Álgebra lineal con aplicaciones

(2. Álgebra de matrices)

2.2. Multiplicación Matriz-Vector

      Hasta ahora hemos utilizado matrices para resolver sistemas de ecuaciones lineales manipulando las filas de la matriz aumentada. En esta sección presentamos una forma diferente de describir sistemas lineales que hace más uso de la matriz de coeficientes del sistema y conduce a una forma útil de “multiplicar” matrices.

Vectores

       Es un hecho bien conocido en geometría analítica que dos puntos en el plano con coordenadas (a₁, a₂) y (b₁, b₂) son iguales si y solo si a₁ = b₁  y  a₂ = b₂. Además, una condición similar se aplica a los puntos (a₁, a₂, a₃) en el espacio. Extendemos esta idea de la siguiente manera.

Una secuencia ordenada (a₁, a₂, …, a_n) de números reales se llama n-tupla ordenada. La palabra “ordenada” aquí refleja nuestra insistencia en que dos n-tuplas ordenadas son iguales si y solo si las entradas correspondientes son las mismas. En otras palabras

(a₁, a₂, …, a_n) = (b₁, b₂, …, b_n) si y solo si a₁ = b₁, a₂ = b₂, …, y a_n = b_n.

Por lo tanto, las 2-tuplas y las 3-tuplas ordenadas son solo los pares y triples ordenados familiares de la geometría.

Definición 2.4  El conjunto R_n de n-tuplas ordenadas

Sea R el conjunto de todos los números reales. El conjunto de todas las n-tuplas ordenadas de R tiene una notación especial:

Rⁿ denota el conjunto de todas las n-tuplas ordenadas de números reales.  ◊ números reales

Hay dos formas de uso común para denotar las n-tuplas en Rⁿ: Como filas (r₁, r₂, …, r_n) o columnas ; la notación que usamos depende del contexto. En cualquier caso, se denominan vectores o n-vectores y se denotarán en negrita, como x o v. Por ejemplo, una matriz A de m × n se escribirá como una fila de columnas:

A = [a₁ a₂ ··· a_n] donde a_j denota la columna j de A para cada j.

Si x e y son dos n-vectores en Rⁿ, está claro que la suma de su matriz x + y también está en Rⁿ, al igual que el múltiplo escalar kx para cualquier número real k. Expresamos esta observación diciendo que Rⁿ se cierra bajo la suma y la multiplicación escalar. En particular, todas las propiedades básicas del Teorema 2.1.1 son verdaderas para estos n-vectores. Estas propiedades son fundamentales y se utilizarán con frecuencia a continuación sin comentarios. En cuanto a las matrices en general, la matriz cero n × 1 se llama n-vector cero en Rⁿ y, si x es un n-vector, el n-vector −x se llama x negativo.

      Por supuesto, ya hemos encontrado estos n-vectores en la Sección 1.3 como soluciones a sistemas de ecuaciones lineales con n variables. En particular, definimos la noción de combinación lineal de vectores y mostramos que una combinación lineal de soluciones para un sistema homogéneo es nuevamente una solución. Claramente, una combinación lineal de n-vectores en Rⁿ está nuevamente en Rⁿ, un hecho que usaremos.

Multiplicación de matriz-vector

        Dado un sistema de ecuaciones lineales, los lados izquierdos de las ecuaciones dependen solo de la matriz de coeficientes A y la columna x de las variables, y no de las constantes. Esta observación conduce a una idea fundamental en álgebra lineal: vemos los lados izquierdos de las ecuaciones como el “producto” Ax de la matriz A y el vector x. Este simple cambio de perspectiva conduce a una forma completamente nueva de ver los sistemas lineales, una que es muy útil y que ocupará nuestra atención a lo largo de este libro.

      Para motivar la definición del “producto” Ax, considere primero el siguiente sistema de dos ecuaciones en tres variables:

       (2.2)

y deje que  denoten la matriz de coeficientes, la matriz variable y la matriz constante, respectivamente. El sistema (2.2) se puede expresar como una única ecuación vectorial

que a su vez se puede escribir de la siguiente manera:

Ahora observe que los vectores que aparecen en el lado izquierdo son solo las columnas

de la matriz de coeficientes A. Por tanto, el sistema (2.2) toma la forma 

       (2.3)

Esto muestra que el sistema (2.2) tiene una solución si y solo si la matriz de constantes b es una combinación lineal de las columnas de A, y que en este caso las entradas de la solución son los coeficientes x₁, x₂ y x₃ en esta combinación lineal.

Nota: Las combinaciones lineales se introdujeron en la Sección 1.3 para describir las soluciones de sistemas homogéneos de ecuaciones lineales. Se utilizarán ampliamente a continuación.

 

      Además, esto se mantiene en general. Si A es cualquier matriz m × n, a menudo es conveniente ver A como una fila de columnas. Es decir, si a₁, a₂, …, a_n son las columnas de A, escribimos    

y decir que  se da en términos de sus columnas.

 

      Ahora considere cualquier sistema de ecuaciones lineales con matriz de coeficientes A m × n. Si b es la matriz de constantes del sistema, y si  es la matriz de variables, entonces, exactamente como arriba, el sistema se puede escribir como una sola ecuación vectorial

         (2.4)

Ejemplo ilustrativo 2.2_1

Escriba el sistema  en la forma dada en (2.4).

