La definición precisa de límite

LA DEFINICIÓN PRECISA DE LÍMITE: Objetivos de aprendizaje

2.5.1. Describa la definición epsilon-delta de un límite.
2.5.2. Aplique la definición epsilon-delta para encontrar el límite de una función.
2.5.3. Describa las definiciones épsilon-delta de límites unilaterales y límites infinitos.
2.5.4. Use la definición epsilon-delta para probar las leyes de límites.

En este momento, ha pasado de la definición muy informal de un límite en la introducción de este capítulo a la comprensión intuitiva de un límite. En este punto, debe tener un sentido intuitivo muy fuerte de lo que significa el límite de una función y cómo puede encontrarla. En esta sección, convertimos esta idea intuitiva de un límite en una definición formal utilizando un lenguaje matemático preciso. La definición formal de un límite es posiblemente una de las definiciones más desafiantes que encontrará al principio de su estudio de cálculo; sin embargo, vale la pena cualquier esfuerzo que haga para conciliarlo con su noción intuitiva de límite. Comprender esta definición es la clave que abre la puerta a una mejor comprensión del cálculo.

Cuantificación de la cercanía

Antes de establecer la definición formal de límite, debemos introducir algunas ideas preliminares. Recuerde que la distancia entre dos puntos a y b en una recta numérica viene dada por |ab|.

  • La declaración |f (x) − L| < ε puede interpretarse como: La distancia entre f (x) y L es menor que ε.
  • La declaración 0 <|xa| < δ puede interpretarse como: xa y la distancia entre x y a es menor que δ.

También es importante observar las siguientes equivalencias para el valor absoluto:

  • La declaración |f (x) − L| < ε es equivalente a la declaración Lε < f (x) < L + ε.
  • La declaración 0 <|xa| < δ es equivalente a la declaración aδ < x < a + δ y xa.

Con estas aclaraciones, podemos establecer la definición formal de épsilon-delta del límite de una función.

DEFINICIÓN 2.5.1. Definición épsilon-delta

Sea  f (x) una función definida para todo xa en un intervalo abierto que contenga a a. Y sea L un número real. Entonces

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si, para cada ε > 0, existe un δ > 0, de tal modo que si 0 <|xa| < δ, entonces |f (x) − L| < ε.

Esta definición puede parecer bastante compleja desde un punto de vista matemático, pero se vuelve más fácil de entender si la desglosamos frase por frase. La declaración en sí implica algo llamado un cuantificador universal (para cada ε > 0), un cuantificador existencial (existe un δ > 0) y, por último, una declaración condicional (si 0 <|xa| < δ, entonces |f (x) − L| < ε). Echemos un vistazo a la Tabla 2.5.1, que desglosa la definición e interpreta cada parte.

Definición Interpretación
1. Para cada ε > 0, 1. Por cada distancia positiva ε desde L,
2. existe un δ > 0, 2. Hay una distancia positiva δ desde a,
3. tal que 3. tal que
4. si 0 <|xa| < δ, entonces |f (x) − L| < ε. 4. si x está más cerca que δ de a y xa, entonces f (x) está más cerca que ε de L.

Tabla 2.5.1 Interpretación de la definición Epsilon-Delta de límite

Podemos obtener un mejor manejo de esta definición si observamos la definición geométricamente. La figura 2.5_1 muestra los posibles valores de δ para varias opciones de ε > 0 para una función dada f (x), un número a y un límite L en a. Tenga en cuenta que al elegir valores más pequeños de ε (la distancia entre la función y el límite), siempre podemos encontrar un δ lo suficientemente pequeño como para que si hemos elegido un valor de x dentro de δ de a, entonces el valor de f (x) está dentro de ε del límite L.

Figura 2.5_1 Estas gráficas muestran los posibles valores de δ, dadas opciones sucesivamente más pequeñas de ε.

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