| 3.2 La derivada como función |
Ejercicios propuestos para el Capítulo 3.2
Para los siguientes ejercicios, utiliza la definición de una derivada para encontrar f ′(x):
54. \(f(x) = 6\)
55. \(f(x) = 2 – 3x\)
56. \(f(x) = \frac{2x}{7} + 1\)
57. \(f(x) = 4x^2\)
58. \(f(x) = 5x – x^2\)
59. \(f(x) = \sqrt{2x}\)
60. \(f(x) = \sqrt{x – 6}\)
61. \(f(x) = \frac{9}{x}\)
62. \(f(x) = x + \frac{1}{x}\)
63. \(f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}\)
Para los siguientes ejercicios, usa la gráfica de y = f (x) para esbozar el gráfico de su derivada f ′(x):
64.
65.
66.
67.
Para los siguientes ejercicios, el límite dado representa la derivada de una función y = f (x) en x = a. Encuentra f (x) y a:
68. \(\lim_{h\rightarrow0}\frac{(1+h)^{2/3}-1}{h}\)
69. \(\lim_{h\rightarrow0}\frac{[3(2+h)^{2}+2]-14}{h}\)
70. \(\lim_{h\rightarrow0}\frac{\cos(\pi+h)+1}{h}\)
71. \(\lim_{h\rightarrow0}\frac{(2+h)^{4}-16}{h}\)
72. \(\lim_{h\rightarrow0}\frac{[2(3+h)^{2}-(3+h)]-15}{h}\)
73. \(\lim_{h\rightarrow0}\frac{e^h-1}{h}\)
Para las siguientes funciones:
a. Dibuja la gráfica y
b. Usa la definición de una derivada para mostrar que la función no es diferenciable en x = 1.
74. \(f(x) = \begin{cases} 2\sqrt{x}, & 0 \le x \le 1 \\ 3x – 1, & x > 1 \end{cases}\)
75. \(f(x) = \begin{cases} 3, & x < 1 \\ 3x, & x \ge 1 \end{cases}\)
76. \(f(x) = \begin{cases} -x^2 + 2, & x \le 1 \\ x, & x > 1 \end{cases}\)
77. \(f(x) = \begin{cases} 2x, & x \le 1 \\ \frac{2}{x}, & x > 1 \end{cases}\)
Para las siguientes gráficas,
a. determine para qué valores de \(x = \mathit{a}\) el \(\lim_{x \to \mathit{a}} f(x)\) existe pero \(f\) no es continua en \(x = \mathit{a}\), y
b. determine para qué valores de \(x = \mathit{a}\) la función es continua pero no diferenciable en \(x = \mathit{a}\).
78.
79.
80. Usa la gráfica para evaluar a. \(f'(-0.5)\), b. \(f'(0)\), c. \(f'(1)\), d. \(f'(2)\), y e. \(f'(3)\), si existe.
Para las siguientes funciones, use \[f^{\prime\prime}(x) = \lim_{h\rightarrow0}\frac{f^{\prime}(x+h)-f^{\prime}(x)}{h}\] para encontrar \(f^{\prime\prime}(x)\):
81. \(f(x) = 2 – 3x\), \(f^{\prime\prime}(x) = 0\)
82. \(f(x) = 4x^2\), \(f^{\prime\prime}(x) = 8\)
83. \(f(x) = x + \frac{1}{x}\), \(f^{\prime\prime}(x) = \frac{2}{x^3}\)
Para los siguientes ejercicios, use una calculadora para graficar \(f(x)\). Determine la función \(f'(x)\), luego use una calculadora para graficar \(f'(x)\):
84. [T] \(f(x) = -\frac{5}{x}\)
85. [T] \(f(x) = 3x^2 + 2x + 4\)
86. [T] \(f(x) = \sqrt{x} + 3x\)
87. [T] \(f(x) = \frac{1}{\sqrt{2x}}\)
88. [T] \(f(x) = 1 + x + \frac{1}{x}\)
89. [T] \(f(x) = x^3 + 1\)
Para los siguientes ejercicios, describa lo que representan las dos expresiones en términos de cada una de las situaciones dadas. Asegúrese de incluir las unidades.
a. \(\frac{f(x+h) – f(x)}{h}\)
b. \(f'(x) = \lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h) – f(x)}{h}\)
90. \(P(x)\) denota la población de una ciudad en el tiempo \(x\) en años.
91. \(C(x)\) denota la cantidad total de dinero (en miles de dólares) gastado en concesiones por los clientes en un parque de atracciones.
