Ejercicios propuestos para el Capítulo 3.6
Para los siguientes ejercicios, dados \(y = f(u)\) y \(u = g(x)\), encuentra \(\frac{dy}{dx}\) usando la notación de Leibniz para la regla de la cadena:
\[\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx}.\]214. \(y = 3u – 6, \quad u = 2x^2\)
215. \(y = 6u^3, \quad u = 7x – 4\)
216. \(y = \sin u, \quad u = 5x – 1\)
217. \(y = \cos u, \quad u = \frac{-x}{8}\)
218. \(y = \tan u, \quad u = 9x + 2\)
219. \(y = \sqrt{4u + 3}; \quad u = x^2 – 6x\)
Para cada uno de los siguientes ejercicios,
a. descompón cada función en la forma \(y = f(u)\) y \(u = g(x)\), y
b. encuentra \(\frac{dy}{dx}\) como una función de \(x\):
220. \(y = (3x – 2)^6\)
221. \(y = (3x^2 + 1)^3\)
222. \(y = \sin^5(x)\)
223. \(y = \left(\frac{x}{7} + \frac{7}{x}\right)^7\)
224. \(y = \tan(\sec x)\)
225. \(y = \csc(\pi x + 1)\)
226. \(y = \cot^2 x\)
227. \(y = -6(\sin x)^{-3}\)
Para los siguientes ejercicios, encuentra \(\frac{dy}{dx}\) para cada función:
228. \(y = (3x^2 + 3x – 1)^4\)
229. \(y = (5 – 2x)^{-2}\)
230. \(y = \cos^3(\pi x)\)
231. \(y = (2x^3 – x^2 + 6x + 1)^3\)
232. \(y = \frac{1}{\sin^2(x)}\)
233. \(y = (\tan x + \sin x)^{-3}\)
234. \(y = x^2 \cos^4 x\)
235. \(y = \sin(\cos 7x)\)
236. \(y = \sqrt{6 + \sec(\pi x^2)}\)
237. \(y = \cot^3(4x + 1)\)
238. Sea \(y = [f(x)]^2\) y suponga que \(f'(1) = 4\) y \(\frac{dy}{dx} = 10\) para \(x = 1\). Encuentra \(f(1)\).
239. Sea \(y = [f(x) + 5x^2]^4\) y suponga que \(f(-1) = -4\) y \(\frac{dy}{dx} = 3\) cuando \(x = -1\). Encuentra \(f'(-1)\).
240. Sea \(y = [f(u) + 3x]^2\) y \(u = x^3 – 2x\). Si \(f(4) = 6\) y \(\frac{dy}{dx} = 18\) cuando \(x = 2\), encuentra \(f'(4)\).
241. [T] Encuentra la ecuación de la recta tangente a \(y = -\sin\left(\frac{x}{2}\right)\) en el origen. Usa una calculadora para graficar la función y la recta tangente juntas.
242. [T] Encuentra la ecuación de la recta tangente a
\[y = \left(3x + \frac{1}{x}\right)^2\]en el punto \((1, 16)\). Usa una calculadora para graficar la función y la recta tangente juntas.
243. Encuentra las coordenadas \(x\) en las que la recta tangente a
\[y = \left(x – \frac{6}{x}\right)^8\]es horizontal.
244. [T] Encuentra una ecuación de la recta que es normal a
\[g(\theta) = \sin^2(\pi\theta)\]en el punto \(\left(\frac{1}{4}, \frac{1}{2}\right)\). Usa una calculadora para graficar la función y la recta normal juntas.
