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9.8.6 Convolución
En esta sección consideramos el problema de encontrar la transformada inversa de Laplace de un producto H(s) = F(s)G(s), donde F y G son las transformadas de Laplace de funciones conocidas f y g. Para motivar nuestro interés en este problema, considere el problema de valores iniciales
ay′′ + by′ + cy = f(t), y(0) = 0, y′(0) = 0.
Tomando la transformada de Laplace, obtenemos
(as2 + bs + c)Y(s) = F(s),
así que
Y(s) = F(s)G(s), (9.8.6.1)
donde
Hasta ahora no nos ha interesado la factorización indicada en (9.8.6.1), ya que solo tratamos con ecuaciones diferenciales con funciones de forzamiento específicas. Por lo tanto, podríamos simplemente hacer la multiplicación indicada en (9.8.6.1) y usar la tabla de transformadas de Laplace para encontrar y = L−1(Y ). Sin embargo, esto no es posible si queremos una fórmula para y en términos de f, que puede no estar especificada.
Para motivar la fórmula para L−1(FG), considere el problema de valor inicial
y′ − ay = f(t), y(0) = 0, (9.8.6.2)
que primero resolvemos sin usar la transformada de Laplace. La solución de la ecuación diferencial en (9.8.6.2) es de la forma y = ueat donde
Integrando esto de 0 a t e imponiendo la condición inicial u(0) = y(0) = 0 se obtiene
Por lo tanto
(9.8.6.3)
Ahora usaremos la transformada de Laplace para resolver (9.8.6.2) y compararemos el resultado con (9.8.6.3). Tomando transformadas de Laplace en (9.8.6.2) se obtiene
(s − a)Y(s) = F(s),
entonces
lo que implica que
(9.8.6.4)
Si ahora hacemos g(t) = eat, de modo que
entonces (9.8.6.3) y (9.8.6.4) se pueden escribir como
y
respectivamente. Por lo tanto
(9.8.6.5)
en este caso.
Esto motiva la siguiente definición.
Definición 9.8.6.1
La convolución f ∗ g de dos funciones f y g está definida por
♦
Se puede demostrar (Ejercicio 6) que f ∗ g = g ∗ f; esto es,
La ecuación (9.8.6.5) muestra que L−1(FG) = f ∗ g en el caso especial donde g(t) = eat. El siguiente teorema establece que esto es cierto en general.
Teorema 9.8.6.1 El teorema de convolución
Si L(f) = F y L(g) = G, entonces
L(f ∗ g) = FG. ♦
Una demostración completa del teorema de convolución está más allá del alcance de este libro. Sin embargo, supondremos que f ∗ g tiene una transformada de Laplace y verificaremos la conclusión del teorema de forma puramente computacional. Por la definición de la transformada de Laplace,
Esta integral iterada es igual a una integral doble sobre la región que se muestra en la figura 9.8.6.1. Invirtiendo el orden de integración, obtenemos
(9.8.6.6)
Sin embargo, la sustitución x = t − τ muestra que
Sustituyendo esto en (9.8.6.6) y observando que G(s) es independiente de τ se obtiene
Ejemplo 9.8.6.1
Sea
f(t) = eat y g(t) = ebt (a ≠ b).
Verifique que L(f ∗ g) = L(f)L(g), como lo implica el teorema de convolución.
Solución:
Primero calculamos
Ya que
y 
resulta que
♦
Una fórmula para la solución de un problema de valor inicial
El teorema de convolución proporciona una fórmula para la solución de un problema de valor inicial para una ecuación de segundo orden de coeficiente constante lineal con un valor no especificado. Los siguientes tres ejemplos ilustran esto.
Ejemplo 9.8.6.2
Encuentre una fórmula para la solución del problema de valor inicial
y′′ − 2y′ + y = f(t), y(0) = k0, y′(0) = k1. (9.8.6.7)
Solución:
Tomando transformadas de Laplace en (9.8.6.7) se obtiene
Por lo tanto
De la Tabla de transformadas de Laplace,
Ya que
y 
el teorema de convolución implica que
Por lo tanto la solución de (9.8.6.7) es
♦
Ejemplo 9.8.6.3
Encuentre una fórmula para la solución del problema de valor inicial
y′′ + 4y = f(t), y(0) = k0, y′(0) = k1. (9.8.6.8)
Solución:
Tomando transformadas de Laplace en (9.8.6.8) se obtiene
Por lo tanto
De la Tabla de transformadas de Laplace,
Ya que
y 
el teorema de convolución implica que
Por lo tanto la solución de (9.8.6.8) es
♦
Ejemplo 9.8.6.4
Encuentre una fórmula para la solución del problema de valor inicial
y′′ + 2y′ + 2y = f(t), y(0) = k0, y′(0) = k1. (9.8.6.9)
Solución:
Tomando transformadas de Laplace en (9.8.6.9) se obtiene
Por lo tanto
De la Tabla de transformadas de Laplace,
Ya que
y F(s) ↔ f(t),
el teorema de convolución implica que
Por lo tanto la solución de (9.8.6.9) es
(9.8.6.10) ♦
Evaluación de integrales de convolución
Diremos que una integral de la forma 
es es una integral de convolución. El teorema de convolución proporciona una manera conveniente de evaluar las integrales de convolución.
