La definición precisa de límite

(Límites y continuidad)

LA DEFINICIÓN PRECISA DE LÍMITE: Objetivos de aprendizaje

2.5.1. Describa la definición epsilon-delta de un límite.
2.5.2. Aplique la definición epsilon-delta para encontrar el límite de una función.
2.5.3. Describa las definiciones épsilon-delta de límites unilaterales y límites infinitos.
2.5.4. Use la definición epsilon-delta para probar las leyes de límites.

       A estas alturas, ha avanzado desde la definición muy informal de un límite en la introducción de este capítulo a la comprensión intuitiva de un límite. En este punto, debe tener un sentido intuitivo muy fuerte de lo que significa el límite de una función y cómo puede encontrarlo. En esta sección, convertimos esta idea intuitiva de un límite en una definición formal utilizando un lenguaje matemático preciso. La definición formal de límite es posiblemente una de las definiciones más desafiantes que encontrará al principio de su estudio del cálculo; sin embargo, vale la pena cualquier esfuerzo que haga para reconciliarlo con su noción intuitiva de límite. Comprender esta definición es la clave que abre la puerta a una mejor comprensión del cálculo.

Cuantificación de la cercanía

Antes de establecer la definición formal de límite, debemos introducir algunas ideas preliminares. Recuerde que la distancia entre dos puntos a y b en una recta numérica viene dada por |ab|.

  • La declaración | f (x) − L| < ε puede interpretarse como: La distancia entre f (x) y L es menor que ε.
  • La declaración 0 < |xa| < δ puede interpretarse como: xa y la distancia entre x y a es menor que δ.

También es importante observar las siguientes equivalencias para el valor absoluto:

  • La declaración | f (x) − L| < ε es equivalente a la declaración Lε < f (x) < L + ε.
  • La declaración 0 < |xa| < δ es equivalente a la declaración aδ < x < a + δ y xa.

Con estas aclaraciones, podemos establecer la definición formal épsilon-delta del límite de una función.

DEFINICIÓN 2.5.1. Definición épsilon-delta

Sea  f (x) una función definida para todo xa en un intervalo abierto que contenga a a. Y sea L un número real. Entonces

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si, para cada ε > 0, existe un δ > 0, de tal modo que si 0 <|xa| < δ, entonces |f (x) − L| < ε.

Esta definición puede parecer bastante compleja desde un punto de vista matemático, pero se vuelve más fácil de entender si la desglosamos frase por frase. La declaración en sí implica algo llamado un cuantificador universal (para cada ε > 0), un cuantificador existencial (existe un δ > 0) y, por último, una declaración condicional (si 0 < |xa| < δ, entonces |f (x) − L| < ε). Echemos un vistazo a la Tabla 2.5_1, que desglosa la definición e interpreta cada parte.

Definición Interpretación
1. Para cada ε > 0, 1. Por cada distancia positiva ε desde L,
2. existe un δ > 0, 2. Hay una distancia positiva δ desde a,
3. tal que 3. tal que
4. si 0 < |xa| < δ, entonces | f (x) − L| < ε. 4. si x está más cerca que δ de a y xa, entonces f(x) está más cerca que ε de L.

Tabla 2.5_1 Interpretación de la definición Epsilon-Delta de límite

Podemos obtener un mejor manejo de esta definición si observamos la definición geométricamente. La figura 2.5_1 muestra los posibles valores de δ para varias opciones de ε > 0 para una función dada f (x), un número a y un límite L en a. Tenga en cuenta que al elegir valores más pequeños de ε (la distancia entre la función y el límite), siempre podemos encontrar un δ lo suficientemente pequeño como para que si hemos elegido un valor de x dentro de δ de a, entonces el valor de f (x) está dentro de ε del límite L.

Figura 2.5_1 Estas gráficas muestran los posibles valores de δ, dadas opciones sucesivamente más pequeñas de ε.

