9. Ecuaciones diferenciales con problemas con valores en la frontera

(Ejercicios resueltos del Capítulo 9 (Zill))

Contenido

9.1 Introducción a las ecuaciones diferenciales

9.2 Ecuaciones diferenciales de primer orden

  • 9.2.1  Ecuaciones lineales de primer orden
  • 9.2.2  Ecuaciones separables
  • 9.2.3  Existencia y unicidad de soluciones de ecuaciones no lineales
  • 9.2.4  Transformación de ecuaciones no lineales en ecuaciones separables
  • 9.2.5  Ecuaciones exactas
  • 9.2.6  Factores de integración

9.3 Métodos numéricos

  • 9.3.1  Método de Euler
  • 9.3.2  El método de Euler mejorado y métodos relacionados
  • 9.3.3  El método Runge-Kutta

9.4 Aplicaciones de ecuaciones de primer orden

  • 9.4.1  Crecimiento y decrecimiento
  • 9.4.2  Enfriamiento y Mezclas
  • 9.4.3  Mecánica elemental
  • 9.4.4  Ecuaciones autónomas de segundo orden
  • 9.4.5  Aplicaciones a curvas

9.5 Ecuaciones lineales de segundo orden

  • 9.5.1  Ecuaciones lineales homogéneas
  • 9.5.2  Ecuaciones homogéneas con coeficientes constantes
  • 9.5.3  Ecuaciones lineales no homogéneas
  • 9.5.4  El método de coeficientes indeterminados I
  • 9.5.5  El método de coeficientes indeterminados II
  • 9.5.6  Reducción de orden
  • 9.5.7  Variación de parámetros

9.6 Aplicaciones de ecuaciones lineales de segundo orden

  • 9.6.1  Problemas de resortes I
  • 9.6.2  Problemas de resortes II
  • 9.6.3  Los circuitos RLC
  • 9.6.4  Movimiento bajo una fuerza central

9.7 Soluciones en serie ecuaciones lineales de segundo orden

  • 9.7.1  Revisión de series de potencias
  • 9.7.2  Soluciones en serie cerca de un punto ordinario I
  • 9.7.3  Soluciones en serie cerca de un punto ordinario II
  • 9.7.4  Ecuaciones regulares de Euler de puntos singulares
  • 9.7.5  El método de Frobenius I
  • 9.7.6  El método de Frobenius II
  • 9.7.7  El método de Frobenius II

9.8 La transformada de Laplace

  • 9.8.1  Introducción a la transformada de Laplace
  • 9.8.2  La transformada inversa de Laplace
  • 9.8.3  Solución de problemas de valor inicial
  • 9.8.4  La función escalón unitario
  • 9.8.5  Ecuaciones de coeficientes constantes con funciones de forzado continuo por partes
  • 9.8.6  Convolución
  • 9.8.7  Ecuaciones de coeficientes constantes con impulsos

9.9 Ecuaciones lineales de orden superior

  • 9.9.1  Introducción a las ecuaciones lineales de orden superior
  • 9.9.2  Ecuaciones homogéneas de coeficientes constantes de orden superior
  • 9.9.3  Coeficientes indeterminados para ecuaciones de orden superior
  • 9.9.4  Variación de parámetros para ecuaciones de orden superior

9.10 Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales

  • 9.10.1  Introducción a los sistemas de ecuaciones diferenciales
  • 9.10.2 Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales
  • 9.10.3  Teoría básica del sistema lineal homogéneo
  • 9.10.4  Sistemas homogéneos de coeficiente constante I
  • 9.10.4  Sistemas homogéneos de coeficiente constante I
  • 9.10.5  Sistemas homogéneos de coeficiente constante II
  • 9.10.6  Sistemas homogéneos de coeficiente constante III
  • 9.10.7  Variación de parámetros para sistemas lineales no homogéneos

9.11 Problemas con valores en la frontera y expansiones de Fourier

  • 9.11.1  Problemas de valor propio (eigenvalores)
  • 9.11.2  Expansiones de Fourier I
  • 9.11.3  Expansiones de Fourier II

9.12 Soluciones de Fourier de ecuaciones diferenciales parciales

  • 9.12.1  La ecuación del calor
  • 9.12.2  La ecuación de onda
  • 9.12.3  La ecuación de Laplace en coordenadas rectangulares
  • 9.12.4  La ecuación de Laplace en coordenadas polares

9.13 Problemas de valores en la frontera para ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden

  • 9.13.1 Problemas de valores en la frontera de dos puntos
  • 9.13.2 Problemas de Sturm-Liouville

 Muchos fenómenos del mundo real pueden modelarse matemáticamente utilizando ecuaciones diferenciales. El crecimiento de una población, la desintegración radiactiva, los modelos depredador-presa y los sistemas de masa resorte son cuatro ejemplos de tales fenómenos.

Figura 4.1 El venado cola blanca (Odocoileus virginianus) del este de los Estados Unidos. Las ecuaciones diferenciales se pueden usar para estudiar poblaciones de animales. (crédito: modificación del trabajo de Rachel Kramer, Flickr)

 Supongamos que deseamos estudiar una población de ciervos a lo largo del tiempo y determinar el número total de animales en un área determinada. Primero podemos observar a la población durante un período de tiempo, estimar el número total de venados y luego usar varios supuestos para derivar un modelo matemático para diferentes escenarios. Algunos factores que a menudo se consideran son el impacto ambiental, los valores límite de la población y los depredadores. En estas lecciones del Capítulo 9 veremos, por ejemplo, cómo se pueden usar las ecuaciones diferenciales para predecir poblaciones a lo largo del tiempo.

 Otro objetivo de este capítulo es desarrollar técnicas de solución para diferentes tipos de ecuaciones diferenciales. A medida que las ecuaciones se vuelven más complicadas, las técnicas de solución también se vuelven más complicadas y, de hecho, un curso completo podría dedicarse al estudio de estas ecuaciones. En este capítulo estudiamos varios tipos de ecuaciones diferenciales y sus correspondientes métodos de solución.