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Encontrar la inversa de una función

Ahora podemos considerar las funciones uno a uno y mostrar cómo encontrar sus inversas. Recuerde que una función asigna elementos en el dominio de f a elementos en el rango de f. La función inversa mapea cada elemento desde el rango de f de regreso a su elemento correspondiente desde el dominio de f. Por lo tanto, para encontrar la función inversa de una función uno a uno f, dada cualquier y en el rango de f, necesitamos determinar qué x en el dominio de f satisface f (x) = y. Como f es uno a uno, hay exactamente uno de esos valores x. Podemos encontrar ese valor x resolviendo la ecuación f (x) = y para x. Al hacerlo, podemos escribir x como una función de y donde el dominio de esta función es el rango de f y el rango de esta nueva función es el dominio de f. En consecuencia, esta función es la inversa de f, y escribimos x = f ⁻¹(y). Como usualmente usamos la variable x para denotar la variable independiente e y para denotar la variable dependiente, a menudo intercambiamos los roles de x e y, y escribimos y = f ⁻¹(x). Representar la función inversa de esta manera también es útil más adelante cuando graficamos una función f y su inversa f⁻¹ en los mismos ejes.

ESTRATEGIA PARA RESOLVER PROBLEMAS 1.4.1: ENCONTRAR UNA FUNCIÓN INVERSA

1. Resuelve la ecuación y = f (x) para x. 2. Intercambie las variables x e y y escriba y = f ⁻¹(x).

Ejemplo ilustrativo 1.4_2 Encontrar una función inversa

Encuentre la inversa de la función f (x) = 3x − 4. Indique el dominio y el rango de la función inversa. Verifique que f ⁻¹(f (x)) = x.

Solución:
Siga los pasos descritos en la estrategia.

Paso 1. Si y = 3x − 4, entonces 3x = y + 4 y x = (1/3)y + 4/3.
Paso 2. Reescribe como y = (1/3)x + 4/3 y deje y = f ⁻¹(x).
Por lo tanto,

f ⁻¹(x) = (1/3)x + 4/3.

Como el dominio de f es (−∞, ∞), el rango de f ⁻¹ es (−∞, ∞). Como el rango de f es (−∞, ∞), el dominio de f ⁻¹ es (−∞, ∞).
Puede verificar que f ⁻¹(f (x)) = x escribiendo

Tenga en cuenta que para que f ⁻¹(x) sea la inversa de f (x), tanto f ⁻¹(f (x)) = x así como f (f ⁻¹(x)) = x para todas las x en el dominio de La función interior.

EJERCICIO DE CONTROL 1.4_2

Encuentre la inversa de la función f (x) = 3x/(x − 2). Indique el dominio y el rango de la función inversa.

Gráficas de las funciones inversas

Estudiemos la relación entre la gráfica de una función f y la gráfica de su inversa. Considere la gráfica de f que se muestra en la figura 1.4_3 y un punto (a, b) en la gráfica. Como b = f (a), entonces f ⁻¹(b) = a. Por lo tanto, cuando graficamos f ⁻¹, el punto (b, a) está en la gráfica. Como resultado, la gráfica de f ⁻¹ es un reflejo de la gráfica de f sobre la recta y = x.

(Figura 1.4_3 (a) La gráfica de esta función f muestra el punto (a, b) en la gráfica de f. (b) Dado que (a, b) está en la gráfica de f, el punto (b, a) está en la gráfica de f ⁻¹. La gráfica de f ⁻¹ es un reflejo de la gráfica de f sobre la recta y = x.)

Ejemplo ilustrativo 1.4_3 Trazar las gráficas de funciones inversas

Solución:
Refleja la gráfica sobre la recta y = x. El dominio de f ⁻¹ es [0, ∞). El rango de f ⁻¹ es [−2, ∞). Al usar la estrategia anterior para encontrar funciones inversas, podemos verificar que la función inversa es f ⁻¹(x) = x² − 2, como se muestra en la siguiente gráfica.

EJERCICIO DE CONTROL 1.4_3

Dibuje la gráfica de f (x) = 2x + 3 y la gráfica de su inverso usando la propiedad de simetría de las funciones inversas.

Dominios Restringidos

Como hemos visto, f (x) = x² no tiene una función inversa porque no es uno a uno. Sin embargo, podemos elegir un subconjunto del dominio de f de modo que la función sea uno a uno. Este subconjunto se llama dominio restringido. Al restringir el dominio de f, podemos definir una nueva función g tal que el dominio de g sea el dominio restringido de f y g(x) = f (x) para todas las x en el dominio de g. Entonces podemos definir una función inversa para g en ese dominio. Por ejemplo, dado que f (x) = x² es uno a uno en el intervalo [0, ∞), podemos definir una nueva función g tal que el dominio de g sea [0, ∞) y g(x) = x² para todas las x en su dominio. Dado que g es una función uno a uno, tiene una función inversa, dada por la fórmula g⁻¹(x) = √x. Por otro lado, la función f (x) = x² también es uno a uno en el dominio (−∞, 0]. Por lo tanto, también podríamos definir una nueva función h tal que el dominio de h sea (−∞ , 0] y h(x) = x² para todas las x en el dominio de h. Entonces h es una función uno a uno y también debe tener una inversa. Su inversa está dada por la fórmula h⁻¹(x) = −√x (Figura 1.4_4).

(Figura 1.4_4 (a) Para g(x) = x² restringido a [0, ∞), g⁻¹(x) = √x. (b) Para h(x) = x² restringido a (−∞, 0], h⁻¹(x) = – √x.)

Ejemplo ilustrativo 1.4_4 Restringiendo el dominio

Considere la función f (x) = (x + 1)².

1. Dibuje la gráfica de f y use la prueba de recta horizontal para mostrar que f no es uno a uno.
2. Muestre que f es uno a uno en el dominio restringido [−1, ∞). Determine el dominio y el rango para la función inversa de f en este dominio restringido y encuentre una fórmula para f⁻¹.

Solución:
    a. La gráfica de f es la gráfica de y = x² desplazada hacia la izquierda 1 unidad. Como existe una recta horizontal que se cruza con la gráfica más de una vez, f no es uno a uno.

EJERCICIO DE CONTROL 1.4_4

Considere f (x) = 1/x² restringido al dominio (−∞, 0). Verifique que f sea uno a uno en este dominio. Determine el dominio y el rango de la función inversa de f y encuentre una fórmula para f⁻¹.