92. \(R(x)\) denota el coste total (en miles de dólares) de la fabricación de \(x\) radio relojes.
93. \(g(x)\) denota la calificación (en puntos porcentuales) obtenida en un examen, dadas \(x\) horas de estudio.
94. \(B(x)\) denota el coste (en dólares) de un libro de texto de sociología en las librerías universitarias de los Estados Unidos en \(x\) años desde 1990.
95. \(p(x)\) denota la presión atmosférica en Torrs a una altitud de \(x\) pies.
96. Esboza la gráfica de una función \(y = f(x)\) con todas las siguientes propiedades:
a. \(f'(x) > 0\) para \(-2 \le x < 1\)
b. \(f'(2) = 0\)
c. \(f'(x) > 0\) para \(x > 2\)
d. \(f(2) = 2\) y \(f(0) = 1\)
e. \(\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x) = 0\) y \(\lim_{x\rightarrow\infty}f(x) = \infty\)
f. \(f'(1)\) no existe.
97. Suponga que la temperatura \(T\) en grados Fahrenheit a una altura \(x\) en pies sobre el suelo está dada por \(y = T(x)\).
a. Dé una interpretación física, con unidades, de \(T'(x)\).
b. Si sabemos que \(T'(1000) = -0.1\), explique el significado físico.
98. Suponga que la ganancia total de una compañía es \(y = P(x)\) miles de dólares cuando se venden \(x\) unidades de un artículo.
a. ¿Qué mide \(\frac{P(b) – P(a)}{b – a}\) para \(0 < a < b\), y cuáles son las unidades?
b. ¿Qué mide \(P'(x)\), y cuáles son las unidades?
c. Suponga que \(P'(30) = 5\), ¿cuál es el cambio aproximado en la ganancia si el número de artículos vendidos aumenta de 30 a 31?
99. La gráfica en la siguiente figura modela el número de personas \(N(t)\) que han contraído gripe \(t\) semanas después de su brote inicial en un pueblo con una población de 50,000 habitantes.
a. Describa qué representa \(N'(t)\) y cómo se comporta a medida que aumenta \(t\).
b. ¿Qué nos dice la derivada sobre cómo se ve afectado este pueblo por el brote de gripe?
Para los siguientes ejercicios, utiliza la siguiente tabla, que muestra la altura h del cohete Saturno V de la misión Apolo 11, t segundos después del lanzamiento.
100. ¿Cuál es el significado físico de \(h'(t)\)? ¿Cuáles son las unidades?
101. [T] Construye una tabla de valores para \(h'(t)\) y grafica tanto \(h(t)\) como \(h'(t)\) en la misma gráfica. (Pista: para los puntos interiores, estima tanto el límite izquierdo como el límite derecho y promedialos. Un punto interior de un intervalo I es un elemento de I que no es un punto extremo de I.)
102. [T] El mejor ajuste lineal a los datos está dado por \(H(t) = 7.229t – 4.905\), donde \(H\) es la altura del cohete (en metros) y \(t\) es el tiempo transcurrido desde el despegue. A partir de esta ecuación, determina \(H'(t)\). Grafica \(H(t)\) con los datos dados y, en un plano de coordenadas separado, grafica \(H'(t)\).
103. [T] El mejor ajuste cuadrático a los datos está dado por \(G(t) = 1.429t^2 + 0.0857t – 0.1429\), donde \(G\) es la altura del cohete (en metros) y \(t\) es el tiempo transcurrido desde el despegue. A partir de esta ecuación, determina \(G'(t)\). Grafica \(G(t)\) con los datos dados y, en un plano de coordenadas separado, grafica \(G'(t)\).
104. [T] El mejor ajuste cúbico a los datos está dado por \(F(t) = 0.2037t^3 + 2.956t^2 – 2.705t + 0.4683\), donde \(F\) es la altura del cohete (en m) y \(t\) es el tiempo transcurrido desde el despegue. A partir de esta ecuación, determina \(F'(t)\). Grafica \(F(t)\) con los datos dados y, en un plano de coordenadas separado, grafica \(F′′(t)\). ¿La función lineal, cuadrática o cúbica se ajusta mejor a los datos?
105. Usando los mejores ajustes lineal, cuadrático y cúbico a los datos, determina qué son \(H′′(t)\), \(G′′(t)\) y \(F′′(t)\). ¿Cuáles son los significados físicos de \(H′′(t)\), \(G′′(t)\) y \(F′′(t)\), y cuáles son sus unidades?