| 1. Funciones y sus gráficas | 1.2. Clases básicas de funciones |

Modelos matemáticos

Se puede describir una gran variedad de situaciones del mundo real utilizando modelos matemáticos. Un modelo matemático es un método para simular situaciones de la vida real con ecuaciones matemáticas. Físicos, ingenieros, economistas y otros investigadores desarrollan modelos combinando la observación con datos cuantitativos para desarrollar ecuaciones, funciones, gráficos y otras herramientas matemáticas para describir con precisión el comportamiento de varios sistemas. Los modelos son útiles porque ayudan a predecir resultados futuros. Los ejemplos de modelos matemáticos incluyen el estudio de la dinámica de la población, investigaciones de patrones climáticos y predicciones de ventas de productos.

Como ejemplo, consideremos un modelo matemático que una empresa podría usar para describir sus ingresos por la venta de un artículo en particular. La ecuación R = p⋅ n describe la cantidad de ingresos R que una empresa recibe por la venta de n artículos vendidos a un precio de p dólares por artículo. La compañía está interesada en cómo cambian las ventas a medida que cambia el precio del artículo. Suponga que los datos en la Tabla 1.2 muestran el número de unidades que vende una empresa en función del precio por artículo.

P	6	8	10	12	14
n	19.4	18.5	16.2	13.8	12.2

En la figura 1.2_6, vemos en el gráfico el número de unidades vendidas n (en miles) en función del precio p (en dólares). Observamos por la forma del gráfico que el número de unidades vendidas es probablemente una función lineal del precio por artículo, y los datos pueden aproximarse estrechamente por la función lineal n = −1.04p + 26 para 0 ≤ p ≤ 25, donde n predice la cantidad de unidades vendidas en miles. Usando esta función lineal, los ingresos (en miles de dólares) pueden estimarse mediante la función cuadrática

R (p) = p⋅ (−1.04p + 26) = – 1.04p² + 26p

para 0 ≤ p ≤ 25. Tenga en cuenta que no podemos concluir definitivamente el número real de unidades vendidas por valores de p, para los cuales no se recopilan datos. Sin embargo, dados los otros valores de datos y el gráfico que se muestra, parece razonable que el número de unidades vendidas (en miles) si el precio cobrado es p dólares puede estar cerca de los valores predichos por la función lineal n = −1.04p + 26 .

EJEMPLO ILUSTRATIVO 1.2_4. Maximizando los ingresos

Una empresa está interesada en predecir la cantidad de ingresos que recibirá según el precio que cobre por un artículo en particular. Usando los datos de la Tabla 1.2, la compañía llega a la siguiente función cuadrática para modelar los ingresos R (en miles de dólares) en función del precio por artículo p:

para 0 ≤ p ≤ 25.

1. Predecir los ingresos si la empresa vende el artículo a un precio de p = $5  y  p = $17.
2. Encuentre los ceros de esta función e interprete el significado de estos ceros.
3. Dibuja una gráfica de R.
4. Use la gráfica para determinar el valor de p que maximiza los ingresos. Encuentra los ingresos máximos.

Solución:

    a.  Al evaluar la función de ingresos en p = 5 y p = 17, podemos concluir que

   b.  Los ceros de esta función se pueden encontrar resolviendo la ecuación −1.04p² + 26p = 0. Cuando factorizamos la expresión cuadrática, obtenemos p(−1.04p + 26) = 0. Las soluciones a esta ecuación están dadas por p = 0 y p = 0,25. Para estos valores de p, los ingresos son cero. Cuando p = $0, los ingresos son cero porque la empresa está entregando su mercancía de forma gratuita. Cuando p = $25, los ingresos son cero porque el precio es demasiado alto y nadie comprará ningún artículo.

    c.  Sabiendo que la función es cuadrática, también sabemos que la gráfica es una parábola. Como el coeficiente principal es negativo, la parábola abre hacia abajo. Una propiedad de estas parábolas es que son simétricas alrededor del eje y, por lo que dado que los ceros están en p = 0 y p = 25, la parábola debe ser simétrica alrededor de la recta a medio camino entre ellos, o p = 12.5.

    d.  La función es una parábola con ceros en p = 0 y p = 25, y es simétrica respecto a la recta p = 12.5, por lo que el ingreso máximo se produce a un precio de p = $ 12.50 por artículo. A ese precio, los ingresos son R(p) = – 1.04 (12.5)² + 26 (12.5) = $162,500.