Aproximaciones lineales y diferenciales

Objetivos de aprendizaje

4.2.1 Describir la aproximación lineal a una función en un punto.
4.2.2 Escribir la linealización de una función dada.
4.2.3 Dibujar una gráfica que ilustre el uso de diferenciales para aproximar el cambio en una cantidad.
4.2.4 Calcular el error relativo y el error porcentual al usar una aproximación diferencial.

Acabamos de ver cómo las derivadas nos permiten comparar cantidades relacionadas que están cambiando con el tiempo. En esta sección, examinamos otra aplicación de las derivadas: la capacidad de aproximar funciones localmente mediante funciones lineales. Las funciones lineales son las funciones más fáciles con las que trabajar, por lo que proporcionan una herramienta útil para aproximar valores de funciones. Además, las ideas presentadas en esta sección se generalizan más adelante en el texto cuando estudiemos cómo aproximar funciones mediante polinomios y mediante series de potencias.

Aproximación lineal de una función en un punto

Considere una función f que es diferenciable en un punto x = a. Tenga presente que la recta tangente a la gráfica de f en a está dada por la ecuación

y = f (a) + f ‘(a) (xa).

Por ejemplo, considere la función f (x) = 1/x en a = 2. Como f es diferenciable en x = 2 y f ‘(x) = – 1/x2, vemos que f ‘ (2) = – 1/4. Por lo tanto, la recta tangente a la gráfica de f en a = 2 viene dada por la ecuación

La figura 4.1 (a) muestra una gráfica de f (x) = 1/x junto con la línea tangente a f en x = 2. Tenga en cuenta que para x cerca de 2, la gráfica de la recta tangente está cerca de la gráfica de f. Como resultado, podemos usar la ecuación de la recta tangente para aproximar f (x) para x cerca de 2. Por ejemplo, si x = 2.1, el valor y del punto correspondiente en la recta tangente es

El valor real de f (2.1) viene dado por

Figura 4.1 (a) La recta tangente a f (x) = 1 / x en x = 2 proporciona una buena aproximación a f para x cerca de 2. (b) En x = 2.1, el valor de y en la recta tangente a f (x) = 1 / x es 0.475. El valor real de f (2.1) es 1 / 2.1, que es aproximadamente 0.47619.

Por lo tanto, la recta tangente nos da una aproximación bastante buena de f (2.1) (Figura 4.1 (b)). Sin embargo, tenga en cuenta que para valores de x lejos de 2, la ecuación de la recta tangente no nos da una buena aproximación. Por ejemplo, si x = 10, el valor y del punto correspondiente en la recta tangente es

mientras que el valor real de la función en x = 10 es f (10) = 0.1.

En general, para una función diferenciable f, la ecuación de la recta tangente a f en x = a puede usarse para aproximar f (x) para x cerca de a. Por lo tanto, podemos escribir

f (x) ≈ f (a) + f ‘(a) (xa),

para x cerca de a.

Definición. Aproximación lineal de una función en un punto

Llamamos a la función lineal

L (x) = f (a) + f ‘(a) (xa) (4.1)

la aproximación lineal, o aproximación de recta tangente, de f en x = a. Esta función L también se conoce como la linealización de f en x = a.

Aproximaciones lineales para estimar raíces y potencias

Las aproximaciones lineales pueden usarse para estimar raíces y potencias. La aproximación lineal para f (x) = (1 + x)n en x = 0, puede usarse para estimar raíces y potencias para números reales cercanos a 1. La misma idea puede extenderse a un función de la forma f (x) = (m + x) n para estimar raíces y potencias cerca de un número diferente m.

Ejercicios resueltos

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