| 1. Funciones y sus gráficas | 1.5 Funciones exponenciales y logarítmicas |
Funciones hiperbólicas
Las funciones hiperbólicas se definen en términos de ciertas combinaciones de eˣ y e⁻ˣ. Estas funciones surgen naturalmente en diversas aplicaciones de ingeniería y física, incluido el estudio de las ondas de agua y las vibraciones de las membranas elásticas. Otro uso común para una función hiperbólica es la representación de una cadena o cable colgante, también conocida como catenaria (Figura 1.5_6). Si introducimos un sistema de coordenadas para que el punto bajo de la cadena se encuentre a lo largo del eje y, podemos describir la altura de la cadena en términos de una función hiperbólica. Primero, definimos las funciones hiperbólicas.
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(Figura 1.5_6 La forma de un hilo de seda en una telaraña se puede describir en términos de una función hiperbólica. La misma forma se aplica a una cadena o cable que cuelga de dos soportes con sólo su propio peso. (crédito: “Mtpaley”, Wikimedia Commons))
DEFINICIÓN 1.5_1. Funciones hiperbólicas
Coseno hiperbólico Seno hiperbólico Tangente hiperbólica Cosecante hiperbólica Secante hiperbólica Cotangente hiperbólica |
Utilizando la definición de cosh(x) y los principios de la física, se puede demostrar que la altura de una cadena colgante, como la de la figura 1.5_6, se puede describir mediante la función h(x) = acosh (x/a) + c para ciertas constantes a y c.
Pero, ¿por qué estas funciones se llaman funciones hiperbólicas? Para responder a esta pregunta, considere la cantidad cosh²t − senh²t. Usando la definición de cosh y senh, vemos que
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Esta identidad es análoga a la identidad trigonométrica cos²t + sen²t = 1. Aquí, dado un valor t, el punto (x, y) = (cosht, senht) se encuentra en la hipérbola unitaria x² − y² = 1 (Figura 1.5_7).
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Gráficas de las funciones hiperbólicas
Para graficar coshx y senhx, utilizamos el hecho de que ambas funciones se aproximan a (1/2)eˣ cuando x → ∞, ya que e⁻ˣ → 0 cuando x → ∞. Cuando x → −∞, coshx se acerca a (1/2)e⁻ˣ, mientras que senhx se acerca a −(1/2)e⁻ˣ. Por lo tanto, usando las gráficas de (1/2)eˣ, (1/2)e⁻ˣ y −(1/2)e⁻ˣ como guías, graficamos coshx y senhx. Para graficar tanhx, usamos el hecho de que tanh (0) = 0, −1 < tanh(x) < 1 para todo x, tanhx → 1 cuando x → ∞, y tanhx → −1 cuando x → −∞. Las gráficas de las otras tres funciones hiperbólicas se pueden dibujar utilizando las gráficas de coshx, senhx y tanhx (Figura 1.5_8).
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(Figura 1.5_8 Las funciones hiperbólicas implican combinaciones de eˣ y e⁻ˣ.)
Identidades que implican funciones hiperbólicas
La identidad cosh²t − senh²t = 1, que se muestra en la Figura 1.5_7, es una de varias identidades que involucran las funciones hiperbólicas, algunas de las cuales se enumeran a continuación. Las primeras cuatro propiedades se deducen fácilmente de las definiciones de seno hiperbólico y coseno hiperbólico. Excepto por algunas diferencias en los signos, la mayoría de estas propiedades son análogas a las identidades para las funciones trigonométricas.
REGLA 1.5.4: IDENTIDADES QUE INCLUYEN FUNCIONES HIPERBÓLICAS
1. cosh (−x) = coshx 2. senh (−x) = – senhx 3. coshx + senhx = eˣ 4. coshx − senhx = e⁻ˣ 5. cosh²x − senh²x = 1 6. 1 − tanh²x = sech²x 7. coth²x − 1 = csch²x 8. senh (x ± y) = senhxcoshy ± coshxsenhy 9. cosh (x ± y) = coshxcoshy ± sinhxsenhy |
Ejemplo ilustrativo 1.5_8 Evaluación de funciones hiperbólicas
- Simplifica senh(5lnx).
- Si senhx = 3/4, encuentre los valores de las cinco funciones hiperbólicas restantes.
Solución:
a. Usando la definición de la función senh, escribimos
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b. Usando la identidad cosh²x − senh²x = 1, vemos que
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Como coshx ≥ 1 para todo x, debemos tener coshx = 5/4. Luego, usando las definiciones para las otras funciones hiperbólicas, concluimos que tanhx = 3/5, cschx = 4/3, sechx = 4/5 y cothx = 5/3. ◊
EJERCICIO DE CONTROL 1.5_8
Simplifica cosh(2lnx).
Funciones hiperbólicas inversas
A partir de las gráficas de las funciones hiperbólicas, vemos que todas ellas son uno a uno, excepto coshx y sechx. Si restringimos los dominios de estas dos funciones al intervalo [0, ∞), entonces todas las funciones hiperbólicas son uno a uno, y podemos definir las funciones hiperbólicas inversas. Dado que las funciones hiperbólicas en sí mismas implican funciones exponenciales, las funciones hiperbólicas inversas involucran funciones logarítmicas.
DEFINICIÓN. Funciones hiperbólicas inversas
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Veamos cómo deducir la primera ecuación. Las otras se deducen de manera similar. Supongamos que y = senh⁻¹x. Entonces, x = senhy y, por la definición de la función seno hiperbólica,
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Por lo tanto,
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Multiplicando esta ecuación por eʸ, obtenemos
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Esto se puede resolver como una ecuación cuadrática, con la solución
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Como eʸ > 0, la única solución es la que tiene el signo positivo. Aplicando el logaritmo natural a ambos lados de la ecuación, concluimos que
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Ejemplo ilustrativo 1.5_9 Evaluación de funciones hiperbólicas inversas
Evalúa cada una de las siguientes expresiones.
a. senh⁻¹ (2)
b. tanh⁻¹ (1/4)
Solución:
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EJERCICIO DE CONTROL 1.5_9
Evalúe tanh⁻¹ (1/2).