Cálculo de curvas paramétricas

ECUACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS POLARES

Derivadas de segundo orden

Nuestro próximo objetivo es ver cómo tomar la segunda derivada de una función definida paramétricamente. La segunda derivada de una función y = f (x) se define como la derivada de la primera derivada; es decir,

Ya que

podemos reemplazar la y en ambos lados de esta ecuación con dy/dx. Esto nos da

Si conocemos dy/dx en función de t, entonces esta fórmula es sencilla de aplicar.

Ejemplo ilustrativo 8.2_3 Encontrar una segunda derivada

Calcule la segunda derivada d²y/dx² para la curva plana definida por las ecuaciones paramétricas x(t) = t² − 3,  y(t) = 2t − 1, −3 ≤ t ≤ 4.

Solución:

Del Ejemplo ilustrativo 8.2_1 sabemos que dy/dx = 2/2t = 1/t. Usando la fórmula para hallar la segunda derivada de una ecuación paramétrica, obtenemos

Ejercicio de control 8.2_3

Calcule la segunda derivada d²y/dx² para la curva plana definida por las ecuaciones

x(t) = t²  − 4ty(t) = 2t³ − 6t,  −2 ≤ t ≤ 3

y ubica los puntos críticos en su gráfica.

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