| 3.4 Las derivadas como tasas de cambio |

Ejercicios propuestos para el Capítulo 3.4

Para los siguientes ejercicios, las funciones dadas representan la posición de una partícula que se mueve a lo largo de una línea horizontal; \(t \ge 0\):

a. Encuentra las funciones de velocidad y aceleración.
b. Determina los intervalos de tiempo cuando el objeto está desacelerando o acelerando.

150. \(s(t) = 2t^3 – 3t^2 – 12t + 8\)
151. \(s(t) = 2t^3 – 15t^2 + 36t – 10\)
152. \(s(t) = \frac{t}{1 + t^2}\)

153. Un cohete modelo se dispara verticalmente hacia arriba desde el suelo. La distancia s en pies que recorre el cohete desde el suelo después de t segundos está dada por \[s(t) = -16t^2 + 560t.\] a. Encuentra la velocidad del cohete 3 segundos después de ser disparado.
b. Encuentra la aceleración del cohete 3 segundos después de ser disparado.

154. Una pelota se lanza hacia abajo con una velocidad de 8 pies/s desde la parte superior de un edificio de 64 pies de altura. Después de t segundos, su altura sobre el suelo está dada por \[s(t) = -16t^2 – 8t + 64.\] a. Determina cuánto tiempo tarda la pelota en tocar el suelo.
b. Determina la velocidad de la pelota cuando toca el suelo.

155. La función de posición \(s(t) = t^2 – 3t – 4\) representa la posición de la parte trasera de un automóvil que retrocede para salir de una entrada y luego conduce en línea recta, donde s está en pies y t está en segundos. En este caso, \(s(t) = 0\) representa el momento en que la parte trasera del automóvil está en la puerta del garaje, por lo que \(s(0) = -4\) es la posición inicial del automóvil, 4 pies dentro del garaje.
a. Determina la velocidad del automóvil cuando \(s(t) = 0\).
b. Determina la velocidad del automóvil cuando \(s(t) = 14\).

156. La posición de un colibrí que vuela en línea recta en t segundos está dada por \(s(t) = 3t^3 – 7t\) metros.
a. Determina la velocidad del ave en \(t = 1\) segundo.
b. Determina la aceleración del ave en \(t = 1\) segundo.
c. Determina la aceleración del ave cuando la velocidad es igual a 0.

157. Una patata se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 100 pies/s desde una cañón de patatas en la parte superior de un edificio de 85 pies de altura. La posición de la patata con respecto al suelo después de t segundos está dada por \[s(t) = -16t^2 + 100t + 85.\] a. Encuentra la velocidad de la patata después de 0.5 s y 5.75 s.
b. Encuentra la rapidez de la patata a los 0.5 s y 5.75 s.
c. Determina cuándo la patata alcanza su altura máxima.
d. Encuentra la aceleración de la patata a los 0.5 s y 1.5 s.
e. Determina cuánto tiempo está la patata en el aire.
f. Determina la velocidad de la patata al tocar el suelo.

158. La función de posición \(s(t) = t^3 – 8t\) da la posición en millas de un tren de carga donde el este es la dirección positiva y t se mide en horas.
a. Determina la dirección en la que viaja el tren cuando \(s(t) = 0\).
b. Determina la dirección en la que viaja el tren cuando \(a(t) = 0\).
c. Determina los intervalos de tiempo cuando el tren está desacelerando o acelerando.

159. La siguiente gráfica muestra la posición y = s(t) de un objeto que se mueve a lo largo de una línea recta:

a. Usa la gráfica de la función de posición para determinar los intervalos de tiempo cuando la velocidad es positiva, negativa o cero.
b. Dibuja la gráfica de la función de velocidad.
c. Usa la gráfica de la función de velocidad para determinar los intervalos de tiempo cuando la aceleración es positiva, negativa o cero.
d. Determina los intervalos de tiempo cuando el objeto está acelerando o desacelerando.

160. La función de costo, en dólares, de una compañía que fabrica procesadores de alimentos está dada por \[C(x) = 200 + \frac{7}{x} + \frac{x^2}{7},\] donde \(x\) es el número de procesadores de alimentos fabricados.
a. Encuentra la función de costo marginal.
b. Usa la función de costo marginal para estimar el costo de fabricar el decimotercer procesador de alimentos.
c. Encuentra el costo real de fabricar el decimotercer procesador de alimentos.