Solución:

◊

      Como se mencionó anteriormente, vemos el lado izquierdo de (2.4) como el producto de la matriz A y el vector x. Esta idea básica se formaliza en la siguiente definición:

Definición 2.5   Multiplicación matriz-vector

Sea    una matriz de tamaño m × n, escrita en términos de sus columnas a₁, a₂, …, a_n. Si  es cualquier n-vector, el producto Ax se define como el m-vector dado por:

◊

En otras palabras, si A es un matriz de tamaño m × n y x es un n-vector, el producto Ax es la combinación lineal de las columnas de A donde los coeficientes son las entradas de x (en orden).

      Tenga en cuenta que si A es una matriz m × n, el producto Ax solo se define si x es un n-vector y entonces el vector Ax es un m-vector porque esto es cierto para cada columna a_j de A. Pero en este caso el sistema de ecuaciones lineales con matriz de coeficientes A y vector de constantes b toma la forma de una sola ecuación matricial

Ax = b

El siguiente teorema combina la Definición 2.5 y la ecuación (2.4) y resume la discusión anterior.
Recuerde que se dice que un sistema de ecuaciones lineales es consistente si tiene al menos una solución.

Teorema 2.2.1

1. Todo sistema de ecuaciones lineales tiene la forma Ax = b donde A es la matriz de coeficientes, b es la matriz de constantes y x es la matriz de variables.
2. El sistema Ax = b es consistente si y solo si b es una combinación lineal de las columnas de A.
3. Si a₁, a₂, …, a_n son las columnas de A y si  , entonces x es una solución del sistema lineal Ax = b si y solo si x₁, x₂, …, x_n son una solución de la ecuación vectorial

◊

Un sistema de ecuaciones lineales en la forma Ax = b como en (1) del Teorema 2.2.1 se dice que está escrito en forma matricial. Esta es una forma útil de ver los sistemas lineales como constataremos más adelante.

       El teorema 2.2.1 transforma el problema de resolver el sistema lineal Ax = b en el problema de expresar la matriz de constantes b como una combinación lineal de las columnas de la matriz de coeficientes A. Dicho cambio de perspectiva es muy útil porque un enfoque o el otro pueden ser mejores en una situación particular; la importancia del teorema es que hay una opción.

Ejemplo ilustrativo 2.2.2

Si    y  ,  , calcule Ax.

Solución:

De acuerdo con la definición 2.5:

Ejemplo ilustrativo 2.2.3

Dadas las columnas a₁, a₂, a₃ y a₄ en R³, escriba 2a₁ −3a₂ + 5a₃ + a₄ en la forma Ax donde A es una matriz y x es un vector.

Solución:

Aquí la columna de coeficientes es  . Por tanto, la definición 2.5 da 

donde  es la matriz con a₁, a₂, a₃ y a₄ como sus columnas.

Ejemplo ilustrativo 2.2.4

Suponga que  es una matriz de tamaño 3 × 4 dada en términos de sus columnas

En cada caso a continuación, exprese b como una combinación lineal de a₁, a₂, a₃ y a₄, o demuestre que no es una combinación lineal. Explica qué significa tu respuesta para el sistema correspondiente Ax = b de ecuaciones lineales.

Solución:

Según el Teorema 2.2.1, b es una combinación lineal de a₁, a₂, a₃ y a₄ si y solo si el sistema Ax = b es consistente (es decir, tiene una solución). Entonces, en cada caso, llevamos la matriz aumentada [A | b] del sistema Ax = b a forma reducida.

a.  Aquí  , por lo que el sistema Ax = b no tiene solución en este caso. Por tanto, b no es una combinación lineal de a₁, a₂, a₃ y a₄.

b. Ahora , entonces el sistema Ax = b es consistente. Por tanto, b es una combinación lineal de a₁, a₂, a₃ y a₄ en este caso. De hecho, la solución general es x₁ = 1 − 2s − t, x₂ = 2 + s − t, x₃ = s, y x₄ = t donde s y t son parámetros arbitrarios. Por eso para cualquier elección de s y t. Si tomamos s = 0 y t = 0, esto se convierte en a₁ + 2a₂ = b, mientras que tomando s = 1 = t da −2a₁ + 2a₂ + a₃ + a₄ = b.

Ejemplo ilustrativo 2.2.5

Tomando A como la matriz cero, tenemos 0x = 0 para todos los vectores x según la Definición 2.5 porque cada columna de la matriz cero es cero. De manera similar, A0 = 0 para todas las matrices A porque cada entrada del vector cero es cero.

Ejemplo ilustrativo 2.2.6

Si  , demuestre que Ix = x para cualquier vector x en R³.

Solución:

Si  , entonces la Definición 2.5 da

 

      La matriz I del Ejemplo 2.2.6 se denomina matriz identidad de 3 × 3 y volveremos a encontrar tales matrices en el ejemplo 2.2.11 a continuación. Antes de continuar, desarrollamos algunas propiedades algebraicas de la multiplicación matriz-vector que se utilizan ampliamente en todo el álgebra lineal.