Introducción a las ecuaciones diferenciales

INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES: Objetivos de aprendizaje

4.1.1 Identificar el orden de una ecuación diferencial.

4.1.2. Explicar qué se entiende por solución a una ecuación diferencial.

4.1.3. Distinguir entre la solución general y una solución particular de una ecuación diferencial.

4.1.4. Identificar un problema de valor inicial.

4.1.5. Identificar si una función dada es una solución a una ecuación diferencial o a un problema de valor inicial.

El cálculo es la matemática del cambio, y las tasas de cambio se expresan por derivadas. Por lo tanto, una de las formas más comunes de usar el cálculo es establecer una ecuación que contenga una función desconocida y = f (x) y su (s) derivada (s), conocida como ecuación diferencial. Resolver tales ecuaciones a menudo proporciona información sobre cómo cambian las cantidades y con frecuencia proporciona información sobre cómo y por qué ocurren los cambios.

Las técnicas para resolver ecuaciones diferenciales pueden tomar muchas formas diferentes, incluida la solución directa, el uso de gráficas o los cálculos por computadora. Presentamos las ideas principales en este capítulo y las describimos con un poco más de detalle más adelante en el curso. En esta sección estudiamos qué son las ecuaciones diferenciales, cómo verificar sus soluciones, algunos métodos que se utilizan para resolverlas y algunos ejemplos de ecuaciones comunes y útiles.

Ecuaciones diferenciales generales

Considere la ecuación y ′ = 3x², que es un ejemplo de una ecuación diferencial porque incluye una derivada. Existe una relación entre las variables x e y : y es una función desconocida de x. Además, el lado izquierdo de la ecuación es la derivada de y. Por lo tanto, podemos interpretar esta ecuación de la siguiente manera: comience con alguna función y = f (x) y tome su derivada. La respuesta debe ser igual a 3x². ¿Qué función tiene una derivada que sea igual a 3x²? Una de esas funciones es y = x³, por lo que esta función se considera una solución para la ecuación diferencial y ′ = 3x².

DEFINICIÓN 9.1.1. Ecuación diferencial

Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra una función desconocida y = f (x) y una o más de sus derivadas. Una solución a una ecuación diferencial es una función y = f (x) que satisface la ecuación diferencial cuando f y sus derivadas se sustituyen en la ecuación.


Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales y sus soluciones aparecen en la Tabla 9.1_1.

Tabla 9.1_1 Ejemplos de ecuaciones diferenciales y soluciones de las ED

Tenga en cuenta que una solución a una ecuación diferencial no es necesariamente única, principalmente porque la derivada de una constante es cero. Por ejemplo, y = x² + 4 también es una solución a la primera ecuación diferencial en la Tabla 9.1_1. Volveremos a esta idea un poco más adelante en esta sección. Por ahora, centrémonos en lo que significa que una función sea una solución para una ecuación diferencial.

DEFINICIÓN 9.1.2.  Orden de una ecuación diferencial

El orden de una ecuación diferencial es el orden más alto de cualquier derivada de la función desconocida que aparece en la ecuación.


Soluciones generales y particulares de una ED

Ya notamos que la ecuación diferencial y‘ = 2x tiene al menos dos soluciones: y = x² e y = x² + 4. La única diferencia entre estas dos soluciones es el último término, que es una constante. ¿Qué pasa si el último término es una constante diferente? ¿Esta expresión seguirá siendo una solución a la ecuación diferencial? De hecho, cualquier función de la forma y = x² + C, donde C representa cualquier constante, también es una solución. La razón es que la derivada de x² + C es 2x, independientemente del valor de C. Se puede demostrar que cualquier solución de esta ecuación diferencial debe tener la forma y = x² + C. Este es un ejemplo de una solución general a una ecuación diferencial. En la Figura 9.1_2 se muestra un gráfico de algunas de estas soluciones. (Nota: en este gráfico utilizamos incluso valores enteros para C que oscilan entre −4 y 4. De hecho, no hay restricción en el valor de C; puede ser un entero o no, puede ser cualquier número real).

Figure 9.1_2 Familia de soluciones de la ecuación diferencial y′=2x.

En este ejemplo, somos libres de elegir cualquier solución que deseemos; por ejemplo, y = x² − 3 es un miembro de la familia de soluciones a esta ecuación diferencial. Esto se conoce como una solución particular a la ecuación diferencial. Una solución particular a menudo se puede identificar de manera única si se nos brinda información adicional sobre el problema.

Problemas de valor inicial (PVI)

Por lo general, una ecuación diferencial dada tiene un número infinito de soluciones, por lo que es natural preguntar cuál queremos usar. Para elegir una solución, se necesita más información. Alguna información específica que puede ser útil es un valor inicial, que es un par ordenado que se utiliza para encontrar una solución particular.