El siguiente ilustrativo muestra cómo se puede usar esta definición para probar un enunciado sobre el límite de una función particular en un valor especificado.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 2.5_1. Demostrar una declaración sobre el límite de una función específica

Demuestre que límx → 1(2x + 1) = 3.

Solución:
Sea ε > 0.

La primera parte de la definición comienza con “Para todo ε > 0″. Esto significa que debemos probar que todo lo que sigue es cierto sin importar qué valor positivo de ε se elija. Al indicar “Sea ε > 0″, indicamos nuestra intención de hacerlo.

Elija δ = ε/2.

La definición continúa con “existe un δ > 0”. La frase “existe” en una declaración matemática es siempre una señal para una búsqueda del tesoro. En otras palabras, debemos ir y encontrar δ. Entonces, ¿de dónde vino exactamente δ = ε/2? Hay dos enfoques básicos para rastrear δ. Un método es puramente algebraico y el otro es geométrico.

Empezamos abordando el problema desde un punto de vista algebraico. Como en última instancia queremos |(2x + 1) − 3| < ε, comenzamos por manipular esta expresión: |(2x + 1) − 3| < ε es equivalente a |2x − 2| < ε, que a su vez es equivalente a |2||x − 1| < ε. Por último, esto es equivalente a |x − 1| < ε/2. Por tanto, parecería que δ = ε/2 es apropiado.

También podemos encontrar δ mediante métodos geométricos. La figura 2.5_2 muestra cómo se hace esto.

δ es la longitud de la menor de las dos distancias marcadas en marrón.

Figura 2.5_2 Este gráfico muestra cómo encontramos δ geométricamente.

Suponga 0 <|x − 1| < δ. Cuando se ha elegido δ, nuestro objetivo es mostrar que si 0 <|x − 1| < δ, entonces |(2x + 1) − 3| < ε. Para probar cualquier declaración de la forma “Si esto, entonces aquello”, comenzamos asumiendo “esto” y tratando de obtener “aquello”.

Así,

|(2x + 1) − 3| = |2x − 2|
                     = |2(x − 1)|
                     = |2|⋅|x − 1|
                     = 2⋅|x − 1| < 2⋅δ    (aquí es donde usamos la suposición de que 0 < |x − 1| < δ)
                     = 2⋅ε/2 = ε    (aquí es donde usamos nuestra elección de δ = ε / 2) ◊

Análisis

En esta parte de la demostración, comenzamos con |(2x + 1) − 3| y usamos nuestro supuesto 0 <|x − 1| < δ en una parte clave de la cadena de desigualdades para obtener |(2x + 1) − 3| ser menor que ε. Con la misma facilidad podríamos haber manipulado la desigualdad asumida 0 <|x − 1| < δ para llegar a |(2x + 1) − 3| < ε de la siguiente manera:

0 < |x1| < δ  ⇒ |x1| < δ

                       ⇒   δ < x  1 < δ

                       ⇒  ε/2 < x  1 < ε/2

                       ⇒  ε < 2x 2 < ε

                       ⇒ |2x 2|< ε

                       ⇒ |(2x + 1) 3| < ε.

Por lo tanto, limx → 1(2x + 1) = 3. (Habiendo completado la prueba, declaramos lo que hemos logrado).

Después de eliminar todos los comentarios, aquí hay una versión final de la prueba:

Sea ε > 0.

Elija δ = ε/2.

Suponga 0 <|x − 1| < δ.
Así,

|(2x + 1) − 3| = |2x 2|

                     = |2(x – 1)|
                     = |2||x − 1|
                     = 2|x − 1
|
                     < 2 ·
δ
                     = 2 · ε/2
                     =
ε.

Por lo tanto, limx → 1(2x + 1) = 3.

        La siguiente estrategia de resolución de problemas resume el tipo de prueba que elaboramos en el ejemplo 2.5.1_2 anterior.

