Derivadas de funciones inversas

Las derivadas de las funciones trigonométricas inversas restantes también se pueden encontrar utilizando el teorema de la función inversa. Estas fórmulas se proporcionan en el siguiente teorema.

TEOREMA 3.7.3. Derivadas de funciones trigonométricas inversas

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Ejemplo ilustrativo 3.7_6. Aplicación de fórmulas de diferenciación a una función de tangente inversa

Encuentre la derivada de f (x) = tan⁻¹(x²).

Solución:

Sea g(x) = x², entonces g′(x) = 2x. Sustituyendo en la Ecuación

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, obtenemos

Simplificando, tenemos

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Ejemplo ilustrativo 3.7_7. Aplicación de fórmulas de diferenciación a una función seno inversa

Encuentre la derivada de h(x) = x²sen⁻¹x.

Solución:

Al aplicar la regla del producto, tenemos

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Ejemplo ilustrativo 3.7_8. Aplicando la función de tangente inversa

La posición de una partícula en el tiempo t viene dada por s(t) = tan⁻¹(1/t) para t ≥ 1/2. Encuentre la velocidad de la partícula en el tiempo t = 1.

Solución:

Comience por diferenciar s(t) para encontrar v(t). Así,

Simplificando, tenemos

Por lo tanto, v(1) = – 1/2. ◊

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