9.3.2 EL MÉTODO DE EULER MEJORADO Y MÉTODOS RELACIONADOS

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9.3.2. El método de Euler mejorado y métodos relacionados

En la Sección 9.3.1 vimos que el error de truncamiento global del método de Euler es O(h), lo que parecería implicar que podemos lograr resultados arbitrariamente precisos con el método de Euler simplemente eligiendo un tamaño de paso lo suficientemente pequeño. Sin embargo, esto no es una buena idea, por dos razones. Primero, después de cierto punto, la reducción del tamaño del paso aumentará los errores de redondeo hasta el punto en que la precisión se deteriorará en lugar de mejorar. La segunda y más importante razón es que en la mayoría de las aplicaciones de métodos numéricos a un problema de valor inicial

y′ = f(x, y), y(x₀) = y₀, (9.3.2.1)

la parte costosa del cálculo es la evaluación de f. Por lo tanto, queremos métodos que den buenos resultados para un número determinado de tales evaluaciones. Esto es lo que nos motiva a buscar mejores métodos numéricos que el de Euler.

Para aclarar este punto, supongamos que queremos aproximar el valor de e aplicando el método de Euler al problema de valor inicial

y′ = y, y(0) = 1, (con solución y = e^x)

en [0, 1], con h = 1/12, 1/24 y 1/48, respectivamente. Dado que cada paso del método de Euler requiere una evaluación de f, el número de evaluaciones de f en cada uno de estos intentos es n = 12, 24 y 48, respectivamente. En cada caso aceptamos y_n como una aproximación a e. La segunda columna de la Tabla 9.3.2.1 muestra los resultados. La primera columna de la tabla indica el número de evaluaciones de f requeridas para obtener la aproximación, y la última columna contiene el valor de e redondeado a diez cifras significativas.

**Tabla 9.3.2.1**. Aproximaciones a e obtenidas por tres métodos numéricos

En esta sección estudiaremos el método de Euler mejorado, que requiere dos evaluaciones de f en cada paso. Hemos usado este método con h = 1/6, 1/12 y 1/24. El número requerido de evaluaciones de f fueron 12, 24 y 48, como en las tres aplicaciones del método de Euler; sin embargo, puede ver en la tercera columna de la tabla 9.3.2.1 que la aproximación a e obtenida por el método de Euler mejorado con solo 12 evaluaciones de f es mejor que la aproximación obtenida por el método de Euler con 48 evaluaciones.

En la Sección 9.3.3 estudiaremos el método de Runge-Kutta, que requiere cuatro evaluaciones de f en cada paso. Hemos usado este método con h = 1/3, 1/6 y 1/12. El número requerido de evaluaciones de f fue nuevamente 12, 24 y 48, como en las tres aplicaciones del método de Euler y el método de Euler mejorado; sin embargo, puede ver en la cuarta columna de la tabla 9.3.2.1 que la aproximación a e obtenida por el método de Runge-Kutta con solo 12 evaluaciones de f es mejor que la aproximación obtenida por el método de Euler mejorado con 48 evaluaciones.

Método de Euler mejorado

El método de Euler mejorado para resolver el problema de valor inicial (9.3.2.1) se basa en aproximar la curva integral de (9.3.2.1) en (x_i, y(x_i)) por la recta que pasa por (x_i, y(x_i)) con pendiente

es decir, m_i es el promedio de las pendientes de las tangentes a la curva integral en los extremos de [x_i, x_i₊₁]. La ecuación de la recta de aproximación es por lo tanto

(9.3.2.2)

Haciendo x = x_i₊₁ = xi + h en (9.3.2.2) se obtiene

(9.3.2.3)

como una aproximación a y(x_i₊₁). Como en nuestra derivación del método de Euler, reemplazamos y(x_i) (desconocido si i > 0) por su valor aproximado y_i; entonces (9.3.2.3) se convierte en

Sin embargo, esto seguirá sin funcionar porque no conocemos y(x_i₊₁), que aparece a la derecha. Superamos esto reemplazando y(x_i₊₁) por y_i + hf(x_i, y_i), el valor que el método de Euler le asignaría a y_i₊₁. Por lo tanto, el método de Euler mejorado comienza con el valor conocido y(x₀) = y₀ y calcula y₁, y₂, . . . , y_n sucesivamente con la fórmula

(9.3.2.4)

El cálculo indicado aquí se puede organizar convenientemente de la siguiente manera: dado y_i, calcular

El método de Euler mejorado requiere dos evaluaciones de f(x, y) por paso, mientras que el método de Euler requiere solo una. Sin embargo, veremos al final de esta sección que si f satisface las suposiciones apropiadas, el error de truncamiento local con el método de Euler mejorado es O(h³), en lugar de O(h²) como con el método de Euler. Por lo tanto, el error de truncamiento global con el método de Euler mejorado es O(h²); sin embargo, no probaremos esto.

Observamos que la magnitud del error de truncamiento local en el método de Euler mejorado y otros métodos discutidos en esta sección está determinada por la tercera derivada y′′′ de la solución del problema de valor inicial. Por lo tanto, el error de truncamiento local será mayor donde |y′′′| es grande, o menor donde |y′′′| es pequeño.

El siguiente ejemplo, que trata del problema de valor inicial considerado en el Ejemplo 9.3.1.1, ilustra el procedimiento de cálculo indicado en el método de Euler mejorado.

Ejemplo ilustrativo 9.3.2.1

Use el método de Euler mejorado con h = 0.1 para encontrar valores aproximados de la solución del problema de valor inicial

y′ + 2y = x³e^−2x, y(0) = 1 (9.3.2.5)

en x = 0,1, 0,2, 0,3.

Solución:

Como en el ejemplo 9.3.1.1, reescribimos (9.3.2.5) como

y′ = −2y + x³e^−2x, y(0) = 1

que es de la forma (9.3.2.1), con

f(x, y) = −2y + x³e^−2x, x₀ = 0 y y₀ = 1.

El método de Euler mejorado produce

Ejemplo ilustrativo 9.3.2.2

La tabla 9.3.2.2 muestra los resultados del uso del método de Euler mejorado con tamaños de paso h = 0,1 y h = 0,05 para encontrar valores aproximados de la solución del problema de valor inicial

y′ + 2y = x³e^−2x, y(0) = 1

en x = 0, 0.1, 0.2, 0.3, . . . , 1.0. A modo de comparación, también muestra los valores aproximados correspondientes obtenidos con el método de Euler en el Ejemplo 9.3.1.2, y los valores de la solución exacta

Los resultados obtenidos por el método de Euler mejorado con h = 0,1 son mejores que los obtenidos por el método de Euler con h = 0,05. ♦

Ejemplo ilustrativo 9.3.2.3

La tabla 9.3.2.3 muestra resultados análogos para el problema de valor inicial no lineal

y′ = −2y² + xy + x², y(0) = 1.

Aplicamos el método de Euler a este problema en el Ejemplo 9.3.1.3.

Ejemplo ilustrativo 9.3.2.4

Use tamaños de paso h = 0.2, h = 0.1 y h = 0.05 para encontrar valores aproximados de la solución de

y′ − 2xy = 1, y(0) = 3 (9.3.2.6)

en x = 0, 0,2, 0,4, 0,6, . . . , 2.0 por (a) el método de Euler mejorado; (b) el método semilineal de Euler mejorado. (Usamos el método de Euler y el método semilineal de Euler en este problema en el Ejemplo 9.3.1.4.)

Solución:

(a) Reescribiendo (9.3.2.6) como

y′ = 1 + 2xy, y(0) = 3

y aplicando el método de Euler mejorado con f(x, y) = 1 + 2xy se obtienen los resultados que se muestran en la Tabla 9.3.2.4.

(b) Dado que es una solución de la ecuación complementaria y′ − 2xy = 0, podemos aplicar el método semilineal de Euler mejorado a (9.3.2.6), con

Los resultados enumerados en la Tabla 9.3.2.5 son claramente mejores que los obtenidos por el método de Euler mejorado.

**Tabla 9.3.2.5**. Solución numérica de y′ − 2xy = 1, y(0) = 3, por el método semilineal mejorado de Euler

Una familia de métodos con error de truncamiento local O(h³)

Ahora derivaremos una clase de métodos con error de truncamiento local O(h³) para resolver y′ = f(x, y), y(x₀) = y₀, (9.3.2.1). Para simplificar, asumimos que f, f_x, f_y, f_xx, f_yy y f_xy son continuas y acotadas para todo (x, y). Esto implica que si y es la solución de (9.3.2.1), entonces y″ e y′′′ están acotados (Ejercicio 31).

Comenzamos aproximando la curva integral de (9.3.2.1) en (x_i, y(x_i)) por la recta que pasa por (x_i, y(x_i)) con pendiente

m_i = σy′(x_i) + ρy′(x_i + θh),

donde σ, ρ y θ son constantes que pronto especificaremos; sin embargo, insistimos desde el principio en que 0 < θ ≤ 1, de modo que

x_i < x_i + θh ≤ x_i₊₁.

La ecuación de la recta de aproximación es

(9.3.2.7)

Al establecer x = x_i₊₁ = x_i_{+ h} en (9.3.2.7) se obtiene

como una aproximación a y(x_i₊₁).

Para determinar σ, ρ y θ de modo que el error

(9.3.2.8)

en esta aproximación es O(h³), comenzamos recordando del teorema de Taylor que

donde está en (xi, x_i₊₁). Dado que y′″ está acotado, esto implica que

Comparando esto con (9.3.2.8) se muestra que E_i = O(h³) si

(9.3.2.9)

Sin embargo, la aplicación del teorema de Taylor a y′ muestra que

donde está en (x_i, x_i+ θh). Dado que y′″ está acotado, esto implica que

y′(x_i + θh) = y′(x_i) + θhy″(x_i) + O(h²).

Sustituyendo esto en (9.3.2.9) y notando que la suma de dos términos O(h²) es nuevamente O(h²) muestra que E_i = O(h³) si

lo cual es cierto si

σ + ρ = 1 y ρθ = 1/2. (9.3.2.10)

Como y′ = f (x, y), ahora podemos concluir de (9.3.2.8) que

(9.3.2.11)

si σ, ρ y θ satisfacen (9.3.2.10). Sin embargo, esta fórmula no sería útil incluso si supiéramos exactamente el valor de y(x_i) (como lo haríamos para i = 0), ya que aún no sabríamos exactamente el valor de y(x_i + θh). Para superar esta dificultad, usamos de nuevo el teorema de Taylor para escribir

donde está en (x_i, x_i + θh). Dado que y′(x_i) = f (x_i, y(x_i)) y y″ está acotado, esto implica que

(9.3.2.12)

para alguna constante K. Como f_y está acotada, el teorema del valor medio implica que

para alguna constante M. Dejando

u = y(x_i + θh) y v = y(x_i) + θhf (x_i, y(x_i))

y recordar (9.3.2.12) muestra que

Sustituyendo esto en (9.3.2.11) se obtiene

Esto implica que la fórmula

tiene un error de truncamiento local O(h³) si σ, ρ y θ satisfacen (9.3.2.10). Sustituyendo σ = 1 − ρ y θ = 1/2ρ aquí se obtiene

(9.3.2.12)

El cálculo indicado aquí se puede organizar convenientemente de la siguiente manera: dado y_i, calcular

De acuerdo con nuestro requisito de que 0 < θ < 1, requerimos que ρ ≥ 1/2. Haciendo ρ = 1/2 in (9.3.2.13)
produce el método de Euler mejorado (9.3.2.4). Haciendo ρ = 3/4 se obtiene el método de Heun,