161. El precio \(p\) (en dólares) y la demanda \(x\) para un cierto radio reloj digital está dada por la función de precio-demanda \[p = 10 – 0.001x.\] a. Encuentra la función de ingresos \(R(x)\).
b. Encuentra la función de ingresos marginales.
c. Encuentra los ingresos marginales en \(x = 2000\) y 5000.

162. [T] Se obtiene una ganancia cuando los ingresos superan al costo. Suponga que la función de ganancia para un fabricante de patinetas está dada por \[P(x) = 30x – 0.3x^2 – 250,\] donde \(x\) es el número de patinetas vendidas.
a. Encuentra la ganancia exacta por la venta de la trigésima patineta.
b. Encuentra la función de ganancia marginal y úsala para estimar la ganancia por la venta de la trigésima patineta.

163. [T] En general, la función de ganancia es la diferencia entre las funciones de ingresos y costos: \[P(x) = R(x) – C(x).\] Suponga que las funciones de precio-demanda y costo para la producción de taladros inalámbricos están dadas respectivamente por \[p = 143 – 0.03x\] y \[C(x) = 75000 + 65x,\] donde \(x\) es el número de taladros inalámbricos que se venden a un precio de \(p\) dólares por taladro y \(C(x)\) es el costo de producir \(x\) taladros inalámbricos.
a. Encuentra la función de costo marginal.
b. Encuentra las funciones de ingresos e ingresos marginales.
c. Encuentra \(R'(1000)\) y \(R'(4000)\). Interpreta los resultados.
d. Encuentra las funciones de ganancia y ganancia marginal.
e. Encuentra \(P'(1000)\) y \(P'(4000)\). Interpreta los resultados.

164. Una pequeña ciudad en Ohio encargó a una firma actuarial que realizara un estudio que modelara la tasa de cambio de la población de la ciudad. El estudio encontró que la población de la ciudad (medida en miles de personas) se puede modelar mediante la función \[P(t) = -\frac{1}{3}t^3 + 64t + 3000,\] donde \(t\) se mide en años.
a. Encuentra la función de tasa de cambio \(P'(t)\) de la función de población.
b. Encuentra \(P'(1)\), \(P'(2)\), \(P'(3)\) y \(P'(4)\). Interpreta lo que significan los resultados para la ciudad.
c. Encuentra \(P″(1)\), \(P″(2)\), \(P″(3)\) y \(P″(4)\). Interpreta lo que significan los resultados para la población de la ciudad.

165. [T] Un cultivo de bacterias crece en número de acuerdo con la función \(N(t) = 3000\left(1 + \frac{4t}{t^2 + 100}\right)\), donde \(t\) se mide en horas.

166. La fuerza centrípeta de un objeto de masa \(m\) está dada por \(F(r) = \frac{mv^2}{r}\), donde \(v\) es la velocidad de rotación y \(r\) es la distancia desde el centro de rotación.

      Las siguientes preguntas se refieren a la población (en millones) de Londres por década en el siglo XIX, que se muestra en la siguiente tabla:

167. [T]

168. [T]

      Para los siguientes ejercicios, considera a un astronauta en un gran planeta en otra galaxia. Para aprender más sobre la composición de este planeta, el astronauta deja caer un sensor electrónico en una trinchera profunda. El sensor transmite su posición vertical cada segundo en relación con la posición del astronauta. El resumen de los datos del sensor en caída se muestra en la siguiente tabla:

169. [T]

170. [T]

      Los siguientes problemas tratan con las ecuaciones de Holling tipo I, II y III. Estas ecuaciones describen el evento ecológico del crecimiento de una población de depredadores dada la cantidad de presas disponibles para el consumo:

171. [T] La ecuación de Holling tipo I se describe por \(f(x) = ax\), donde \(x\) es la cantidad de presas disponibles y \(a > 0\) es la tasa a la que el depredador se encuentra con la presa para su consumo.

172. [T] La ecuación de Holling tipo II se describe por

\[f(x) = \frac{ax}{n + x}\]

donde \(x\) es la cantidad de presas disponibles y \(a > 0\) es la tasa máxima de consumo del depredador.

173. [T] La ecuación de Holling tipo III se describe por

\[f(x) = \frac{ax^2}{n^2 + x^2}\]

donde \(x\) es la cantidad de presas disponibles y \(a > 0\) es la tasa máxima de consumo del depredador.

174. [T] Las poblaciones de la liebre americana (en miles) y el lince (en cientos) recolectadas durante 7 años desde 1937 hasta 1943 se muestran en la siguiente tabla. La liebre americana es la presa principal del lince: