ECUACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS POLARES
Ejercicios propuestos del Capítulo 8.1
Para los siguientes ejercicios, cada conjunto de ecuaciones paramétricas representa una recta. Sin eliminar el parámetro, encuentre la pendiente de cada recta.
62. x = 3 + t, y = 1 − t
63. x = 8 + 2t, y = 1
64. x = 4 − 3t, y = −2 + 6t
65. x = −5t + 7, y = 3t − 1
Para los siguientes ejercicios, determine la pendiente de la recta tangente, luego encuentre la ecuación de la recta tangente en el valor dado del parámetro.
66. x = 3sent, y = 3cost, t = π/4
67. x = cost, y = 8sent, t = π/2
68. x = 2t, y = t³, t = −1
69. x = t + 1/t, y = t − 1/t, t = 1
70. x = √t, y = 2t, t = 4
Para los siguientes ejercicios, encuentre todos los puntos de la curva que tengan la pendiente dada.
71. x = 4cost, y = 4sent, pendiente = 0.5
72. x = 2cost, y = 8sent, pendiente = −1
73. x = t + 1/t, y = t − 1/t, pendiente = 1
74. x = 2 + √t, y = 2 − 4t, pendiente = 0
Para los siguientes ejercicios, escriba la ecuación de la recta tangente en coordenadas cartesianas para el parámetro t dado.
78. Para x = sen(2t), y = 2sent donde 0 ≤ t < 2π. Encuentre todos los valores de t en los que existe una recta tangente horizontal.
79. Para x = sen(2t), y = 2sent donde 0 ≤ t < 2π. Encuentre todos los valores de t en los que existe una recta tangente vertical.
80. Encuentra todos los puntos en la curva x = 4cost, y = 4sent que tienen la pendiente de 1/2.
81. Encuentre dy/dx para x = sent, y = cost.
82. Encuentra la ecuación de la recta tangente a x = sent, y = cost en t = π/4.
83. Para la curva x = 4t, y = 3t − 2, encuentre la pendiente y la concavidad de la curva en t = 3.
84. Para la curva paramétrica cuya ecuación es x = 4cosθ, y = 4senθ, encuentre la pendiente y la concavidad de la curva en θ = π/4.
85. Encuentre la pendiente y la concavidad de la curva cuya ecuación es x = 2 + secθ, y = 1 + 2tanθ en θ = π/6.
86. Encuentre todos los puntos en la curva x = t + 4, y = t³ − 3t en los que hay tangentes verticales y horizontales.
87. Encuentre todos los puntos de la curva x = secθ, y = tanθ en los que existen tangentes horizontales y verticales.
Para los siguientes ejercicios, encuentre d²y / dx².
88. x = t⁴ − 1, y = t − t²
89. x = sen(πt), y = cos(πt)
Para los siguientes ejercicios, busque puntos en la curva en los que la recta tangente sea horizontal o vertical.
91. x = t(t² − 3), y = 3(t² − 3)
92. x = 3t/(1 + t³), y = 3t²/(1 + t³)
Para los siguientes ejercicios, encuentre dy/dx en el valor del parámetro.
93. x = costo, y = sent, t = 3π / 4
94. x = √t, y = 2t + 4, t = 9
95. x = 4cos(2πs), y = 3sen(2πs), s = −1/4
Para los siguientes ejercicios, encuentre d²y/dx² en el punto dado sin eliminar el parámetro.
96. x = 12t², y = 13t³, t = 2
97. x = √t, y = 2t + 4, t = 1
98. Encuentre t intervalos en los que la curva x = 3t², y = t³ − t es cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo.
99. Determine la concavidad de la curva x = 2t + lnt, y = 2t − lnt.
100. Dibuje y encuentre el área debajo de un arco de la cicloide x = r(θ − senθ), y = r(1 − cosθ).
101. Encuentre el área limitada por la curva x = cost, y = eͭ, 0 ≤ t ≤ π/2 y las rectas y = 1 y x = 0.
102. Calcula el área encerrada por la elipse x = acosθ, y = bsenθ, 0 ≤ θ < 2π.
103. Encuentre el área de la región limitada por x = 2sen2θ, y = 2sen2θtanθ, para 0 ≤ θ≤ π/2.
Para los siguientes ejercicios, encuentre el área de las regiones limitadas por las curvas paramétricas y los valores indicados del parámetro.
104. x = 2cotθ, y = 2sen2θ, 0 ≤ θ ≤ π
105. [T] x = 2acost − acos(2t), y = 2asent − asen(2t), 0 ≤ t < 2π
106. [T] x = asen(2t), y = bsen(t), 0 ≤ t < 2π (el “reloj de arena”)
107. [T] x = 2acost − asen(2t), y = bsent, 0 ≤ t < 2π (la “lágrima”)
Para los siguientes ejercicios, encuentre la longitud del arco de la curva en el intervalo indicado del parámetro.
108. x = 4t + 3, y = 3t − 2, 0 ≤ t ≤ 2
109. x = (1/3)t³, y = (1/2)t², 0 ≤ t ≤ 1
112. x = eͭ cost, y = eͭ sent, 0 ≤ t ≤ π/2 (expresa la respuesta como un decimal redondeado a tres lugares)
113. x = acos³θ, y = asen³θ en el intervalo [0, 2π) (el hipocicloide)
114. Calcula la longitud de un arco de la cicloide x = 4(t − sent), y = 4(1 − cost).
115. Encuentre la distancia recorrida por una partícula con posición (x, y) cuando t varía en el intervalo de tiempo dado: x = sen²t, y = cos²t, 0 ≤ t ≤ 3π.
116. Encuentre la longitud de un arco de la cicloide x = θ − senθ, y = 1 − cosθ.
117. Muestre que la longitud total de la elipse x = 4senθ, y = 3cosθ es
donde e = c/a y c = √(a² − b²).
118. Halla la longitud de la curva
Para los siguientes ejercicios, encuentre el área de la superficie obtenida al rotar la curva dada sobre el eje x.
119. x = t³, y = t², 0 ≤ t ≤ 1
120. x = acos³θ, y = asen³θ, 0 ≤ θ ≤ π/2
121. [T] Use un CAS para encontrar el área de la superficie generada al rotar x = t + t³, y = t − 1/t², 1 ≤ t ≤ 2 sobre el eje x. (de la respuesta con tres decimales de aproximación).
122. Encuentre el área de superficie obtenida al rotar x = 3t², y = 2t³, 0 ≤ t ≤ 5 alrededor del eje y.
123. Encuentre el área de la superficie generada al hacer girar x = t², y = 2t, 0 ≤ t ≤ 4 alrededor del eje x.
124. Encuentre el área de superficie generada al hacer girar x = t², y = 2t², 0 ≤ t ≤ 1 alrededor del eje y.
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