ESTRATEGIA DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS: 

DEMOSTRAR QUE limxa f (x) = L PARA UNA FUNCIÓN ESPECÍFICA f (x)

  1. Comencemos la demostración con la siguiente declaración: Sea ε > 0.
  2. A continuación, necesitamos obtener un valor para δ.
  3. Después de haber obtenido este valor, hacemos la siguiente declaración, completando el espacio en blanco con nuestra elección de δ: Elija δ = _______.
  4. La siguiente declaración en la prueba debería ser (en este punto, completamos nuestro valor dado para a):
    Suponga 0 <|xa| < δ.
  5. A continuación, con base en esta suposición, necesitamos demostrar que  f (x) − L| < ε, donde f (x) y L son nuestra función f (x) y nuestro límite L. En algún momento, necesitamos usar 0 <|xa| < δ.
  6. Concluimos nuestra demostración con el enunciado: Por lo tanto, límx → a f (x) = L.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 2.5_2. Demostrar una declaración sobre un límite

Completa la prueba de que limx → −1 (4x + 1) = – 3 completando los espacios en blanco.

Dejar ____.

Elija δ = _____.

Suponga 0 < |x −______| < δ.

Por lo tanto, | ______ − ______ | = ______________________________ ε.

Solución:

Comenzamos llenando los espacios en blanco donde las opciones están especificadas por la definición. Por lo tanto, tenemos:

Sea ε > 0.

Elija δ = _______.
Suponga 0 <|x ( 1)| < δ. (o equivalentemente, 0 <|x + 1| < δ.)
Por lo tanto, |(4x + 1) ( 3)| = |4x + 4| = |4||x + 1| < 4δ _______ ε.
Centrándonos en la línea final de la prueba, vemos que debemos elegir δ = ε/4.
Ahora completamos la redacción final de la prueba:

Sea ε > 0.
Elija δ = ε/4.
Suponga 0 <|x ( 1)| < δ (o equivalentemente, 0 <|x + 1| < δ.)
Por lo tanto, |(4x + 1) (3)| = |4x + 4| = |4||x + 1| < 4δ = 4(ε/ 4) = ε. ◊

EJERCICIO DE CONTROL 2.5_1

Completa la prueba de que limx → 2 (3x − 2) = 4 completando los espacios en blanco.
Dejar _______.

Elija δ = _______.
Suponga 0 <|x −____ | <____.
Así,

| _______ − ____ | = ______________________________ ε.
Por lo tanto, limx → 2 (3x − 2) = 4.

       En los ejemplos ilustrativos 2.5_1 y 2.5_2, las demostraciones fueron bastante sencillas, ya que las funciones con las que estábamos trabajando eran lineales. En el ejemplo 2.5_3, vemos cómo modificar la demostración para acomodar una función no lineal.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 2.5_3. Demostrar una declaración sobre el límite de una función específica (enfoque geométrico)

Demuestre que límx → 2x² = 4.

Solución:

  1. Sea ε > 0. La primera parte de la definición comienza con “Para todo ε > 0”, por lo que debemos demostrar que todo lo que sigue es cierto sin importar qué valor positivo de ε se elija. Al indicar “Sea ε > 0”, indicamos nuestra intención de hacerlo.
  2. Sin pérdida de generalidad, suponga ε ≤ 4. Se plantean dos preguntas: ¿Por qué queremos ε ≤ 4 y por qué está bien hacer esta suposición? En respuesta a la primera pregunta: Más adelante, en el proceso de resolver para δ, descubriremos que δ involucra la cantidad √(4 − ε). En consecuencia, necesitamos ε ≤ 4. En respuesta a la segunda pregunta: Si podemos encontrar δ > 0 que “funcione” para ε ≤ 4, entonces “funcionará” para cualquier ε > 4 también. Tenga en cuenta que, aunque siempre está bien poner un límite superior en ε, nunca está bien poner un límite inferior (que no sea cero) en ε.
  3. Elija δ = min {2 − √(4 − ε), √(4 + ε) −2}. La figura 2.5_3 muestra cómo hicimos esta elección de δ.

