| 4.9 método de Newton |

Ejercicios propuestos para el Capítulo 4.9

Para los siguientes ejercicios, escriba la fórmula de Newton como \( x_{n+1} = F(x_n) \) para resolver \( f(x) = 0 \):

  1. \( f(x) = x^2 + 1 \)
  2. \( f(x) = x^3 + 2x + 1 \)
  3. \( f(x) = \sin x \)
  4. \( f(x) = e^x \)
  5. \( f(x) = x^3 + 3xe^x \)

Para los siguientes ejercicios, resuelva \( f(x) = 0 \) usando la iteración \( x_{n+1} = x_n – cf(x_n) \), que difiere ligeramente del método de Newton. Encuentre un \( c \) que funcione y un \( c \) que no logre converger, con la excepción de \( c = 0 \).

  1. \( f(x) = x^2 – 4x + 3 \), con \( x_0 = 2 \)
  2. ¿Cuál es el valor de “c” para el método de Newton?

Para los siguientes ejercicios, comience en

a. \( x_0 = 0.6 \) y

b. \( x_0 = 2 \).

Calcule \( x_1 \) y \( x_2 \) usando el método iterativo especificado:

  1. \( x_{n+1} = x_n^2 – \frac{1}{2} \)
  2. \( x_{n+1} = 2x_n(1 – x_n) \)
  3. \( x_{n+1} = \sqrt{x_n} \)
  4. \( x_{n+1} = \frac{1}{\sqrt{x_n}} \)
  5. \( x_{n+1} = 3x_n(1 – x_n) \)
  6. \( x_{n+1} = x_n^2 + x_n – 2 \)
  7. \( x_{n+1} = \frac{1}{2} x_n – 1 \)
  8. \( x_{n+1} = |x_n| \)

      Para los siguientes ejercicios, resuelva con cuatro decimales usando el método de Newton y una computadora o calculadora. Elija cualquier aproximación inicial x0 que no sea la raíz exacta:

  1. \( x^2 – 10 = 0 \)
  2. \( x^4 – 100 = 0 \)
  3. \( x^2 – x = 0 \)
  4. \( x^3 – x = 0 \)
  5. \( x + 5 \cos(x) = 0 \)
  6. \( x + \tan(x) = 0 \), elige \( x_0 \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right) \)
  7. \( \frac{1}{1-x} = 2 \)
  8. \( 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 = 2 \)
  9. \( x^3 + (x + 1)^3 = 10^3 \)
  10. \( x = \sin^2(x) \)

       Para los siguientes ejercicios, use el método de Newton para encontrar los puntos fijos de la función donde f (x) = x; redondee a tres decimales:

  1. \( \sin x \)
  2. \( \tan(x) \) en \( x = \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right) \)
  3. \( e^x – 2 \)
  4. \( \ln(x) + 2 \)

        El método de Newton se puede usar para encontrar máximos y mínimos de funciones además de las raíces. En este caso, aplique el método de Newton a la función derivada f ‘(x) para encontrar sus raíces, en lugar de la función original. Para los siguientes ejercicios, considere la formulación del método:

  1. Para encontrar candidatos para máximos y mínimos, necesitamos encontrar los puntos críticos \( f'(x) = 0 \). Muestre que para resolver los puntos críticos de una función \( f(x) \), el método de Newton está dado por \( x_{n+1} = x_n – \frac{f'(x_n)}{f”(x_n)} \).
  2. ¿Qué restricciones adicionales son necesarias en la función \( f \)?

