El teorema del valor medio

Objetivos de aprendizaje

4.4.1. Explicar el significado del teorema de Rolle.
4.4.2. Describir la importancia del teorema del valor medio.
4.4.3. Indicar tres consecuencias importantes del teorema del valor medio.

El teorema del valor medio es uno de los teoremas más importantes en el cálculo. Vemos algunas de sus implicaciones al final de esta sección. Primero, comencemos con un caso especial del teorema del valor medio, llamado teorema de Rolle.

El teorema de Rolle

Informalmente, el teorema de Rolle establece que si las salidas de una función diferenciable f son iguales en los puntos finales de un intervalo, entonces debe haber un punto interior c donde f ‘(c) = 0. La figura 4.11 ilustra este teorema.

Figura 4.11  Si una función diferenciable f satisface f (a) = f (b), entonces su derivada debe ser cero en algún punto entre a y b.

Teorema 4.4.  El teorema de Rolle

Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a, b] y diferenciable en el intervalo abierto (a, b) de modo que f (a) = f (b). Entonces existe al menos un c∈ (a, b) tal que f ‘(c) = 0.


Prueba

Sea k = f (a) = f (b). Consideramos tres casos:

  1. f (x) = k para todo x ∈ (a, b).
  2. Existe x ∈ (a, b) tal que f (x ) > k.
  3. Existe x ∈ (a, b) tal que f (x) < k.

Caso 1: Si f (x) = k para todo x ∈ (a, b), entonces f ‘(x) = 0 para todo x ∈ (a, b).

Caso 2: Dado que f es una función continua sobre el intervalo cerrado y acotado [a, b], según el teorema del valor extremo, tiene un máximo absoluto. Además, dado que hay un punto x ∈ (a, b) tal que f (x) > k, el máximo absoluto es mayor que k. Por lo tanto, el máximo absoluto no se produce en ninguno de los puntos finales. Como resultado, el máximo absoluto debe ocurrir en un punto interior c ∈ (a, b). Debido a que f tiene un máximo en un punto interior c, y f es diferenciable en c, por el teorema de Fermat, f ‘(c) = 0.

Caso 3: El caso cuando existe un punto x ∈ (a, b) tal que f (x) < k es análogo al caso 2, con el máximo reemplazado por el mínimo.


Un punto importante sobre el teorema de Rolle es que la diferenciabilidad de la función f es crítica. Si f no es diferenciable, incluso en un solo punto, el resultado puede no ser válido. Por ejemplo, la función f (x) = | x | − 1 es continua sobre [−1, 1] y f (−1) = 0 = f (1), pero f ‘(c) ≠ 0 para cualquier c ∈ (−1,1) como se muestra en la siguiente figura.

Figura 4.12  Dado que f (x) = | x | − 1 no es diferenciable en x = 0, las condiciones del teorema de Rolle no se cumplen. De hecho, la conclusión no es válida aquí; no hay c ∈ (−1,1) tal que f ‘(c) = 0.

El teorema del valor medio y su significado

El teorema de Rolle es un caso especial del teorema del valor medio. En el teorema de Rolle, consideramos funciones diferenciables f definidas en un intervalo cerrado [a, b] con f (a) = f (b). El teorema del valor medio generaliza el teorema de Rolle al considerar funciones que no necesariamente tienen el mismo valor en los puntos finales. En consecuencia, podemos ver el Teorema del valor medio como una versión “inclinada” del teorema de Rolle (Figura 4.13). El teorema del valor medio establece que si f es continua durante el intervalo cerrado [a, b] y diferenciable durante el intervalo abierto (a, b), entonces existe un punto c ∈ (a, b) tal que la recta tangente a la gráfica de f en c es paralela a la recta secante que conecta (a, f (a)) y (b, f (b)).

Figura 4.13  El teorema del valor medio dice que para una función que cumple sus condiciones, en algún punto la recta tangente tiene la misma pendiente que la recta secante entre los extremos. Para esta función, hay dos valores c1 y c2, de modo que la recta tangente a f en c1 y c2 tiene la misma pendiente que la recta secante.

Teorema 4.5. Teorema del valor medio

Sea f continua durante el intervalo cerrado [a, b] y diferenciable durante el intervalo abierto (a, b). Entonces, existe al menos un punto c ∈ (a, b) tal que


Prueba

La prueba se desprende del teorema de Rolle al introducir una función apropiada que satisface los criterios del teorema de Rolle. Considere la recta que conecta (a, f (a)) y (b, f (b)). Como la pendiente de esa recta es

y la recta pasa por el punto (a, f (a)), la ecuación de esa recta se puede escribir como

Supongamos que g (x) denota la diferencia vertical entre el punto (x, f (x)) y el punto (x, y) en esa recta. Por lo tanto,

Figura 4.14  El valor g (x) es la diferencia vertical entre el punto (x, f (x)) y el punto (x, y) en la recta secante que conecta (a, f (a)) y (b, f ( b)).

Como la gráfica de f interseca la recta secante cuando x = a y x = b, vemos que g (a) = 0 = g (b). Dado que f es una función diferenciable sobre (a, b), g también es una función diferenciable sobre (a, b). Además, dado que f es continua sobre [a, b], g también es continua sobre [a, b]. Por lo tanto, g satisface los criterios del teorema de Rolle. En consecuencia, existe un punto c ∈ (a, b) tal que g ‘(c) = 0. Ya que

vemos que

Como g ‘(c) = 0, concluimos que


Una aplicación que ayuda a ilustrar el teorema del valor medio implica la velocidad. Por ejemplo, supongamos que conducimos un automóvil durante 1 h por una carretera recta con una velocidad promedio de 45 mph. Supongamos que s (t) y v (t) denotan la posición y la velocidad del automóvil, respectivamente, para 0 ≤ t ≤ 1 h. Suponiendo que la función de posición s (t) es diferenciable, podemos aplicar el teorema del valor medio para concluir que, en algún momento c ∈ (0,1), la velocidad del automóvil era exactamente

Corolarios del teorema del valor medio

Veamos ahora tres corolarios del teorema del valor medio. Estos resultados tienen consecuencias importantes, que usaremos en las próximas secciones.

En este punto, sabemos que la derivada de cualquier función constante es cero. El teorema del valor medio nos permite concluir que lo contrario también es cierto. En particular, si f ′ (x) = 0 para todas las x en algún intervalo I, entonces f (x) es constante durante ese intervalo. Este resultado puede parecer intuitivamente obvio, pero tiene implicaciones importantes que no son obvias, y lo discutiremos en breve.

Teorema 4.6. Corolario 1: Funciones con una derivada de cero

Sea f diferenciable en un intervalo I. Si f ′ (x) = 0 para todo xI, entonces f (x) = constante para todo xI.


Prueba

Dado que f es diferenciable sobre I, f debe ser continua sobre I. Suponga que f (x) no es constante para todas las x en I. Entonces existen a, b ∈ I, donde ab y f (a) ≠ f (b ) Elija la notación para que a < b. Por lo tanto,

Dado que f es una función diferenciable, según el teorema del valor medio, existe c ∈ (a, b) tal que

Por lo tanto, existe cI tal que f ′ (c) ≠ 0, lo que contradice la suposición de que f ′ (x) = 0 para todo xI.


Del Corolario 1: Funciones con una derivada de cero, se deduce que si dos funciones tienen la misma derivada, difieren en, como máximo, una constante.

Teorema 4.7.  Corolario 2: Teorema de la diferencia constante

Si f y g son diferenciables en un intervalo I y f ′ (x) = g ′ (x) para todo xI, entonces f (x) = g (x) + C para alguna constante C.


Prueba

Sea h (x) = f (x) − g (x). Entonces, h ′ (x) = f ′ (x) − g ′ (x) = 0 para todo xI. Según el Corolario 1, hay una constante C tal que h (x) = C para todo xI. Por lo tanto, f (x) = g (x) + C para todo xI.


El tercer corolario del teorema del valor medio analiza cuándo una función está creciendo y cuándo está decreciendo. Recuerde que una función f es creciente sobre I si f (x1) < f (x2) siempre que x1 < x2, mientras que f decrece sobre I si f (x1) > f (x2) cuando x1 < x2. Usando el teorema del valor medio, podemos mostrar que si la derivada de una función es positiva, entonces la función está aumentando; Si la derivada es negativa, entonces la función está disminuyendo (Figura 4.15). Hacemos uso de este hecho en la siguiente sección, donde mostramos cómo usar la derivada de una función para localizar los valores máximos y mínimos locales de la función, y cómo determinar la forma de la gráfica.

Este hecho es importante porque significa que para una función dada f, si existe una función F tal que F ‘(x) = f (x); entonces, las únicas otras funciones que tienen una derivada igual a f son F (x) + C para alguna constante C. Discutiremos este resultado con más detalle más adelante en el capítulo.

Figura 4.15  Si una función tiene una derivada positiva en algún intervalo I, entonces la función aumenta en ese intervalo I; Si la derivada es negativa durante algún intervalo I, entonces la función disminuye durante ese intervalo I.

Teorema 4.8.  Corolario 3: Funciones crecientes y decrecientes

Sea f continua durante el intervalo cerrado [a, b] y diferenciable durante el intervalo abierto (a, b).

(i).   Si f ′ (x) > 0 para todo x ∈ (a, b), entonces f es una función creciente sobre [a, b].

(ii).  Si f ′ (x) < 0 para todo x ∈ (a, b), entonces f es una función decreciente sobre [a, b].


Prueba

Nosotros demostraremos (i); la prueba de (ii) es similar. Suponga que f no es una función creciente en I. Entonces existen a y b en I de modo que a < b, pero f (a) ≥ f (b). Dado que f es una función diferenciable sobre I, por el teorema del valor medio existe c ∈ (a, b) tal que

Como f (a) ≥ f (b), sabemos que f (b) − f (a) ≤ 0. Además, a < b nos dice que ba > 0. Concluimos que


Ejercicios resueltos

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