Problemas de valor inicial
Observamos técnicas para integrar una gran variedad de funciones que involucran productos, cocientes y composiciones más adelante en el texto. Aquí pasamos a un uso común para los antiderivadas que surge a menudo en muchas aplicaciones: resolver ecuaciones diferenciales.
Una ecuación diferencial es una ecuación que relaciona una función desconocida y una o más de sus derivadas. La ecuación
es un ejemplo simple de una ecuación diferencial. Resolver esta ecuación significa encontrar una función y cuya primera derivada sea igual a f(x). Por lo tanto, las soluciones de esta ecuación son las antiderivadas de f. Si F es una antiderivada de f, cada función de la forma y = F (x) + C es una solución de esa ecuación diferencial. Por ejemplo, las soluciones de
son dadas por
A veces estamos interesados en determinar si una curva de solución particular pasa por un cierto punto (x0, y0), es decir, y(x0) = y0. El problema de encontrar una función y que satisfaga una ecuación diferencial
con la condición adicional
es un ejemplo de un problema de valor inicial. La condición y(x0) = y0 se conoce como condición inicial.
Por ejemplo, buscando una función y que satisfaga la ecuación diferencial
y la condición inicial
es un ejemplo de un problema de valor inicial. Dado que las soluciones de la ecuación diferencial son
para encontrar una función y que también satisfaga la condición inicial, necesitamos encontrar C tal que
A partir de esta ecuación, vemos que C = 3, y concluimos que
es la solución de este problema de valor inicial como se muestra en la siguiente gráfica.
Los problemas de valor inicial surgen en muchas aplicaciones como veremos en los videos sobre los siguientes ejercicios resueltos.
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