Derivadas y Continuidad

Ahora que podemos graficar la derivada de una función conociendo la gráfica de la función, examinemos el comportamiento de estas gráficas. Primero, consideramos la relación entre diferenciabilidad y continuidad. Veremos que si una función es diferenciable en un punto, debe ser continua allí; sin embargo, una función que es continua en un punto no necesita ser diferenciable en ese punto. De hecho, una función puede ser continua en un punto y no ser diferenciable en el punto por una de varias razones.

TEOREMA 3.1.1. La diferenciabilidad implica continuidad

Sea f (x) una función y a un número en su dominio. Si f (x) es diferenciable en a, entonces f es continua en a.

Demostración Si f (x) es diferenciable en a, entonces f ′(a) existe y Queremos mostrar que f (x) es continua en a mostrando que limx → a f (x) = f (a). Así,Por lo tanto, dado que f (a) está definido y limx → a f (x) = f (a), concluimos que f es continua en a. ◊

Acabamos de demostrar que la diferenciabilidad implica continuidad, pero ahora consideramos si la continuidad implica diferenciabilidad. Para determinar una respuesta a esta pregunta, examinamos la función valor absoluto f (x) = |x|. Esta función es continua en todas partes; sin embargo, f ‘(0) no está definida. Esta observación nos lleva a creer que la continuidad no implica diferenciabilidad. Exploremos más a fondo. Para f (x) = |x|,

Este límite no existe porque

Vea la Figura 3.2_4:

Consideremos algunas situaciones adicionales en las que una función continua no puede ser diferenciable. Considere la función

Por lo tanto, f ‘(0) no existe. Un vistazo rápido a la gráfica de f (x)  aclara la situación. La función tiene una recta tangente vertical en 0 (Figura 3.2_5).

La función

también tiene una derivada que exhibe un comportamiento interesante en 0. Vemos que

Este límite no existe, esencialmente porque las pendientes de las rectas secantes cambian continuamente de dirección a medida que se acercan a cero:

En resumen:

1. Observamos que si una función no es continua, no puede ser diferenciable, ya que cada función diferenciable debe ser continua. Sin embargo, si una función es continua, aún puede no ser diferenciable.
2. Vimos que f (x) = |x| no se pudo diferenciar en 0 porque el límite de las pendientes de las rectas tangentes a la izquierda y a la derecha no era el mismo. Visualmente, esto resultó en una esquina aguda en el gráfico de la función en 0. De esto concluimos que para ser diferenciable en un punto, una función debe ser “suave” en ese punto.
3. Como vimos en el ejemplo de una función no puede diferenciarse en un punto donde hay una recta tangente vertical.
4. Como lo vimos con una función puede no ser diferenciable en un punto de formas más complicadas también.

Ejemplo ilustrativo 3.2_4. Una función por partes que es continua y diferenciable

Una empresa de juguetes quiere diseñar una pista para un automóvil de juguete que comience a lo largo de una curva parabólica y luego se convierta en una línea recta (Figura 3.2_7). La función que describe la forma que debe tener la pista es 

donde x y f (x) están en pulgadas. Para que el automóvil se mueva suavemente a lo largo de la pista, la función f (x) debe ser continua y diferenciable en −10. Encuentre valores de b y c que hagan que f (x) sea continua y diferenciable.

Solución:
Para que la función sea continua en x = −10, lim_{x → 10−} f (x) = f (−10). Por lo tanto, ya que

y  f (−10) = 5, debemos tener 10 − 10b + c = 5. De manera equivalente, tenemos que c = 10b − 5.
Para que la función sea diferenciable en −10,

debe existir Dado que f (x) se define usando diferentes reglas a la derecha y a la izquierda, debemos evaluar este límite desde la derecha y la izquierda y luego establecerlos iguales entre sí:

también tenemos que

Esto nos da b − 2 = −1/4. Así b = 7/4  y  c = 10 (7/4) −5 = 25/2. ◊

Derivadas de orden superior

La derivada de una función es en sí misma una función, por lo que podemos encontrar la derivada de una derivada. Por ejemplo, la derivada de una función de posición es la tasa de cambio de posición o velocidad. La derivada de la velocidad es la tasa de cambio de velocidad, que es la aceleración. La nueva función obtenida al diferenciar la derivada se llama la segunda derivada. Además, podemos continuar tomando derivadas para obtener la tercera derivada, cuarta derivada, etc. Colectivamente, estos se denominan derivadas de orden superior. La notación para las derivadas de orden superior de y = f (x) se puede expresar en cualquiera de las siguientes formas:

Es interesante notar que la notación para la segunda derivada

puede ser visto como un simbolismo par expresar

de una manera más compacta. Análogamente

Ejemplo ilustrativo 3.2_5. Hallando una segunda derivada

Para f (x) = 2x² − 3x + 1, encuentre f ″(x).

Solución:

Primero encuentra f ′(x):

Luego, encuentre f ″(x) tomando la derivada de f ′(x) = 4x − 3:

◊

Ejemplo ilustrativo 3.2_65. Encontrar una aceleración

La posición de una partícula a lo largo de un eje de coordenadas en el tiempo t (en segundos) viene dada por s (t)= 3t² − 4t + 1 (en metros). Encuentre la función que describe su aceleración en el tiempo t.

Solución:
Como v(t) = s′(t)  y  a(t) = v′(t) = s″(t), comenzamos por calcular la derivada de s(t):

Luego, calculamos la segunda derivada de s(t):

De tal manera que, la aceleración de esta partícula es: 

a = 6 m/s². ◊