| 2. Límites y continuidad | 2.2 El límite de una función |

La existencia de un límite

Al considerar el límite en el siguiente ejemplo, tenga en cuenta que para que el límite de una función exista en un punto, los valores funcionales deben aproximarse a un único valor numérico real en ese punto. Si los valores funcionales no se acercan a un valor único, entonces el límite no existe.

Ejemplo ilustrativo 2.2_4: Evaluar un límite que no existe.

Evalúe lim_{x → 0} sen (1/x) usando una tabla de valores.

Solución:

La Tabla 2.2_5 Muestra los valores de la función sen(1/x) para los valores dados de x.

Después de examinar la tabla de valores funcionales, podemos ver que los valores de y = sen (1/x) no parecen acercarse a ningún valor particular. Parece que el límite no existe. Antes de llegar a esta conclusión, tomemos un enfoque más sistemático. Tome la siguiente secuencia de valores de x  de tal modo que se aproximen a 0:

Los valores correspondientes de y = sen (1/x)  son

La gráfica de f (x) = sen (1 / x) se muestra en la Figura 2.2_5 y da una imagen más clara del comportamiento de sen (1 / x) a medida que x se acerca a 0. Puede ver que sen (1 / x) oscila cada vez más entre −1 y 1 a medida que x se aproxima a 0.

Ejercicio de control 2.2_3

Use una tabla de valores funcionales para evaluarsi es posible.

Límites unilaterales

A veces, indicar que el límite de una función no existe en un punto no nos proporciona suficiente información sobre el comportamiento de la función en ese punto en particular. Para ver esto, ahora volvemos a revisar la función g (x) = | x − 2 | / (x − 2) introducida al comienzo de la sección (ver Figura 2.2_1 (b)). A medida que seleccionamos valores de x cercanos a 2, g(x) no se acerca a un solo valor, por lo que el límite a medida que x se acerca a 2 no existe, es decir, lim_{x → 2} g(x) NE. Sin embargo, esta declaración por sí sola no nos da una imagen completa del comportamiento de la función alrededor del valor x = 2. Para proporcionar una descripción más precisa, presentamos la idea de un límite unilateral. Para todos los valores a la izquierda de 2 (o el lado negativo de 2), g(x) = – 1. Por lo tanto, a medida que x se aproxima a 2 desde la izquierda, g(x) se aproxima a −1. Matemáticamente, decimos que el límite cuando x se acerca a 2 desde la izquierda es −1. Simbólicamente, expresamos esta idea como

De manera similar, cuando x se acerca a 2 desde la derecha (o desde el lado positivo), g(x) se acerca a 1. Simbólicamente, expresamos esta idea como

Ahora podemos presentar una definición informal de límites unilaterales.

DEFINICIÓN. Definimos dos tipos de límites unilaterales.

Límites unilaterales Límite desde la izquierda: Sea f (x) una función definida en todos los valores en un intervalo abierto de la forma (c, a), y sea L un número real. Si los valores de la función f (x) se acercan al número real L cuando los valores de x (donde x < a) se acercan al número a, entonces decimos que L es el límite de f (x) a medida que x se acerca a a por la izquierda. Simbólicamente, expresamos esta idea como Límite desde la derecha: Sea f (x) una función definida en todos los valores en un intervalo abierto de la forma (a, c), y sea L un número real. Si los valores de la función f (x) se acercan al número real L cuando los valores de x (donde x > a) se acercan al número a, entonces decimos que L es el límite de f (x) cuando x se acerca a a por la derecha. Simbólicamente, expresamos esta idea como

Ejemplo ilustrativo 2.2_5 Evaluación de límites unilaterales

Para la función

evalúe cada uno de los siguientes límites.

Solución:
Podemos usar tablas de valores funcionales nuevamente, Tabla 2.2_6. Observe que para valores de x menores que 2, usamos f (x) = x + 1 y para valores de x mayores que 2, usamos f (x) = x² − 4.

Con base en esta tabla, podemos concluir que

Por lo tanto, el límite bilateral (el límite por la izquierda es distinto del límite por la derecha) de f (x) no existe en x = 2. La figura 2.2_6 muestra la gráfica de f (x) y refuerza nuestra conclusión sobre estos límites.

Ejercicio de control 2.2_4

Use una tabla de valores funcionales para estimar los siguientes límites, si es posible.

    Consideremos ahora la relación entre el límite de una función en un punto y los límites de la derecha y la izquierda en ese punto. Parece claro que si el límite de la derecha y el límite de la izquierda tienen un valor común, entonces ese valor común es el límite de la función en ese punto. Del mismo modo, si el límite de la izquierda y el límite de la derecha toman valores diferentes, el límite de la función no existe. Estas conclusiones se resumen en los límites relativos de un lado y dos lados.

TEOREMA 2.2.2 Límites de un lado (unilateral) y de dos lados (bilateral) relacionados

Supongamos que f (x) es una función definida en todos los valores en un intervalo abierto que contenga a a, con la posible excepción de a, y que L es un número real. Entonces,