Pruebas de la razón y de la raíz

7.6 Pruebas de la razón y de la raíz

Objetivos de aprendizaje:

7.6.1. Usar la prueba de razón para determinar la convergencia absoluta de una serie.
7.6.2. Usar la prueba raíz para determinar la convergencia absoluta de una serie.
7.6.3. Describir una estrategia para probar la convergencia de una serie dada.

En esta sección, mostramos las últimas dos pruebas de convergencia de series: la prueba de la razón y la prueba de raíz. Estas pruebas son particularmente buenas porque no requieren que encontremos una serie para comparar. La prueba de la razón será especialmente útil en la discusión de series de potencia en el próximo capítulo.

A lo largo de este capítulo, hemos visto que ninguna prueba de convergencia funciona para todas las series. Por lo tanto, al final de esta sección, discutimos una estrategia para elegir qué prueba de convergencia usar para una serie dada.

Prueba de la razón

Considere una serie

De nuestra discusión y ejemplos anteriores, sabemos que lim_{n → ∞} a_n = 0 no es una condición suficiente para que la serie converja. No solo necesitamos un a_n→ 0, sino que necesitamos un a_n→ 0 lo suficientemente rápido. Por ejemplo, considere la serie

y la serie

Sabemos que 1/n → 0 y 1/n² → 0. Sin embargo, solo la serie

converge.

Las serie

diverge porque los términos en la secuencia {1/n} no se acercan a cero lo suficientemente rápido cuando n → ∞. Aquí presentamos la prueba de la razón, que proporciona una forma de medir qué tan rápido los términos de una serie se acercan a cero.

TEOREMA 7.6_1. Prueba de la razón

Sea

una serie dada con términos distintos de cero. Y sea

i. Si 0 ≤ ρ < 1, entonces la serie dada converge absolutamente.

ii. Si ρ > 1 o ρ = ∞, entonces la serie dada diverge.

iii. Si ρ = 1, la prueba no proporciona ninguna información. ♦

Comprobación:

Seauna serie con términos distintos de cero.

Comenzamos con la prueba de la parte i. En este caso,En el intervalo 0 ≤ ρ <1, existe un R tal que 0 ≤ ρ < R < 1. Sea ε = R − ρ > 0. Por la definición de límite de una sucesión, existe algún número entero N tal quePor lo tanto,y por lo tanto,Para R < 1, la serie geométricaconverge Dadas las desigualdades anteriores, podemos aplicar la prueba de comparación y concluir que la serieconverge. Por lo tanto, desdedóndees una suma finita yconverge, concluimos queconverge.

Para la parte ii.Para ρ > 1, existe un R tal que ρ > R > 1. Sea ε = ρ − R > 0. Por la definición del límite de una secuencia, existe un número entero N tal quePor lo tanto,y por lo tanto,Para R > 1, la serie geométricadiverge Aplicando la prueba de comparación, concluimos que la seriediverge, y por lo tanto la seriediverge.

Para la parte iii. mostramos que la prueba no proporciona ninguna información si ρ = 1 al considerar la serie pPara cualquier número real p,Sin embargo, sabemos que si p ≤ 1, la serie pdiverge, mientras queconverge si p > 1. ♦