Coordenadas polares

ECUACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS POLARES

Coordenadas polares: Objetivos de aprendizaje

8.3.1. Ubique puntos en un plano usando coordenadas polares.
8.3.2. Convierte puntos entre coordenadas rectangulares y polares.
8.3.3. Dibuja curvas polares a partir de ecuaciones dadas.
8.3.4. Convierte ecuaciones entre coordenadas rectangulares y polares.
8.3.5. Identificar la simetría en curvas polares y ecuaciones.

       El sistema de coordenadas rectangulares (o plano cartesiano) proporciona un medio para asignar puntos a pares ordenados y pares ordenados a puntos. Esto se llama mapeo uno a uno de puntos en el plano a pares ordenados. El sistema de coordenadas polares proporciona un método alternativo para asignar puntos a pares ordenados. En esta sección vemos que en algunas circunstancias, las coordenadas polares pueden ser más útiles que las coordenadas rectangulares.

Definición de coordenadas polares

Para encontrar las coordenadas de un punto en el sistema de coordenadas polares, considere la figura 8.3_1. El punto P tiene coordenadas cartesianas (x, y). El segmento de recta que conecta el origen con el punto P mide la distancia desde el origen hasta P y tiene una longitud r. El ángulo entre el eje x positivo y el segmento de recta mide θ. Esta observación sugiere una correspondencia natural entre el par de coordenadas (x, y) y los valores r y θ. Esta correspondencia es la base del sistema de coordenadas polares. Tenga en cuenta que cada punto en el plano cartesiano tiene dos valores (de ahí el término par ordenado) asociados. En el sistema de coordenadas polares, cada punto también tiene dos valores asociados: r y θ.

(Figura 8.3_1 Un punto arbitrario en el plano cartesiano.)

Usando trigonometría de triángulo rectángulo, las siguientes ecuaciones son verdaderas para el punto P:

cosθ = x/r  entonces  x = rcosθ

senθ = y/r  entonces  y = rsenθ.

Además,

r² = x² + y²  y  tanθ = y/x.

Por tanto, cada punto (x, y) del sistema de coordenadas cartesiano se puede representar como un par ordenado (r, θ) en el sistema de coordenadas polares. La primera coordenada se llama coordenada radial y la segunda coordenada se llama coordenada angular. Cada punto del plano se puede representar de esta forma.

Tenga en cuenta que la ecuación tanθ = y/x tiene un número infinito de soluciones para cualquier par ordenado (x, y). Sin embargo, si restringimos las soluciones a valores entre 0 y 2π, podemos asignar una solución única al cuadrante en el que se encuentra el punto original (x, y). Entonces el valor correspondiente de r es positivo, entonces r² = x² + y².

TEOREMA 8.3.1 Conversión de puntos entre sistemas de coordenadas

Dado un punto P en el plano con coordenadas cartesianas (x, y) y coordenadas polares (r, θ), las siguientes fórmulas de conversión son válidas: x = rcosθ  y  y = rsenθ, r² = x² + y²  y  tanθ = y/x. Estas fórmulas se pueden utilizar para convertir de coordenadas rectangulares a polares o de polares a rectangulares.

Ejemplo ilustrativo 8.3_1  Conversión entre coordenadas rectangulares y polares

Solución:

a. Utilice x = 1  y  y = 1 en las ecuaciones  r² = x² + y²  y  tanθ = y/x:

r² = 1² + 1²  y  tanθ = 1/1 = 1;

 r = √2  y  θ = π/4

Por lo tanto, este punto se puede representar como (√2, π/4) en coordenadas polares.

 

b. Utilice x = −3  y  y = 4 en las ecuaciones r² = x² + y²  y  tanθ = y/x:

r² = (−3)² + 4²  y  tanθ = 4/(−3) = −4/3;

 r = 5  y  θ = −arctan(4/3) ≈ 2.21

Por lo tanto, este punto se puede representar como (5, 2.21) en coordenadas polares.

 

c. Utilice x = 0  y  y = 3 en las ecuaciones r² = x² + y²  y  tanθ = y/x:

r² = 0² + 3²  y  tanθ = 3/0;

 r = 3 

La aplicación directa de la segunda ecuación conduce a la división por cero. Graficar el punto (0, 3) en el sistema de coordenadas rectangulares revela que el punto está ubicado en el eje y positivo. El ángulo entre el eje x positivo y el eje y positivo es π/2. Por lo tanto, este punto se puede representar como (3, π/2) en coordenadas polares.

 

d. Utilice x = 5√3  y  y = −5 en las ecuaciones r² = x² + y²  y  tanθ = y/x:

r² = (5√3)² + (−5)²  y  tanθ = −5/5√3 = −√3/3,

r² = 75 + 25  y  θ = arctan(−√3/3);

 r = 10  y  θ = −π/6.

Por lo tanto, este punto se puede representar como (10, −π/6) en coordenadas polares.

 

e. Utilice r = 3  y  θ = π/3 en las ecuaciones x = rcosθ  y  y = rsenθ:

x = 3cos(π/3)  y  y = 3sen(π/3),

x = 3(1/2) = 3/2  y  y = 3(√3/2) = 3√3/2

Por lo tanto, este punto se puede representar como (3/2, 3√3/2) en coordenadas rectangulares.

 

f. Utilice r = 2  y  θ = 3π/2 en las ecuaciones x = rcosθ  y  y = rsenθ:

x = 2cos(3π/2)  y  y = 2sen(3π/2),

x = 2(0) = 0  y  y = 2(−1) = −2

Por lo tanto, este punto se puede representar como (0, −2) en coordenadas rectangulares.

 

g. Utilice r = 6  y  θ = −5π/6 en las ecuaciones x = rcosθ  y  y = rsenθ:

x = 6cos(−5π/6)  y  y = 6sen(−5π/6),

x = 6(−√3/2) = −3√3  y  y = 6(−1/2) = −3

Por lo tanto, este punto se puede representar como (−3√3, −3) en coordenadas rectangulares.

Ejercicio de control 8.3_1

Convierta (−8, −8) en coordenadas polares y (4, 2π/3) en coordenadas rectangulares.