| 3.7 Derivadas de las funciones inversas |
Ejercicios propuestos para el Capítulo 3.7
Para los siguientes ejercicios, usa la gráfica de \(y = f(x)\) para
a. esbozar la gráfica de \(y = f^{-1}(x)\), y
b. usar la parte a. para estimar \((f^{-1})'(1)\).
260.
261.
262.
263.
Para los siguientes ejercicios, usa las funciones \(y = f(x)\) para encontrar
a. \(\frac{df}{dx}\) en \(x = a\) y
b. \(x = f^{-1}(y)\).
c. Luego usa la parte b. para encontrar \(\frac{df^{-1}}{dy}\) en \(y = f(a)\).
264. \(f(x) = 6x – 1, \quad x = -2\)
265. \(f(x) = 2x^3 – 3, \quad x = 1\)
266. \(f(x) = 9 – x^2, \quad 0 \le x \le 3, \quad x = 2\)
267. \(f(x) = \sin x, \quad x = 0\)
Para cada una de las siguientes funciones, encuentra \((f^{-1})'(a)\).
268. \(f(x) = x^2 + 3x + 2, \quad x \ge -\frac{3}{2}, \quad a = 2\)
269. \(f(x) = x^3 + 2x + 3, \quad a = 0\)
270. \(f(x) = x + \sqrt{x}, \quad a = 2\)
271. \(f(x) = x – \frac{2}{x}, \quad x < 0, \quad a = 1\)
272. \(f(x) = x + \sin x, \quad a = 0\)
273. \(f(x) = \tan x + 3x^2, \quad a = 0; \quad 0 < x < \frac{\pi}{2}\)
Para cada una de las funciones dadas \(y = f(x)\),
a. encuentra la pendiente de la recta tangente a su función inversa \(f^{-1}\) en el punto indicado \(P\), y
b. encuentra la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \(f^{-1}\) en el punto indicado.
274. \(f(x) = \frac{4}{1 + x^2}, \quad P(2, 1)\)
275. \(f(x) = \sqrt{x – 4}, \quad P(2, 8)\)
276. \(f(x) = (x^3 + 1)^4, \quad P(16, 1)\)
277. \(f(x) = -x^3 – x + 2, \quad P(-8, 2)\)
278. \(f(x) = x^5 + 3x^3 – 4x – 8, \quad P(-8, 1)\)
Para los siguientes ejercicios, encuentra \(\frac{dy}{dx}\) para la función dada.
279. \(y = \sin^{-1}(x^2)\)
280. \(y = \cos^{-1}(\sqrt{x})\)
281. \(y = \sec^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)\)
282. \(y = \sqrt{\csc^{-1}x}\)
283. \(y = (1 + \tan^{-1}x)^3\)
284. \(y = \cos^{-1}(2x) \cdot \sin^{-1}(2x)\)
285. \(y = \frac{1}{\tan^{-1}(x)}\)
286. \(y = \sec^{-1}(-x)\)
287. \(y = \cot^{-1}\sqrt{4 – x^2}\)
288. \(y = x \cdot \csc^{-1}x\)
Para los siguientes ejercicios, usa los valores dados para encontrar \((f^{-1})'(a)\).
289. \(f(\pi) = 0, \quad f'(\pi) = -1, \quad a = 0\)
290. \(f(6) = 2, \quad f'(6) = \frac{1}{3}, \quad a = 2\)
291. \(f\left(\frac{1}{3}\right) = -8, \quad f’\left(\frac{1}{3}\right) = 2, \quad a = -8\)
292. \(f(\sqrt{3}) = \frac{1}{2}, \quad f'(\sqrt{3}) = \frac{2}{3}, \quad a = \frac{1}{2}\)
293. \(f(1) = -3, \quad f'(1) = 10, \quad a = -3\)
294. \(f(1) = 0, \quad f'(1) = -2, \quad a = 0\)
295. [T] La posición de un disco de hockey en movimiento después de \(t\) segundos está dada por \(s(t) = \tan^{-1}t\) donde \(s\) está en metros.
a. Encuentra la velocidad del disco de hockey en cualquier tiempo \(t\).
b. Encuentra la aceleración del disco en cualquier tiempo \(t\).
c. Evalúa a. y b. para \(t = 2, 4,\) y \(6\) segundos.
d. ¿Qué conclusión se puede extraer de los resultados en c.?
296. [T] Un edificio que mide 225 pies de altura proyecta una sombra de varias longitudes \(x\) a medida que avanza el día. Se forma un ángulo de elevación \(\theta\) mediante líneas desde la parte superior e inferior del edificio hasta la punta de la sombra, como se ve en la siguiente figura. Encuentra la tasa de cambio del ángulo de elevación \(\frac{d\theta}{dx}\) cuando \(x = 272\) pies.
297. [T] Un poste mide 75 pies de altura. Se forma un ángulo \(\theta\) cuando se sujetan cables de varias longitudes \(x\) pies desde el suelo hasta la parte superior del poste, como se muestra en la siguiente figura. Encuentra la tasa de cambio del ángulo \(\frac{d\theta}{dx}\) cuando se sujeta un cable de 90 pies de longitud.
298. [T] Una cámara de televisión a nivel del suelo está a 2000 pies de distancia de la plataforma de lanzamiento de un cohete espacial que está programado para despegar verticalmente, como se ve en la siguiente figura. El ángulo de elevación de la cámara se puede encontrar mediante \(\theta = \tan^{-1}\left(\frac{x}{2000}\right)\), donde \(x\) es la altura del cohete. Encuentra la tasa de cambio del ángulo de elevación después del lanzamiento cuando la cámara y el cohete están a 5000 pies de distancia.
299. [T] Un cine local con una pantalla de 30 pies de altura que está a 10 pies por encima del nivel de los ojos de una persona sentada tiene un ángulo de visión \(\theta\) (en radianes) dado por \(\theta = \cot^{-1}\left(\frac{x}{40}\right) – \cot^{-1}\left(\frac{x}{10}\right)\), donde \(x\) es la distancia en pies desde la pantalla de cine a la que está sentada la persona, como se muestra en la siguiente figura.
a. Encuentra \(\frac{d\theta}{dx}\).
b. Evalúa \(\frac{d\theta}{dx}\) para \(x = 5, 10, 15,\) y \(20\).
c. Interpreta los resultados en b.
d. Evalúa \(\frac{d\theta}{dx}\) para \(x = 25, 30, 35,\) y \(40\).
e. Interpreta los resultados en d. ¿A qué distancia \(x\) debe sentarse la persona para maximizar su ángulo de visión?