 

δ es la menor de las dos distancias marcadas en rojo.

Figura 2.5_3 Esta gráfica muestra cómo encontramos δ geométricamente para un ε dado para la demostración del ejemplo 2.5_3.

     4. Debemos mostrar: Si 0 <|x − 2| < δ, entonces |x² − 4| < ε, por lo que debemos comenzar asumiendo

0 <|x − 2| < δ.

Realmente no necesitamos 0 <|x − 2| (en otras palabras, x ≠ 2) para esta prueba. Dado que 0 <|x − 2| < δ ⇒ |x − 2| < δ, está bien eliminar 0 <|x − 2|.

|x − 2| < δ.

Por lo tanto,

−δ < x − 2 < δ.

Recuerde que δ = min {2 − √(4 − ε), √(4 + ε) −2}. Por tanto, δ ≤ 2 − √ (4 − ε) y en consecuencia −(2 − √ (4 − ε)) ≤ − δ. También usamos δ ≤ √(4 + ε) − 2 aquí. Podríamos preguntarnos en este punto: ¿Por qué sustituimos 2 − √(4 − ε) por δ en el lado izquierdo de la desigualdad y √(4 + ε) − 2 en el lado derecho de la desigualdad? Si miramos la Figura 2.5_3, vemos que 2 − √(4 − ε) corresponde a la distancia a la izquierda de 2 en el eje x y √(4 + ε) − 2 corresponde a la distancia a la derecha. Así,

−(2 − √(4 − ε)) ≤ − δ < x − 2 < δ ≤ √(4 + ε) − 2.

Simplificamos la expresión de la izquierda:

−2 + √(4 − ε) < x − 2 < √(4 + ε) − 2.

Luego, sumamos 2 a todas las partes de la desigualdad:

√(4 − ε) < x < √(4 + ε)

Cuadramos todas las partes de la desigualdad. Está bien hacerlo, ya que todas las partes de esta desigualdad son positivas:

4 − ε < x² < 4 + ε.

Restamos 4 de todas las partes de la desigualdad:

−ε < x² − 4 < ε.

Esto es,

|x² − 4| < ε.

     5. Por lo tanto,

limx → 2x² = 4.

EJERCICIO DE CONTROL 2.5_2

Encuentre una δ correspondiente a ε > 0 para una prueba de que limx → 9x = 3.

       El enfoque geométrico para demostrar que el límite de una función adquiere un valor específico funciona bastante bien para algunas funciones. Además, la comprensión de la definición formal del límite que proporciona este método es invaluable. Sin embargo, también podemos acercarnos a las demostraciones límite desde un punto de vista puramente algebraico. En muchos casos, un enfoque algebraico puede no solo proporcionarnos información adicional sobre la definición, sino que también puede resultar más simple. Además, un enfoque algebraico es la herramienta principal que se utiliza en las pruebas de enunciados sobre límites. Para el ejemplo ilustrativo 2.42 siguiente , adoptamos un enfoque puramente algebraico.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 2.5_4. Demostrar una declaración sobre el límite de una función específica (enfoque algebraico)

Demuestre que límx → −1 (x² − 2x + 3) = 6.

Solución:
Usemos nuestro esquema de la estrategia de resolución de problemas:

