Cuando se utiliza el método de Newton, cada aproximación después de la conjetura inicial se define en términos de la aproximación anterior utilizando la misma fórmula. En particular, al definir la función
podemos reescribir la ecuación como xn = F (xn − 1).
Este tipo de proceso, donde cada xn se define en términos de xn − 1 repitiendo la misma función, es un ejemplo de un proceso iterativo. En breve, examinamos otros procesos iterativos. Primero, veamos las razones por las cuales el método de Newton podría no encontrar una raíz.
Fracasos del método de Newton
Por lo general, el método de Newton se usa para encontrar raíces con bastante rapidez. Sin embargo, las cosas pueden salir mal. Algunas razones por las cuales el método de Newton podría fallar incluyen las siguientes:
1. En una de las aproximaciones xn, la derivada f ‘ es cero en xn, pero f (xn) ≠ 0. Como resultado, la recta tangente de f en xn no intersecta el eje x. Por lo tanto, no podemos continuar el proceso iterativo.
2. Las aproximaciones x0, x1, x2,… pueden acercarse a una raíz diferente. Si la función f tiene más de una raíz, es posible que nuestras aproximaciones no se aproximen a la que buscamos, sino que se acerquen a una raíz diferente (ver Figura 4.41). Este evento ocurre con mayor frecuencia cuando no elegimos la aproximación x0 lo suficientemente cerca de la raíz deseada.
3. Las aproximaciones pueden fallar al acercarse por completo a una raíz. Por ejemplo, para alguna función f y una conjetura inicial x0 las aproximaciones sucesivas nunca se acercan a una raíz porque las aproximaciones sucesivas continúan alternando entre dos valores.
Hemos mostrado que el método de Newton no siempre funciona. Sin embargo, cuando funciona, la secuencia de aproximaciones se acerca a la raíz muy rápidamente. Las discusiones sobre la rapidez con que la secuencia de aproximaciones se aproxima a una raíz encontrada usando el método de Newton se incluyen en textos sobre análisis numérico.
Otros procesos iterativos
Como se mencionó anteriormente, el método de Newton es un tipo de proceso iterativo. Ahora veamos un ejemplo de un tipo diferente de proceso iterativo.
Considere una función F y un número inicial x0. Defina los números subsiguientes xn mediante la fórmula xn = F (xn-1). Este proceso es un proceso iterativo que crea una lista de números x0, x1, x2, …, xn, … .Esta lista de números puede acercarse a un número finito x* a medida que n aumenta, o puede que no.