Ejemplo 9.8.6.5
Evaluar la integral de convolución
Solución:
Podríamos evaluar esta integral expandiendo (t − τ)5 en potencias de τ y luego integrando. Sin embargo, el teorema de convolución proporciona una forma más fácil. La integral es la convolución de f(t) = t5 y g(t) = t7. Ya que
y 
el teorema de la convolución implica que
donde hemos escrito la segunda igualdad porque
Por eso,
♦
Ejemplo 9.8.6.6
Usar el teorema de convolución y una expansión en fracciones parciales para evaluar la integral de convolución
Solución:
Desde
y 
el teorema de convolución implica que
Expandiendo en una suma de fracciones parciales adecuada, se obtiene
Por lo tanto
♦
Ecuaciones integrales de Volterra
Una ecuación de la forma
(9.8.6.11)
es una ecuación integral de Volterra. Aquí f y k son funciones dadas y se desconoce y. Dado que la integral de la derecha es una integral de convolución, el teorema de convolución proporciona una fórmula conveniente para resolver (9.8.6.11). Tomando transformadas de Laplace en (9.8.6.11) se obtiene
y resolviendo esto para Y(s) se obtiene
Entonces obtenemos la solución de (9.8.6.11) como y = L−1(Y ).
Ejemplo 9.8.6.7
Resolver la ecuación integral
(9.8.6.12)
Solución:
Tomando las transformadas de Laplace en (9.8.6.12) se obtiene
y resolviendo esto para Y(s) se obtiene
Por eso,
y(t) = 1 + 2t.
Funciones de transferencia
El siguiente teorema presenta una fórmula para la solución del problema general de valor inicial
donde asumimos por simplicidad que f es continua en [0, ∞) y que L(f) existe. En los ejercicios 11 a 14 se muestra que la fórmula es válida en condiciones mucho más débiles en f.
Teorema 9.8.6.2
Supongamos que f es continua en [0, ∞) y tiene una transformada de Laplace. Entonces la solución del problema de valor inicial
ay′′ + by′ + cy = f(t), y(0) = k0, y′(0) = k1, (9.8.6.13)
es
(9.8.6.14)
donde y1 e y2 satisfacen
ay1′′ + by1′ + cy1 = 0, y1(0) = 1, y1′ (0) = 0, (9.8.6.15)
y
ay2′′ + by2′ + cy2 = 0, y1(0) = 0, y2′ (0) = 1, (9.8.6.16)
y
(9.8.6.16) ♦
Prueba:
Tomando la transformada de Laplace en (9.8.6.13) se obtiene
donde
p(s) = as2 + bs + c.
Desde,
Y(s) = W(s)F(s) + V(s) (9.8.6.18)
con
(9.8.6.19)
y
(9.8.6.20)
Tomando las transformadas de Laplace en (9.8.6.15) y (9.8.6.16) vemos que
p(s)Y1(s) = as + b y p(s)Y2(s) = a.
Por lo tanto
y
(9.8.6.21)
Por lo tanto, (9.8.6.20) se puede reescribir como
Sustituyendo esto en (9.8.6.18) se obtiene
Tomando transformadas inversas e invocando el teorema de convolución se obtiene (8.6.14). Finalmente, (9.8.6.19) y (9.8.6.21) implican (9.8.6.17). ♦
Es útil notar de (9.8.6.14) que y es de la forma
y = v + h,
donde
v(t) = k0y1(t) + k1y2(t)
depende de las condiciones iniciales y es independiente de la función de forzamiento, mientras que
depende de la función de forzamiento y es independiente de las condiciones iniciales. Si los ceros del polinomio característico
p(s) = as2 + bs + c
de la ecuación complementaria tienen partes reales negativas, entonces y1 e y2 tienden a cero cuando t → ∞, por lo que limt→∞ v(t) = 0 para cualquier elección de condiciones iniciales. Además, el valor de h(t) es esencialmente independiente de los valores de f(t − τ) para τ grande, ya que limτ→∞ w(τ) = 0. En este caso decimos que v y h son componentes transitorias y estacionarias, respectivamente, de la solución y de ( 9.8.6.13). Estas definiciones se aplican al problema de valor inicial del ejemplo 9.8.6.4, donde los ceros de
p(s) = s2 + 2s + 2 = (s + 1)2 + 1
son −1 ± i. De (9.8.6.10), vemos que la solución del problema general de valor inicial del ejemplo 9.8.6.4 es y = v + h, donde
es el componente transitorio de la solución y
es el componente de estado estacionario. Las definiciones no se aplican a los problemas de valor inicial considerados en los ejemplos 9.8.6.2 y 9.8.6.3, ya que los ceros de los polinomios característicos en estos dos ejemplos no tienen partes reales negativas.
En aplicaciones físicas donde la entrada f y la salida y de un dispositivo están relacionadas por (9.8.6.13), los ceros del polinomio característico normalmente tienen partes reales negativas. Entonces W = L(w) se llama la función de transferencia del dispositivo. Ya que
H(s) = W(s)F(s),
observamos que
es la relación entre la transformada de la salida de estado estable y la transformada de la entrada.
Por la forma de
w a veces se denomina la función de ponderación del dispositivo, ya que asigna pesos a los valores pasados de la entrada f. También se denomina respuesta de impulso del dispositivo, por las razones que se analizan en la siguiente sección.
La fórmula (9.8.6.14) se da con más detalle en los ejercicios 8 a 10 para los tres casos posibles donde los ceros de p(s) son conjugados reales y distintos, reales y repetidos o complejos, respectivamente.