Álgebra lineal con aplicaciones

(2. Álgebra de matrices)

2.1.  Suma, multiplicación escalar y transposición de matrices

    Un arreglo rectangular de números se llama matriz (el plural es matrices), y los números se llaman entradas de la matriz. Las matrices generalmente se denotan con letras mayúsculas: A, B, C, etc. Por lo tanto,

son matrices. Claramente, las matrices vienen en varias formas dependiendo del número de filas y columnas. Por ejemplo, la matriz A que se muestra tiene 2 filas y 3 columnas. En general, una matriz con m filas y n columnas se denomina matriz m × n o tiene un tamaño m × n. Por lo tanto, las matrices A, B y C anteriores tienen tamaños 2 × 3, 2 × 2 y 3 × 1, respectivamente. Una matriz de tamaño 1 × n se llama matriz fila, mientras que una de tamaño m × 1 se llama matriz columna. Las matrices de tamaño n × n para algunos n se llaman matrices cuadradas.

Cada entrada de una matriz se identifica por la fila y la columna en la que se encuentra. Las filas están numeradas de arriba hacia abajo y las columnas están numeradas de izquierda a derecha. Entonces la entrada (i, j) de una matriz es el número que se encuentra simultáneamente en la fila i y la columna j. Por ejemplo,

Una notación especial se usa comúnmente para las entradas de una matriz. Si A es una matriz m × n, y si la entrada (i, j) de A se denota como a_ij, entonces A se denota de la siguiente manera:

Esto generalmente se denota simplemente como A = [a_ij]. Por lo tanto, a_ij es la entrada en la fila i y la columna j de A. Por ejemplo, se escribe una matriz 3 × 4 en esta notación como

Vale la pena señalar una convención sobre filas y columnas: las filas se mencionan antes que las columnas.
Por ejemplo:

• Si una matriz tiene un tamaño m × n, tiene m filas y n columnas.
• Si hablamos de la entrada (i, j) de una matriz, tal entrada se encuentra en la fila i y la columna j.
• Si una entrada se denota como a_ij, el primer subíndice i se refiere a la fila y el segundo subíndice j a la columna en la que se encuentra a_ij.

Igualdad de matrices. Dos puntos (x₁, y₁) y (x₂, y₂) en el plano son iguales si y sólo si tienen las mismas coordenadas, es decir x₁ = x₂ e y₁ = y₂. Del mismo modo, dos matrices A y B se llaman iguales (escritas A = B) si y sólo si:

1. Tienen el mismo tamaño.
2. Las entradas correspondientes son iguales.

       Si las entradas de A y B están escritas en la forma A = [a_ij], B = [b_ij], descritas anteriormente, entonces la segunda condición toma la siguiente forma:

Ejemplo ilustrativo 2.1_1

Dadas las siguientes matrices

discuta la posibilidad de que A = B, B = C, A = C.

Solución:
A = B es imposible porque A y B son de diferentes tamaños: A es de 2 × 2 mientras que B es de 2 × 3. Del mismo modo, B = C es imposible. Pero A = C es posible siempre que las entradas correspondientes sean iguales:

significa que a = 1, b = 0, c = −1 y d = 2. ◊

Suma de matrices

Definición 2.1.1 Adición de matrices

Si A y B son matrices del mismo tamaño, su suma, denotada por A + B, es la matriz formada al adicionar las entradas correspondientes.

Si A = [a_ij] y B = [b_ij], la suma de A y B toma la forma

Tenga en cuenta que la suma no está definida para matrices de diferentes tamaños.

Ejemplo ilustrativo 2.1_2

Si

y

calcule A + B.

Solución:

Ejemplo ilustrativo 2.1_3

Encuentre los valores de a, b y c si [a  b  c] + [c  a  b] = [3  2  −1].

Solución:
Sume las matrices en el lado izquierdo para obtener

[a + c   b + a   c + b] = [3  2  −1]

Debido a que las entradas correspondientes deben ser iguales, esto da tres ecuaciones: a + c = 3, b + a = 2 y c + b = −1, cuya solución es a = 3, b = −1, c = 0. ◊

Dos propiedades algebraicas de las matrices. Si A, B y C son matrices del mismo tamaño, entonces

A + B = B + A	Ley conmutativa
A + (B + C) = (A + B) + C	Ley asociativa

De hecho, si A = [aij] y B = [bij], entonces las entradas (i, j) de A + B y B + A son, respectivamente, aij + bij y bij + aij. Como las entradas son iguales para todos los i y j, obtenemos (teniendo presente la ley conmutativa en la suma de números reales)

La ley asociativa se verifica de manera similar.

Matriz cero. La matriz m × n en la que cada entrada es cero se llama matriz cero de m × n y se denota como 0 (o 0_mn si es importante enfatizar el tamaño). Por lo tanto,

0 + X = X

se cumple para todas las matrices X de m × n.

    El negativo de una matriz A de m × n (escrito −A) se define como la matriz de tamaño m × n obtenida al multiplicar cada entrada de A por −1. Si A = [aij], el negativo de A se denota por −A = [−aij]. Por lo tanto,

A + (−A) = 0

se cumple para todas las matrices A donde, por supuesto, 0 es la matriz cero del mismo tamaño que A.

    Una noción estrechamente relacionada con la suma es la de restar matrices. Si A y B son dos matrices de tamaño m × n, su diferencia A − B se define por

A − B = A + (−B)

Tenga en cuenta que si A = [aij]  y  B = [bij], entonces

es la matriz de tamaño m × n formada restando las entradas correspondientes.

Ejemplo ilustrativo 2.1_4

Dadas las matrices

Calcule −A, A − B y A + B − C.

Solución:

Ejemplo ilustrativo 2.1_5

Resolver la ecuación

donde X es una matriz.

Solución:

Resolvemos una ecuación numérica a + x = b restando el número a de ambos lados para obtener x = b − a. Esto también funciona para ecuaciones con matrices. Para resolversimplemente resta la matrizde ambos lados de la igualdad para obtenerEl lector debe verificar que esta matriz X realmente satisfaga la ecuación original. ◊

     La solución hallada en el ejemplo 2.1_5 que satisface la ecuación de matrices A + X = B, se obtiene directamente mediante sustracción de matrices: X = B − A. Esta capacidad de trabajar con matrices como entidades se encuentra en el corazón del álgebra matricial.