| 1. Funciones y sus gráficas | 1.4 Funciones inversas |
Funciones trigonométricas inversas
Las seis funciones trigonométricas básicas son periódicas y, por lo tanto, no son uno a uno. Sin embargo, si restringimos el dominio de una función trigonométrica a un intervalo en el que es uno a uno, podemos definir su inversa. Considere, por ejemplo, la gráfica de la función seno,
DEFINICIÓN 1.4.3 Inversas de las funciones trigonométricas
• La función seno inversa, denotada sen⁻¹ o arcsen, y la función coseno inversa, denotada cos⁻¹ o arccos, se definen en el dominio D = {x| −1 ≤ x ≤ 1} de la siguiente manera: sen⁻¹(x) = y si y sólo si sen(y) = x y − π/2≤ y ≤ π/2; • La función tangente inversa, denotada tan⁻¹ o arctan, y la función cotangente inversa, denotada cot⁻¹ o arccot, se definen en el dominio D = {x| −∞ < x < ∞} de la siguiente manera: tan⁻¹(x) = y si y sólo si tan(y) = x y −π/2 < y < π/2; • La función cosecante inversa, denotada csc⁻¹ o arccsc, y la función secante inversa, denotada sec⁻¹ o arcsec, se definen en el dominio D = {x| |x| ≥ 1} de la siguiente manera: csc⁻¹(x) = y si y sólo si csc(y) = x y − π/2 ≤ y ≤ π/2, y ≠ 0; |
Para graficar las funciones trigonométricas inversas, utilizamos las gráficas de las funciones trigonométricas restringidas a los dominios definidos anteriormente y reflejamos las gráficas sobre la recta y = x (Figura 1.4_5).
(Figura 1.4_5 La gráfica de cada una de las funciones trigonométricas inversas es una reflexión sobre la recta y = x de la función trigonométrica restringida correspondiente.)
Al evaluar una función trigonométrica inversa, la salida es un ángulo. Por ejemplo, para evaluar cos⁻¹(1/2), necesitamos encontrar un ángulo θ tal que cosθ = 1/2. Claramente, muchos ángulos tienen esta propiedad. Sin embargo, dada la definición de cos⁻¹, necesitamos el ángulo θ que no solo resuelva esta ecuación, sino que también se encuentre en el intervalo [0, π]. Concluimos que cos⁻¹(12) = π/3.
Ahora consideramos una composición de una función trigonométrica y su inversa. Por ejemplo, considere las dos expresiones sen(sen⁻¹(2/√2)) y sen⁻¹(sen(π)). Para la primera, simplificamos de la siguiente manera:
Para la segunda, tenemos
sen⁻¹ (sen(π)) = sen⁻¹(0) = 0.
Se supone que la función inversa “deshace” la función original, entonces ¿por qué no es sen⁻¹ (sen(π)) = π? Recordando nuestra definición de funciones inversas, una función f y su inversa f⁻¹ satisfacen las condiciones f (f⁻¹(y)) = y para todo y en el dominio de f⁻¹ y f ⁻¹(f (x)) = x para todas las x en el dominio de f, entonces, ¿qué pasó aquí? El problema es que la función seno inversa, sen⁻¹, es la inversa de la función seno restringida definida en el dominio [−π/2, π/2]. Por lo tanto, para x en el intervalo [−π/2, π/2], es cierto que sen⁻¹(senx) = x. Sin embargo, para valores de x fuera de este intervalo, la ecuación no se cumple, aunque sen⁻¹(senx) se define para todos los números reales x.
¿Qué pasa con el sen(sen⁻¹y)? ¿Eso tiene un problema similar? La respuesta es no. Como el dominio de sen⁻¹ es el intervalo [−1, 1], concluimos que sen(sen⁻¹y) = y si −1 ≤ y ≤ 1 y la expresión no está definida para otros valores de y. Para resumir,
sen(sen⁻¹y) = y si − 1 ≤ y ≤ 1
y
sen⁻¹(senx) = x si − π/2 ≤ x ≤ π/2.
Del mismo modo, para la función coseno,
cos(cos⁻¹y) = y si −1 ≤ y ≤ 1
y
cos ⁻¹(cosx) = x si 0 ≤ x ≤ π.
Propiedades similares se mantienen para las otras funciones trigonométricas y sus inversas.
Ejemplo ilustrativo 1.4_5 Evaluación de expresiones que implican funciones trigonométricas inversas
Evalúa cada una de las siguientes expresiones.
- Solución:
Evaluar sen⁻¹(−√3/2) es equivalente a encontrar el ángulo θ tal que senθ = −√3/2 y −π/2 ≤ θ ≤ π/2. El ángulo θ = −π/3 satisface estas dos condiciones. Por lo tanto, sen⁻¹(−√3/2) = – π/3. - Primero usamos el hecho de que tan⁻¹(−1/√3) = – π/6. Entonces tan(π/6) =−1/√3. Por lo tanto, tan (tan⁻¹(−1/√3)) =−1/√3.
- Para evaluar cos⁻¹(cos(5π/4)), primero use el hecho de que cos(5π/4) = –√2/2. Entonces necesitamos encontrar el ángulo θ tal que cos(θ) = –√2/2 y 0 ≤ θ ≤ π. Como 3π/4 satisface ambas condiciones, tenemos que cos(cos⁻¹(5π/4)) = cos(cos⁻¹(–√2/2)) = 3π / 4.
- Como cos (2π/3) = -1/2, necesitamos evaluar sen◊⁻¹(−1/2). Es decir, necesitamos encontrar el ángulo θ tal que sen (θ) = -1/2 y −π/2 ≤ θ ≤ π/2. Como −π/6 cumple ambas condiciones, podemos concluir que sen⁻¹(cos(2π/3)) = sen⁻¹(−1/2) = – π/6. ◊