Las derivadas de las funciones trigonométricas inversas restantes también se pueden encontrar utilizando el teorema de la función inversa. Estas fórmulas se proporcionan en el siguiente teorema.
TEOREMA 3.7.3. Derivadas de funciones trigonométricas inversas
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Ejemplo ilustrativo 3.7_6. Aplicación de fórmulas de diferenciación a una función de tangente inversa
Encuentre la derivada de f (x) = tan⁻¹(x²).
Solución:
Sea g(x) = x², entonces g′(x) = 2x. Sustituyendo en la Ecuación
, obtenemos
Simplificando, tenemos
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Ejemplo ilustrativo 3.7_7. Aplicación de fórmulas de diferenciación a una función seno inversa
Encuentre la derivada de h(x) = x²sen⁻¹x.
Solución:
Al aplicar la regla del producto, tenemos
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Ejemplo ilustrativo 3.7_8. Aplicando la función de tangente inversa
La posición de una partícula en el tiempo t viene dada por s(t) = tan⁻¹(1/t) para t ≥ 1/2. Encuentre la velocidad de la partícula en el tiempo t = 1.
Solución:
Comience por diferenciar s(t) para encontrar v(t). Así,
Simplificando, tenemos
Por lo tanto, v(1) = – 1/2. ◊
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