Reglas de diferenciación

La regla del producto

Ahora que hemos examinado las reglas básicas, podemos comenzar a ver algunas de las reglas más avanzadas. Primero examinamos la derivada del producto de dos funciones. Aunque puede ser tentador suponer que la derivada del producto es el producto de las derivadas, de manera similar a las reglas de suma y diferencia, la regla del producto no sigue este patrón. Para ver por qué no podemos usar este patrón, considere la función f (x) = x², cuya derivada es f ′(x) = 2x y no d(x)/dx ⋅d(x)/dx = 1⋅1 = 1.

TEOREMA 3.3.4. Regla del producto

Sea f (x) y g(x) funciones diferenciables. Entonces Es decir, si Esto significa que la derivada de un producto de dos funciones es la derivada de la primera función multiplicada por la segunda función más la derivada de la segunda función multiplicada por la primera función.

Demostración: Comenzamos asumiendo que f (x) y g(x) son funciones diferenciables. En un punto clave de esta prueba, debemos utilizar el hecho de que, dado que g(x) es diferenciable, también es continua. En particular, usamos el hecho de que dado que g(x) es continua, limh → 0 g(x + h) = g(x). Al aplicar la definición por límite de la derivada a j(x) = f (x) g(x), obtenemosAl sumar y restar f (x) g(x + h) en el numerador, tenemosDespués de separar este cociente y aplicar la ley de suma de límites, la derivada se convierte en Reorganizando, obtenemosAl utilizar la continuidad de g(x), la definición de las derivadas de f (x) y g(x), y al aplicar las leyes límite, llegamos a la regla del producto,

Ejemplo ilustrativo 3.3_7. Aplicación de la regla del producto a funciones en un punto

Para j(x) = f (x) g(x), use la regla del producto para encontrar j′(2) si f (2) = 3, f ′ (2) = – 4, g(2) = 1, y g′(2) = 6.

Solución:

Como j(x) = f (x) g(x), j′(x) = f ′ (x) g(x) + g ′(x) f (x), y por lo tanto

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Ejemplo ilustrativo 3.3_8. Aplicación de la regla del producto a binomios

Para j(x) = (x² + 2) (3x³ − 5x), encuentre j′(x) aplicando la regla del producto. Verifique el resultado buscando primero el producto y luego diferenciándolo.

Solución:
Si establecemos f (x) = x² + 2 y g(x) = 3x³ − 5x, entonces f ′(x) = 2x y g′(x) = 9x² − 5. Así,

Simplificando, tenemos

Para verificar, vemos que j(x) = 3x⁵ + x³ − 10x y, en consecuencia, j′(x) = 15x⁴ + 3x² − 10. ◊

La regla del cociente

Una vez desarrollada y practicada la regla del producto, ahora consideramos diferenciar los cocientes de funciones. Como vemos en el siguiente teorema, la derivada del cociente no es el cociente de las derivadas; más bien, es la derivada de la función en el numerador multiplicada por la función en el denominador menos la derivada de la función en el denominador multiplicada por la función en el numerador, todo dividido por el cuadrado de la función en el denominador. Para comprender mejor por qué no podemos simplemente tomar el cociente de las derivadas, tenga en cuenta en el siguiente ejemplo que:

TEOREMA 3.3.5. La regla del cociente

Sean f (x) y g(x) funciones diferenciables. Entonces Es decir,

La prueba de la regla del cociente es muy similar a la prueba de la regla del producto, por lo que se omite aquí. En cambio, aplicamos esta nueva regla para encontrar derivadas en el siguiente ejemplo.

Ejemplo ilustrativo 3.3_9. Aplicando la regla del cociente

Usa la regla del cociente para encontrar la derivada de k(x) = 5x²/(4x + 3).

