Pruebas de la razón y de la raíz

Pruebas de la razón y de la raíz: Objetivos de aprendizaje

7.6.1. Use la prueba de razón para determinar la convergencia absoluta de una serie.
7.6.2. Use la prueba raíz para determinar la convergencia absoluta de una serie.
7.6.3. Describa una estrategia para probar la convergencia de una serie dada.

En esta sección, mostramos las últimas dos pruebas de convergencia de series: la prueba de la razón y la prueba de raíz. Estas pruebas son particularmente buenas porque no requieren que encontremos una serie para comparar. La prueba de la razón será especialmente útil en la discusión de series de potencia en el próximo capítulo.

A lo largo de este capítulo, hemos visto que ninguna prueba de convergencia funciona para todas las series. Por lo tanto, al final de esta sección, discutimos una estrategia para elegir qué prueba de convergencia usar para una serie dada.

Prueba de la razón

Considere una serie

De nuestra discusión y ejemplos anteriores, sabemos que limn → ∞ an = 0 no es una condición suficiente para que la serie converja. No solo necesitamos un an→ 0, sino que necesitamos un an→ 0 lo suficientemente rápido. Por ejemplo, considere la serie

y la serie

Sabemos que 1/n → 0 y 1/n² → 0. Sin embargo, solo la serie

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-574.png

converge.

Las serie

diverge porque los términos en la secuencia {1/n} no se acercan a cero lo suficientemente rápido cuando n → ∞. Aquí presentamos la prueba de la razón, que proporciona una forma de medir qué tan rápido los términos de una serie se acercan a cero.

TEOREMA 7.6_1. Prueba de la razón

Sea

una serie dada con términos distintos de cero. Y sea

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-575.png

i.    Si 0 ≤ ρ < 1, entonces la serie dada converge absolutamente.

ii.   Si ρ > 1 o ρ = ∞, entonces la serie dada diverge.

iii.  Si ρ = 1, la prueba no proporciona ninguna información.

Prueba

SeaEsta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-576.pnguna serie con términos distintos de cero.

Comenzamos con la prueba de la parte i. En este caso,Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-577.pngEn el intervalo 0 ≤ ρ <1, existe un R tal que 0 ≤ ρ < R < 1. Sea ε = Rρ > 0. Por la definición de límite de una sucesión, existe algún número entero N tal queEsta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-581.pngPor lo tanto,Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-583.pngy por lo tanto,Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-580.pngPara R < 1, la serie geométricaEsta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-584.pngconverge Dadas las desigualdades anteriores, podemos aplicar la prueba de comparación y concluir que la serieEsta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-585.pngconverge. Por lo tanto, desdeEsta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-586.pngdóndeEsta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-587.pnges una suma finita yEsta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-588.pngconverge, concluimos queEsta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-589.pngconverge.

Para la parte ii.Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-590.pngPara ρ > 1, existe un R tal que ρ > R > 1. Sea ε = ρR > 0. Por la definición del límite de una secuencia, existe un número entero N tal queEsta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-592.pngPor lo tanto,Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-593.pngy por lo tanto,Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-594.pngPara R > 1, la serie geométricaEsta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-595.pngdiverge Aplicando la prueba de comparación, concluimos que la serieEsta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-596.pngdiverge, y por lo tanto la serieEsta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-597.pngdiverge.

Para la parte iii. mostramos que la prueba no proporciona ninguna información si ρ = 1 al considerar la serie pEsta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-598.pngPara cualquier número real p,Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-599.pngSin embargo, sabemos que si p ≤ 1, la serie pEsta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-600.pngdiverge, mientras queEsta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-601.pngconverge si p > 1.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 7.6_1. Usando la prueba de la razón

Para cada una de las siguientes series, use la prueba de la razón para determinar si la serie converge o diverge.

Solución:
a. De la prueba de razón, podemos ver que

Ya que (n + 1)! = (n + 1) ⋅n !,

Para ρ < 1, la serie converge.

b. Podemos ver que

Para ρ > 1, la serie diverge.

c. Ya que

Observamos que

Para ρ < 1, la serie converge. ◊

Pages: 1 2

Deja un comentario

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *