominio de \(f\). Sin embargo, como se discutió anteriormente, \(x=\pm1\) no están en el dominio de \(f\). Por lo tanto, para determinar la concavidad de \(f\), dividimos el intervalo \((-\infty,\infty)\) en los tres intervalos más pequeños \((-\infty,-1)\), \((-1,-1)\) y \((1,\infty)\), y elegimos un punto de prueba en cada uno de estos intervalos para evaluar el signo de \(f”(x)\) en cada uno de estos intervalos. Los valores \(x=-2\), \(x=0\) y \(x=2\) son posibles puntos de prueba como se muestra en la siguiente tabla.

Combinando toda esta información, llegamos a la gráfica de f que se muestra a continuación. Observe que, aunque f cambia de concavidad en x = −1 y x = 1, no hay puntos de inflexión en ninguno de estos lugares porque f no es continua en x = −1 o x = 1.

♦

Ejercicio de control 4.6.9

Esboce una gráfica de \[f(x)=\frac{(3x+5)}{(8+4x)}.\] ♦

Ejemplo ilustrativo 4.6.10: Bosquejando una Función Racional con una Asíntota Oblicua

Esboce la gráfica de \(f(x)=\frac{x^{2}}{(x-1)}.\)

Solución:

1. El dominio de \(f\) es el conjunto de todos los números reales \(x\) excepto \(x=1\).

2. Encuentra las intersecciones. Podemos ver que cuando \(x=0\), \(f(x)=0\), entonces \((0,0)\) es la única intersección.

3. Evalúa los límites en el infinito. Dado que el grado del numerador es uno más que el grado del denominador, \(f\) debe tener una asíntota oblicua. Para encontrar la asíntota oblicua, usa la división larga de polinomios para escribir

   \[f(x)=\frac{x^2}{x-1}=x+1+\frac{1}{x-1}.\]

   Dado que \(1/(x-1)\rightarrow0\) cuando \(x\rightarrow\pm\infty\), \(f(x)\) se acerca a la recta \(y=x+1\) cuando \(x\rightarrow\pm\infty\). La recta \(y=x+1\) es una asíntota oblicua para \(f\).

4. Para verificar si hay asíntotas verticales, mira dónde el denominador es cero. Aquí el denominador es cero en \(x=1\). Mirando ambos límites unilaterales cuando \(x\rightarrow1\), encontramos

   \[\lim_{x\rightarrow1^+}\frac{x^2}{x-1}=\infty \quad \text{y} \quad \lim_{x\rightarrow1^-}\frac{x^2}{x-1}=-\infty.\]

   Por lo tanto, \(x=1\) es una asíntota vertical, y hemos determinado el comportamiento de \(f\) cuando \(x\) se acerca a 1 desde la derecha y la izquierda.

5. Calcula la primera derivada:

   \[f'(x)=\frac{(x-1)(2x)-x^2(1)}{(x-1)^2}=\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}.\]

   Tenemos \(f'(x)=0\) cuando \(x^2-2x=x(x-2)=0\). Por lo tanto, \(x=0\) y \(x=2\) son puntos críticos. Dado que \(f\) no está definida en \(x=1\), necesitamos dividir el intervalo \((-\infty,\infty)\) en los intervalos más pequeños \((-\infty,0)\), \((0,1)\), \((1,2)\) y \((2,\infty)\), y elegir un punto de prueba de cada intervalo para evaluar el signo de \(f'(x)\) en cada uno de estos intervalos más pequeños. Por ejemplo, sean \(x=-1\), \(x=\frac{1}{2}\), \(x=\frac{3}{2}\) y \(x=3\) los puntos de prueba como se muestra en la siguiente tabla.

De esta tabla, vemos que \(f\) tiene un máximo local en \(x=0\) y un mínimo local en \(x=2\). El valor de \(f\) en el máximo local es \(f(0)=0\) y el valor de \(f\) en el mínimo local es \(f(2)=4\). Por lo tanto, \((0,0)\) y \((2,4)\) son puntos importantes en la gráfica.

6. Calcula la segunda derivada:

\( \begin{aligned} f”(x) &= \frac{(x-1)^2(2x-2)-(x^2-2x)(2(x-1))}{(x-1)^4} \\ &= \frac{(x-1)[(x-1)(2x-2)-2(x^2-2x)]}{(x-1)^4} \\ &= \frac{(x-1)(2x-2)-2(x^2-2x)}{(x-1)^3} \\ &= \frac{2x^2-4x+2-(2x^2-4x)}{(x-1)^3} \\ &= \frac{2}{(x-1)^3}. \end{aligned} \)

Vemos que \(f”(x)\) nunca es cero o indefinida para \(x\) en el dominio de \(f\). Dado que \(f\) es indefinida en \(x=1\), para verificar la concavidad, simplemente dividimos el intervalo \((-\infty,\infty)\) en los dos intervalos más pequeños \((-\infty,1)\) y \((1,\infty)\), y elegimos un punto de prueba de cada intervalo para evaluar el signo de \(f”(x)\) en cada uno de estos intervalos. Los valores \(x=0\) y \(x=2\) son posibles puntos de prueba como se muestra en la siguiente tabla.

      De la información recopilada, llegamos a la siguiente gráfica para f :

♦

Ejercicio de control 4.6.10

Encuentre la asíntota oblicua para \(f(x)=\frac{(3x^{3}-2x+1)}{(2x^{2}-4)}.\) ♦

Ejemplo ilustrativo 4.6.11: Bosquejando la Gráfica de una Función con un Punto Cúspide

Esboce una gráfica de \(f(x)=(x-1)^{2/3}.\)

Solución:

1. Dado que la función raíz cúbica está definida para todos los números reales \(x\) y \((x-1)^{2/3} = (\sqrt[3]{x-1})^2\), el dominio de \(f\) son todos los números reales.

2. Para encontrar la intersección con el eje y, evalúa \(f(0)\). Dado que \(f(0)=1\), la intersección con el eje y es \((0,1)\). Para encontrar la intersección con el eje x, resuelve \((x-1)^{2/3}=0\). La solución de esta ecuación es \(x=1\), por lo que la intersección con el eje x es \((1,0)\).

3. Dado que \(\lim_{x\to\pm\infty}(x-1)^{2/3}=\infty\), la función continúa creciendo sin límite a medida que \(x\to\infty\) y \(x\to-\infty\).

4. La función no tiene asíntotas verticales.

5. Para determinar dónde \(f\) es creciente o decreciente, calcula \(f’\). Encontramos que

   \(f'(x) = \frac{2}{3}(x-1)^{-1/3} = \frac{2}{3(x-1)^{1/3}}.\)

   Esta función no es cero en ninguna parte, pero no está definida cuando \(x=1\). Por lo tanto, el único punto crítico es \(x=1\). Divide el intervalo \((-\infty,\infty)\) en los intervalos más pequeños \((-\infty,1)\) y \((1,\infty)\), y elige puntos de prueba en cada uno de estos intervalos para determinar el signo de \(f'(x)\) en cada uno de estos intervalos más pequeños. Sean \(x=0\) y \(x=2\) los puntos de prueba como se muestra en la siguiente tabla.

Concluimos que \(f\) tiene un mínimo local en \(x=1\). Evaluando \(f\) en \(x=1\), encontramos que el valor de \(f\) en el mínimo local es cero. Observe que \(f'(1)\) es indefinida, por lo que para determinar el comportamiento de la función en este punto crítico, necesitamos examinar \(\lim_{x\rightarrow1}f'(x)\). Mirando los límites unilaterales, tenemos

\[\lim_{x\rightarrow1^+}\frac{2}{3(x-1)^{1/3}} = \infty \quad \text{y} \quad \lim_{x\rightarrow1^-}\frac{2}{3(x-1)^{1/3}} = -\infty.\]

Por lo tanto, \(f\) tiene una cúspide en \(x=1\).

Paso 6: Para determinar la concavidad, calculamos la segunda derivada de \(f\):

\[f”(x) = -\frac{2}{9}(x-1)^{-4/3} = -\frac{2}{9(x-1)^{4/3}}.\]

Encontramos que \(f”(x)\) está definida para todas las \(x\), pero es indefinida cuando \(x=1\). Por lo tanto, dividimos el intervalo \((-\infty,\infty)\) en los intervalos más pequeños \((-\infty,1)\) y \((1,\infty)\), y elegimos puntos de prueba para evaluar el signo de \(f”(x)\) en cada uno de estos intervalos. Como hicimos antes, sean \(x=0\) y \(x=2\) puntos de prueba como se muestra en la siguiente tabla.

      De esta tabla, concluimos que f es cóncava hacia abajo en todas partes. Combinando toda esta información, llegamos a la siguiente gráfica para f :

♦