Solución:
Sea f (x) = 5x² y g(x) = 4x + 3. Por lo tanto, f ′(x) = 10x y g′(x) = 4. Sustituyendo en la regla del cociente, tenemos

Simplificando, obtenemos

◊

Ahora es posible usar la regla del cociente para extender la regla de la potencia para encontrar derivadas de funciones de la forma xᵏ donde k es un entero negativo.

TEOREMA 3.3.5. Regla de la potencia extendida

Si k es un entero negativo, entonces

Prueba Si k es un entero negativo, podemos establecer n = −k, de modo que n sea un entero positivo con k = −n. Dado que para cada entero positivo n, x⁻ⁿ = 1/xⁿ, ahora podemos aplicar la regla del cociente estableciendo f (x) = 1 y g(x) = xⁿ. En este caso, f ′(x) = 0 y g′(x) = nxⁿ⁻¹. Así,Simplificando, vemos que Finalmente, observe que dado que k = −n, al sustituir tenemos◊

Ejemplo ilustrativo 3.3_10. Usando la regla de la potencia extendida

Encontrar

Solución:
Al aplicar la regla de potencia extendida con k = −4, obtenemos

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Ejemplo ilustrativo 3.3_11. Uso de la regla de la potencia extendida y la regla del múltiplo constante

Usa la regla de la potencia extendida y la regla del múltiplo constante para encontrar la derivada de f(x) = 6/x².

Solución:

Puede parecer tentador usar la regla del cociente para encontrar esta derivada, y ciertamente no sería incorrecto hacerlo. Sin embargo, es mucho más fácil diferenciar esta función reescribiéndola primero como f (x) = 6x⁻².

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Combinación de reglas de diferenciación

Como hemos visto en los ejemplos de esta sección, rara vez sucede que se nos pida que apliquemos una sola regla de diferenciación para encontrar la derivada de una función determinada. En este punto, al combinar las reglas de diferenciación, podemos encontrar las derivadas de cualquier función polinómica o racional. Más adelante encontraremos combinaciones más complejas de reglas de diferenciación. Una buena regla general para usar cuando se aplican varias reglas es aplicar las reglas al revés del orden en que evaluaríamos la función.

Ejemplo ilustrativo 3.3_12. Combinación de reglas de diferenciación

Para k(x) = 3h(x) + x²g(x), encuentre k′(x).

Solución:

Encontrar esta derivada requiere la regla de la suma, la regla del múltiplo constante y la regla del producto:

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Ejemplo ilustrativo 3.3_13. Extendiendo la Regla del Producto

Para k(x) = f (x) g(x) h(x), exprese k′(x) en términos de f (x), g(x), h(x) y sus derivadas.

Solución:

Podemos pensar en la función k(x) como el producto de la función f (x) g(x) y la función h(x). Es decir, k(x) = (f (x) g(x)) ⋅h(x). Así,

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Ejemplo ilustrativo 3.3_14. Combinando la regla del cociente y la regla del producto

Parahalle h′(x).

Solución:

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Ejemplo ilustrativo 3.3_15.  Determinar dónde una función tiene una tangente horizontal

Determine los valores de x para los cuales f (x) = x³ − 7x² + 8x + 1 tiene una recta tangente horizontal.

Solución:

Para encontrar los valores de x para los cuales f (x) tiene una recta tangente horizontal, debemos resolver f ′(x) = 0. Ya que

debemos resolver (3x − 2) (x − 4) = 0. Así vemos que la función tiene rectas tangentes horizontales en x = 2/3 y x = 4 como se muestra en la siguiente gráfica.

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Ejemplo ilustrativo 3.3_16. Encontrar una velocidad

La posición de un objeto en un eje de coordenadas en el tiempo t viene dada por s(t) = t/(t² + 1). ¿Cuál es la velocidad inicial del objeto?

Solución:
Como la velocidad inicial es v(0) = s′(0), comience por encontrar s′(t) aplicando la regla del cociente:

Después de evaluar, vemos que v(0) = 1.  ◊