  1. Sea ε > 0.
  2. Elija δ = min {1, ε/5}. Esta elección de δ puede parecer extraña a primera vista, pero se obtuvo al observar nuestra última desigualdad deseada: |(x² − 2x + 3) − 6| < ε. Esta desigualdad es equivalente a |x + 1| ⋅ |x − 3| < ε. En este punto, la tentación de elegir simplemente δ = ε/(x − 3) es muy fuerte. Desafortunadamente, nuestra elección de δ debe depender únicamente de ε y de ninguna otra variable. Si podemos reemplazar |x − 3| por un valor numérico, nuestro problema se puede resolver. Este es el lugar donde entra en juego suponer δ ≤ 1. La elección de δ ≤ 1 aquí es arbitraria. Podríamos haber utilizado cualquier otro número positivo con la misma facilidad. En algunas pruebas, puede ser necesario un mayor cuidado en esta elección. Ahora, como δ ≤ 1 y |x + 1| < δ ≤ 1, podemos demostrar que |x − 3| < 5. En consecuencia, |x + 1| ⋅ |x − 3| <| x + 1| ⋅ 5. En este punto nos damos cuenta de que también necesitamos δ ≤ ε/5. Por lo tanto, elegimos δ = min {1, ε/5}.
  3. Suponga 0 <|x + 1| < δ. Luego,

|x + 1| < 1  y  |x + 1| < ε/5.

Dado que |x + 1| < 1, podemos concluir que −1 < x + 1 < 1. Por lo tanto, al restar 4 de todas las partes de la desigualdad, obtenemos −5 < x − 3 < −1. En consecuencia, |x − 3| < 5. Esto nos da

|(x² − 2x + 3) − 6| = |x + 1| ⋅ |x − 3| < (ε/5) ⋅ 5 = ε.
Por lo tanto,
limx−1(x² − 2x + 3) = 6.

EJERCICIO DE CONTROL 2.5_3

Completa la prueba de que limx → 1 x² = 1.

Sea ε > 0; elija δ = min {1, ε/3}; suponga 0 < |x − 1| < δ.
Dado que |x − 1| < 1, podemos concluir que −1 < x − 1 < 1. Por tanto, 1 < x + 1 < 3. Por tanto, |x + 1| < 3.

       Descubrirá que, en general, cuanto más compleja es una función, más probable es que el enfoque algebraico sea el más fácil de aplicar. El enfoque algebraico también es más útil para probar afirmaciones sobre límites.

Probando leyes de límites

       Ahora mostramos cómo usar la definición épsilon-delta de límite para construir una prueba rigurosa de una de las leyes básicas de límites. La desigualdad triangular se usa en un punto clave de la prueba, por lo que primero revisamos esta propiedad clave del valor absoluto.

DEFINICIÓN. La desigualdad triangular

La desigualdad del triángulo establece que si a y b son números reales, entonces |a + b| ≤ |a| + |b|.

Prueba:
Demostramos la siguiente ley de límite:

Si límx → a f (x) = L y límx → a g(x) = M, entonces límx → a ( f (x) + g(x)) = L + M.

Sea ε > 0.
Elija δ₁ > 0 de modo que si 0 <|xa| < δ₁, entonces |f (x) − L| < ε/2.
Elija δ₂ > 0 de modo que si 0 <|xa| < δ₂, entonces |g(x) − M| < ε/2.
Elija δ = min {δ₁, δ₂}.
Suponga 0 < |xa| < δ.

Así,

0 < |xa| < δ₁  y  0 < |xa| < δ₂.
Por lo tanto,

|( f (x) + g(x)) − (L + M)| = |( f (x) − L) + (g(x) − M)| ≤ | f (x) − L| + |g(x) − M| < ε/2 + ε/2 = ε.

Ahora exploramos lo que significa que no exista un límite.

El límite limx → a f (x) no existe si no hay un número real L para el cual limx → a f (x) = L. Por tanto, para todos los números reales L, limx → a f (x) ≠ L. Para entender lo que esto significa, miramos cada parte de la definición de limx → a f (x) = L junto con su opuesto. En la tabla 2.5_2 se ofrece una traducción de la definición.

Definición Opuesto
1. Para cada ε > 0, 1. Existe un ε > 0 tal que
2. existe un δ > 0, de modo que

2. para cada δ > 0,

3. si 0 < |xa| < δ, entonces | f (x) − L| < ε.

3. hay un x que satisface

0 < |xa| < δ  entonces | f (x) − L| ≥ ε.

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