Para los siguientes ejercicios, usa la información en la siguiente tabla para encontrar h′(a) en el valor dado de a:
245. \(h(x) = f(g(x)); \quad a = 0\)
246. \(h(x) = g(f(x)); \quad a = 0\)
247. \(h(x) = (x^4 + g(x))^{-2}; \quad a = 1\)
248. \(h(x) = \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)^2; \quad a = 3\)
249. \(h(x) = f(x + f(x)); \quad a = 1\)
250. \(h(x) = (1 + g(x))^3; \quad a = 2\)
251. \(h(x) = g(2 + f(x^2)); \quad a = 1\)
252. \(h(x) = f(g(\sin x)); \quad a = 0\)
253. [T] La función de posición de un tren de carga está dada por \(s(t) = 100(t + 1)^{-2}\) con \(s\) en metros y \(t\) en segundos. En el tiempo \(t = 6\) s, encuentra el/la
a. velocidad y
b. aceleración del tren.
c. Usando a. y b., ¿el tren está acelerando o desacelerando?
254. [T] Una masa que cuelga de un resorte vertical está en movimiento armónico simple dado por la siguiente función de posición, donde \(t\) se mide en segundos y \(s\) en pulgadas:
\[s(t) = -3\cos\left(\pi t + \frac{\pi}{4}\right).\]a. Determina la posición del resorte en \(t = 1.5\) s.
b. Encuentra la velocidad del resorte en \(t = 1.5\) s.
255. [T] El costo total para producir \(x\) cajas de galletas Thin Mint Girl Scout es \(C\) dólares, donde
\[C = 0.0001x^3 – 0.02x^2 + 3x + 300.\]En \(t\) semanas, la producción se estima en \(x = 1600 + 100t\) cajas.
a. Encuentra el costo marginal \(C'(x)\).
b. Usa la notación de Leibniz para la regla de la cadena,
\[\frac{dC}{dt} = \frac{dC}{dx} \cdot \frac{dx}{dt}\]para encontrar la tasa con respecto al tiempo \(t\) a la que está cambiando el costo.
c. Usa b. para determinar qué tan rápido están aumentando los costos cuando \(t = 2\) semanas. Incluye unidades con la respuesta.
256. [T] La fórmula para el área de un círculo es \(A = \pi r^2\), donde \(r\) es el radio del círculo. Suponga que un círculo se está expandiendo, lo que significa que tanto el área \(A\) como el radio (en pulgadas) se están expandiendo.
a. Suponga
\[r = 2 – \frac{100}{(t+7)^2}\]donde \(t\) es el tiempo en segundos. Use la regla de la cadena
\[\frac{dA}{dt} = \frac{dA}{dr} \cdot \frac{dr}{dt}\]para encontrar la tasa a la que se está expandiendo el área.
b. Use a. para encontrar la tasa a la que se está expandiendo el área en \(t = 4\) s.
257. [T] La fórmula para el volumen de una esfera es \(S = \frac{4}{3}\pi r^3\), donde \(r\) (en pies) es el radio de la esfera. Suponga que una bola de nieve esférica se está derritiendo bajo el sol.
a. Suponga
\[r = \frac{1}{(t+1)^2} – \frac{1}{12}\]donde \(t\) es el tiempo en minutos. Use la regla de la cadena
\[\frac{dS}{dt} = \frac{dS}{dr} \cdot \frac{dr}{dt}\]para encontrar la tasa a la que se está derritiendo la bola de nieve.
b. Use a. para encontrar la tasa a la que está cambiando el volumen en \(t = 1\) min.
258. [T] La temperatura diaria en grados Fahrenheit de Phoenix en verano se puede modelar con la función
\[T(x) = 94 – 10\cos\left[\frac{\pi}{12}(x – 2)\right]\]donde \(x\) son las horas después de la medianoche. Encuentre la tasa a la que está cambiando la temperatura a las 4 p.m.
259. [T] La profundidad (en pies) del agua en un muelle cambia con la subida y bajada de las mareas. La profundidad se modela con la función
\[D(t) = 5\sin\left(\frac{\pi}{6}t – \frac{7\pi}{6}\right) + 8,\]donde \(t\) es el número de horas después de la medianoche. Encuentre la tasa a la que está cambiando la profundidad a las 6 a.m.