Cálculo vectorial

Cálculo vectorial: Bosquejo del capítulo

CÁLCULO VECTORIAL

10.12 Campos de vectores

10.13 Integrales de línea

10.14 Campos de vectores conservadores

10.15 El teorema de Green

10.16 Divergencia y curvatura

10.17 Integrales de superficie

10.18 Teorema de Stokes

10.19 El teorema de la divergencia

VECTORES EN EL ESPACIO

Figura 10_1 El Karl G. Jansky Very Large Array, ubicada en Socorro, Nuevo México, consiste en una gran cantidad de radiotelescopios que pueden recolectar ondas de radio y cotejarlas como si estuvieran recolectando ondas en un área enorme sin brechas en la cobertura. (crédito: modificación del trabajo de CGP Gray, Wikimedia Commons).

Los observatorios astronómicos modernos a menudo consisten en una gran cantidad de reflectores parabólicos, conectados por computadoras, utilizados para analizar ondas de radio. Cada plato enfoca los haces paralelos entrantes de ondas de radio en un punto focal preciso, donde pueden sincronizarse por computadora. Si la superficie de uno de los reflectores parabólicos se describe mediante la ecuación

¿dónde está el punto focal del reflector?

Ahora estamos a punto de comenzar una nueva parte del curso de cálculo, cuando estudiamos las funciones de dos o tres variables independientes en el espacio multidimensional. Muchos de los cálculos son similares a los del estudio de funciones de una variable, pero también hay muchas diferencias. En el primer capítulo, Vectores en el espacio (10.1 a 10.7), examinamos los sistemas de coordenadas para trabajar en un espacio tridimensional, junto con los vectores, que son una herramienta matemática clave para tratar cantidades en más de una dimensión. Comencemos aquí con las ideas básicas y avancemos hasta las herramientas más generales y poderosas de las matemáticas en capítulos posteriores.

FUNCIONES DE VALORES VECTORIALES

Figura 10.2 El cometa Halley apareció a la vista de la Tierra en 1986 y volverá a aparecer en 2061.

En 1705, utilizando las nuevas leyes de movimiento de Sir Isaac Newton, el astrónomo Edmond Halley hizo una predicción. Dijo que los cometas que habían aparecido en 1531, 1607 y 1682 eran en realidad el mismo cometa y que reaparecería en 1758. Halley demostró estar en lo cierto, aunque no vivió para verlo. Sin embargo, el cometa fue nombrado más tarde en su honor.

El cometa Halley sigue un camino elíptico a través del sistema solar, con el Sol apareciendo en un foco de la elipse. Este movimiento es predicho por la primera ley de movimiento planetario de Johannes Kepler, que mencionamos brevemente en la Introducción a las ecuaciones paramétricas y las coordenadas polares. En el ejemplo 3.15, mostramos cómo usar la tercera ley del movimiento planetario de Kepler junto con el cálculo de las funciones de valor vectorial para encontrar la distancia promedio del cometa Halley del Sol.

Las funciones con valores vectoriales proporcionan un método útil para estudiar varias curvas tanto en el plano como en el espacio tridimensional. Podemos aplicar este concepto para calcular la velocidad, la aceleración, la longitud del arco y la curvatura de la trayectoria de un objeto. En este capítulo, examinamos estos métodos y mostramos cómo se usan.