      Para los siguientes ejercicios, use el método de Newton para encontrar la ubicación de los mínimos y/o máximos locales de las siguientes funciones; redondee a tres decimales:

  1. Mínimo de \( f(x) = x^2 + 2x + 4 \)
  2. Mínimo de \( f(x) = 3x^3 + 2x^2 – 16 \)
  3. Mínimo de \( f(x) = x^2 e^x \)
  4. Máximo de \( f(x) = x + \frac{1}{x} \)
  5. Máximo de \( f(x) = x^3 + 10x^2 + 15x – 2 \)
  6. Máximo de \( f(x) = \frac{\sqrt{x} – \sqrt[3]{x}}{x} \)
  7. Mínimo de \( f(x) = x^2 \sin x \), mínimo no cero más cercano a \( x = 0 \)
  8. Mínimo de \( f(x) = x^4 + x^3 + 3x^2 + 12x + 6 \)

        Para los siguientes ejercicios, use el método especificado para resolver la ecuación. Si no funciona, explique por qué no funciona:

  1. Método de Newton, \( x^2 + 2 = 0 \)
  2. Método de Newton, \( 0 = e^x \)
  3. Método de Newton, \( 0 = 1 + x^2 \) comenzando en \( x_0 = 0 \)
  4. Resolviendo \( x_{n+1} = -x_n^3 \) comenzando en \( x_0 = -1 \)

Para los siguientes ejercicios, use el método secante, un método iterativo alternativo al método de Newton. La fórmula está dada por

\( x_n = x_{n-1} – f(x_{n-1}) \dfrac{x_{n-1} – x_{n-2}}{f(x_{n-1}) – f(x_{n-2})} \):

  1. Encuentre una raíz de \( 0 = x^2 – x – 3 \) con una precisión de tres decimales.
  2. Encuentre una raíz de \( 0 = \sin x + 3x \) con una precisión de cuatro decimales.
  3. Encuentre una raíz de \( 0 = e^x – 2 \) con una precisión de cuatro decimales.
  4. Encuentre una raíz de \( \ln(x + 2) = \frac{1}{2} \) con una precisión de cuatro decimales.
  5. ¿Por qué usaría el método secante sobre el método de Newton? ¿Cuáles son las restricciones necesarias en \( f \)?

        Para los siguientes ejercicios, use tanto el método de Newton como el método de la secante para calcular una raíz para las siguientes ecuaciones. Use una calculadora o computadora para calcular cuántas iteraciones de cada uno son necesarias para alcanzar una aproximación de la respuesta exacta con tres decimales. Para el método de la secante, use la primera aproximación del método de Newton:

  1. \( f(x) = x^2 + 2x + 1 \), \( x_0 = 1 \)
  2. \( f(x) = x^2 \), \( x_0 = 1 \)
  3. \( f(x) = \sin x \), \( x_0 = 1 \)
  4. \( f(x) = e^x – 1 \), \( x_0 = 2 \)
  5. \( f(x) = x^3 + 2x + 4 \), \( x_0 = 0 \)

En los siguientes ejercicios, considere la ecuación de Kepler con respecto a las órbitas planetarias, \( M = E – \epsilon \sin(E) \), donde \( M \) es la anomalía media, \( E \) es la anomalía excéntrica y \( \epsilon \) mide la excentricidad:

  1. Use el método de Newton para resolver la anomalía excéntrica \( E \) cuando la anomalía media \( M = \frac{\pi}{3} \) y la excentricidad de la órbita \( \epsilon = 0.25 \); redondee a tres decimales.
  2. Use el método de Newton para resolver la anomalía excéntrica \( E \) cuando la anomalía media \( M = \frac{3\pi}{2} \) y la excentricidad de la órbita \( \epsilon = 0.8 \); redondee a tres decimales.

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  1. Use el método de Newton para determinar la tasa de interés si el interés se capitalizó anualmente.
  2. Use el método de Newton para determinar la tasa de interés si el interés se capitalizó continuamente.
  3. El costo total para imprimir \(x\) libros puede ser dado por la ecuación \( C(x) = 1000 + 12x + \left(\frac{1}{2}\right) x^{2/3} \). Use el método de Newton para encontrar el punto de equilibrio si la imprenta vende cada libro por $20.
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