Cálculo de curvas paramétricas

ECUACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS POLARES

Longitud de arco de una curva paramétrica

Además de encontrar el área bajo una curva paramétrica, a veces necesitamos encontrar la longitud de arco de una curva paramétrica. En el caso de un segmento de recta, la longitud del arco es la misma que la distancia entre los puntos finales. Si una partícula viaja del punto A al punto B a lo largo de una curva, entonces la distancia que recorre la partícula es la longitud del arco. Para desarrollar una fórmula para la longitud del arco, comenzamos con una aproximación por segmentos de recta como se muestra en el siguiente gráfico.

Figura 8.2_8 Aproximación de una curva por segmentos de recta.

Dada una curva plana definida por las funciones x = x(t),  y = y(t),  atb, comenzamos dividiendo el intervalo [a, b] en n subintervalos iguales: t₀ = a < t₁ < t₂ < ⋯ < tₙ= b. El ancho de cada subintervalo viene dado por Δt = (ba)/n. Podemos calcular la longitud de cada segmento de recta:

Luego sumarlos. Denotemos con s la longitud exacta del arco y sₙ la aproximación por n segmentos de recta:

Si asumimos que x(t)  y  y(t) son funciones diferenciables de t, entonces se aplica el Teorema del valor medio (Introducción a las aplicaciones de las derivadas), por lo que en cada subintervalo [tk 1, tk] existen

tal que

Por lo tanto, la ecuación 

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-133.png

se convierte en

Ésta es una suma de Riemann que se aproxima a la longitud del arco sobre una partición del intervalo [a, b]. Si asumimos además que las derivadas son continuas y dejamos que el número de puntos en la partición aumente sin límite, la aproximación tiende a la longitud exacta del arco. Esto da

Al tomar el límite, los valores de

ambos están contenidos dentro del mismo intervalo cada vez más reducido de ancho Δt, por lo que deben converger al mismo valor.

Podemos resumir este método en el siguiente teorema.

TEOREMA 8.2.3 Longitud de arco de una curva paramétrica

Considere la curva plana definida por las ecuaciones paramétricas

x = x(t),  y = y(t),  t₁ ≤ t t

y suponga que x(t)  y  y(t) son funciones diferenciables de t. Entonces la longitud del arco de esta curva viene dada por

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-142.png

En este punto, una derivación lateral conduce a una fórmula anterior para la longitud del arco. En particular, suponga que el parámetro se puede eliminar, lo que lleva a una función y = F(x). Entonces y(t) = F(x(t)) y la regla de la cadena da y′(t) = F′(x(t))x′(t). Sustituyendo esto en la Ecuación del Teorema 8.2.3 se obtiene

Aquí hemos asumido que x′(t) > 0, que es una suposición razonable. La regla de la cadena da dx = x′(t)dt, y dejando a = x(t₁)  y  b = x(t₂) obtenemos la fórmula

que es la fórmula para la longitud del arco obtenida en la Introducción a las Aplicaciones de la Integración.

Ejemplo ilustrativo 8.2_5  Encontrar la longitud del arco de una curva paramétrica

Encuentra la longitud del arco de la semicircunferencia definida por las ecuaciones

x(t) = 3costy(t) = 3sent,  0 ≤ t ≤ π.

Solución:

Los valores t = 0  a  t = π trazan la curva roja en la figura 8.2_9. Para determinar su longitud, use la fórmula proporcionada en el teorema 8.2.3:

Tenga en cuenta que la fórmula para la longitud del arco de una semicircunferencia es πr y el radio de este círculo es 3. Este es un gran ejemplo del uso del cálculo para derivar una fórmula conocida de una cantidad geométrica.

Figura 8.2_9 La longitud del arco de la semicircunferencia es igual a su radio multiplicado por π.

Ejercicio de control 8.2_5

Encuentre la longitud del arco de la curva definida por las ecuaciones

x(t) = 3t²,  y(t) = 2t³,  1 ≤ t ≤ 3.

       Regresemos ahora al problema planteado al principio de la sección sobre una pelota de béisbol que sale de la mano de un lanzador. Ignorando el efecto de la resistencia del aire (¡a menos que sea una bola curva!), La bola viaja en una trayectoria parabólica. Suponiendo que la mano del lanzador está en el origen y la bola viaja de izquierda a derecha en la dirección del eje x positivo, las ecuaciones paramétricas para esta curva se pueden escribir como

x(t) = 140ty(t) = −16t² + 2t

donde t representa el tiempo. Primero calculamos la distancia que viaja la pelota en función del tiempo. Esta distancia está representada por la longitud del arco. Podemos modificar ligeramente la fórmula de la longitud del arco. Primero reescriba las funciones x(t) e y(t) usando v como variable independiente, para eliminar cualquier confusión con el parámetro t:

x(v) = 140vy(v) = −16v² + 2v

Luego escribimos la fórmula de la longitud del arco de la siguiente manera:

La variable v actúa como una variable ficticia que desaparece después de la integración, dejando la longitud del arco en función del tiempo t. Para integrar esta expresión podemos usar la siguiente fórmula dada en la Tabla de integrales,

Establecemos a = 140  y  u = −32v + 2. Esto da du = −32dv, entonces dv = −(1/32)du. Por lo tanto

y

Esta función representa la distancia recorrida por la pelota en función del tiempo. Para calcular la velocidad, tome la derivada de esta función con respecto a t. Si bien esto puede parecer una tarea abrumadora, es posible obtener la respuesta directamente del Teorema fundamental del cálculo:

Por lo tanto

Un tercio de segundo después de que la pelota abandona la mano del lanzador, la distancia que recorre es igual a

Este valor es un poco más de las tres cuartas partes del camino al plato de home. La velocidad de la pelota es

Esta velocidad se traduce en aproximadamente 95 mph, una bola rápida de grandes ligas.

3 comentarios en “Cálculo de curvas paramétricas”

Deja un comentario

Tu dirección de correo electrónico no será publicada.