Cálculo de curvas paramétricas

ECUACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS POLARES

Ejercicios propuestos del Capítulo 8.1

Para los siguientes ejercicios, cada conjunto de ecuaciones paramétricas representa una recta. Sin eliminar el parámetro, encuentre la pendiente de cada recta.

62. x = 3 + ty = 1 − t
63. x = 8 + 2t y = 1

64. x = 4 − 3ty = −2 + 6t
65. x = −5t + 7,  y = 3t − 1

Para los siguientes ejercicios, determine la pendiente de la recta tangente, luego encuentre la ecuación de la recta tangente en el valor dado del parámetro.

66. x = 3senty = 3costt = π/4
67. x = costy = 8sentt = π/2
68. x = 2ty = t³,  t = −1

69. x = t + 1/t, y = t − 1/t, t = 1
70. x = √t, y = 2t, t = 4

Para los siguientes ejercicios, encuentre todos los puntos de la curva que tengan la pendiente dada.

71. x = 4cost, y = 4sent, pendiente = 0.5
72. x = 2cost, y = 8sent, pendiente = −1

73. x = t + 1/t, y = t − 1/t, pendiente = 1
74. x = 2 + √t, y = 2 − 4t, pendiente = 0

Para los siguientes ejercicios, escriba la ecuación de la recta tangente en coordenadas cartesianas para el parámetro t dado.

78. Para x = sen(2t), y = 2sent donde 0 ≤ t < 2π. Encuentre todos los valores de t en los que existe una recta tangente horizontal.

79. Para x = sen(2t), y = 2sent donde 0 ≤ t < 2π. Encuentre todos los valores de t en los que existe una recta tangente vertical.

80. Encuentra todos los puntos en la curva x = 4cost, y = 4sent que tienen la pendiente de 1/2.

81. Encuentre dy/dx para x = sent, y = cost.

82. Encuentra la ecuación de la recta tangente a x = sent, y = cost en t = π/4.

83. Para la curva x = 4t, y = 3t − 2, encuentre la pendiente y la concavidad de la curva en t = 3.

84. Para la curva paramétrica cuya ecuación es x = 4cosθ, y = 4senθ, encuentre la pendiente y la concavidad de la curva en θ = π/4.

85. Encuentre la pendiente y la concavidad de la curva cuya ecuación es x = 2 + secθ, y = 1 + 2tanθ en θ = π/6.

86. Encuentre todos los puntos en la curva x = t + 4, y = t³ − 3t en los que hay tangentes verticales y horizontales.

87. Encuentre todos los puntos de la curva x = secθ, y = tanθ en los que existen tangentes horizontales y verticales.

 

Para los siguientes ejercicios, encuentre d²y / dx².

88. x = t⁴ − 1, y = tt²
89. x = sen(πt), y = cos(πt)

Para los siguientes ejercicios, busque puntos en la curva en los que la recta tangente sea horizontal o vertical.

91. x = t(t² − 3), y = 3(t² − 3)

92. x = 3t/(1 + t³), y = 3t²/(1 + t³)

Para los siguientes ejercicios, encuentre dy/dx en el valor del parámetro.

93. x = costo, y = sent, t = 3π / 4

94. x = √t, y = 2t + 4, t = 9

95. x = 4cos(2πs), y = 3sen(2πs), s = −1/4

Para los siguientes ejercicios, encuentre d²y/dx² en el punto dado sin eliminar el parámetro.

96. x = 12t², y = 13t³, t = 2

97. x = √t, y = 2t + 4, t = 1

98. Encuentre t intervalos en los que la curva x = 3t², y = t³ − t es cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo.

99. Determine la concavidad de la curva x = 2t + lnt, y = 2t − lnt.

100. Dibuje y encuentre el área debajo de un arco de la cicloide x = r(θ − senθ), y = r(1 − cosθ).

101. Encuentre el área limitada por la curva x = cost,  y = eͭ, 0 ≤ t ≤ π/2 y las rectas y = 1 y x = 0.

102. Calcula el área encerrada por la elipse x = acosθ, y = bsenθ, 0 ≤ θ < 2π.

103. Encuentre el área de la región limitada por x = 2sen2θ, y = 2sen2θtanθ, para 0 ≤  θ≤ π/2.

Para los siguientes ejercicios, encuentre el área de las regiones limitadas por las curvas paramétricas y los valores indicados del parámetro.

104. x = 2cotθ, y = 2sen2θ, 0 ≤ θ ≤ π

105. [T] x = 2acostacos(2t), y = 2asentasen(2t), 0 ≤ t < 2π

106. [T] x = asen(2t), y = bsen(t), 0 ≤ t < 2π (el “reloj de arena”)

107. [T] x = 2acost asen(2t), y = bsent, 0 ≤ t < 2π (la “lágrima”)

Para los siguientes ejercicios, encuentre la longitud del arco de la curva en el intervalo indicado del parámetro.

108. x = 4t + 3, y = 3t − 2,  0 ≤ t ≤ 2

109. x = (1/3)t³, y = (1/2)t²,  0 ≤ t ≤ 1

112. x = eͭ cost, y = eͭ sent,  0 ≤ t ≤ π/2 (expresa la respuesta como un decimal redondeado a tres lugares)

113. x = acos³θ, y = asen³θ en el intervalo [0, 2π) (el hipocicloide)

114. Calcula la longitud de un arco de la cicloide x = 4(t − sent), y = 4(1 − cost).

115. Encuentre la distancia recorrida por una partícula con posición (x, y) cuando t varía en el intervalo de tiempo dado: x = sen²t, y = cos²t,  0 ≤ t ≤ 3π.

116. Encuentre la longitud de un arco de la cicloide x = θ − senθ,  y = 1 − cosθ.

 

117. Muestre que la longitud total de la elipse x = 4senθ, y = 3cosθ es

donde e = c/a  y  c = √(a² − b²).

118. Halla la longitud de la curva

Para los siguientes ejercicios, encuentre el área de la superficie obtenida al rotar la curva dada sobre el eje x.

119. x = t³, y = t²,  0 ≤ t ≤ 1

120. x = acos³θ, y = asen³θ,  0 ≤ θ ≤ π/2

121. [T] Use un CAS para encontrar el área de la superficie generada al rotar x = t + t³, y = t − 1/t², 1 ≤ t ≤ 2 sobre el eje x. (de la respuesta con tres decimales de aproximación).

122. Encuentre el área de superficie obtenida al rotar x = 3t², y = 2t³, 0 ≤ t ≤ 5 alrededor del eje y.

123. Encuentre el área de la superficie generada al hacer girar x = t², y = 2t, 0 ≤ t ≤ 4 alrededor del eje x.

124. Encuentre el área de superficie generada al hacer girar x = t², y = 2t²,  0 ≤ t ≤ 1 alrededor del eje y.

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