Una ecuación diferencial junto con uno o más valores iniciales se llama un problema de valor inicial. La regla general es que el número de valores iniciales necesarios para un problema de valor inicial es igual al orden de la ecuación diferencial. Por ejemplo, si tenemos la ecuación diferencial y ′ = 2x, entonces y (3) = 7 es un valor inicial, y cuando se toman juntas, estas ecuaciones forman un problema de valor inicial. La ecuación diferencial y ” – 3y ′ + 2y = 4e× es de segundo orden, por lo que necesitamos dos valores iniciales. Con problemas de valor inicial de orden mayor que uno, se debe usar el mismo valor para la variable independiente. Un ejemplo de valores iniciales para esta ecuación de segundo orden sería y (0) = 2 e y ‘(0) = – 1. Estos dos valores iniciales junto con la ecuación diferencial forman un problema de valor inicial. Estos problemas se llaman así porque a menudo la variable independiente en la función desconocida es t, que representa el tiempo. Por lo tanto, un valor de t = 0 representa el comienzo del problema.

Aplicaciones

En aplicaciones de física e ingeniería, a menudo consideramos las fuerzas que actúan sobre un objeto, y usamos esta información para comprender el movimiento resultante que puede ocurrir. Por ejemplo, si comenzamos con un objeto en la superficie de la Tierra, la fuerza primaria que actúa sobre ese objeto es la gravedad. Los físicos e ingenieros pueden usar esta información, junto con la segunda ley de movimiento de Newton (en forma de ecuación F = ma, donde F representa la fuerza, m representa la masa y a representa la aceleración), para deducir una ecuación que se pueda resolver.

En la Figura 9.1_3 suponemos que la única fuerza que actúa sobre una pelota de béisbol es la fuerza de la gravedad. Esta suposición ignora la resistencia del aire. (La fuerza debida a la resistencia del aire se considera en una discusión posterior). La aceleración debida a la gravedad en la superficie de la Tierra, g, es de aproximadamente 9.8 m / s². Introducimos un marco de referencia, donde la superficie de la Tierra está a una altura de 0 metros. Sea v (t) la velocidad del objeto en metros por segundo. Si v (t) > 0, la pelota está subiendo, y si v (t) < 0, la pelota está cayendo (Figura 9.1_4).

Figura 9.1_3 Para una pelota de béisbol en caída libre, la única fuerza que actúa sobre ella es la gravedad (descuidando la resistencia del aire).

Figura 9.1_4 Velocidades para los posibles movimientos de la pelota de béisbol ascendente / descendente.

Nuestro objetivo es hallar la velocidad v(t) en cualquier momento t. Para hacer esto, configuramos un problema de valor inicial. Supongamos que la masa de la pelota es m, donde m se mide en kilogramos. Usamos la segunda ley de Newton, que establece que la fuerza que actúa sobre un objeto es igual a su masa multiplicada por su aceleración (F = ma). La aceleración es la derivada de la velocidad, entonces a(t) = v ‘(t). Por lo tanto, la fuerza que actúa sobre la pelota de béisbol está dada por F = mv ′ (t). Sin embargo, esta fuerza debe ser igual a la fuerza de gravedad que actúa sobre el objeto, que (nuevamente usando la segunda ley de Newton) viene dada por Fg = −mg, ya que esta fuerza actúa en dirección descendente. Por lo tanto, obtenemos la ecuación F = Fg, que se convierte en mv ′ (t) = – mg. Dividir ambos lados de la ecuación por m da la ecuación

v ′ (t) = – g

Tenga en cuenta que esta ecuación diferencial sigue siendo la misma independientemente de la masa del objeto.

Ahora necesitamos un valor inicial. Debido a que estamos calculando la velocidad, tiene sentido en el contexto del problema suponer que conocemos la velocidad inicial, o la velocidad en el tiempo t = 0. Esto se denota por v (0) = v₀.

Una pregunta natural después de resolver este tipo de problema es qué tan alto estará el objeto sobre la superficie de la Tierra en un momento dado. Supongamos que s (t) denota la altura sobre la superficie de la Tierra del objeto, medida en metros. Como la velocidad es la derivada de la posición (en este caso, la altura), esta suposición da la ecuación s ′ (t) = v (t). Un valor inicial es necesario; en este caso la altura inicial del objeto funciona bien. Deje que la altura inicial esté dada por la ecuación s (0) = s₀. Juntos, estos supuestos dan el problema del valor inicial

s ′ (t) = v (t), s (0) = s₀. 

Si se conoce la función de velocidad, entonces también es posible resolver la función de posición.


Ejercicios resueltos

Zill 1.1_1 a 8  En los problemas 1 a 8 establezca el orden de la ecuación diferencial ordinaria dada. Determine si la ecuación es lineal o no lineal, comparando con la ecuación

Zill 1.1_9 y 10  En los problemas 9 y 10 establezca si la ecuación diferencial de primer orden dada es lineal en la variable dependiente comparándola con la ecuación

Zill 1.1_11 a 14   En los problemas ll a 14, compruebe que la función indicada es una solución de la ecuación diferencial dada. Suponga un intervalo I de definición adecuado para cada solución.

Zill 1.1_15 a 18 En los problemas 15 a 18 compruebe que la función indicada y = f (φ) es una solución explícita de la ecuación diferencial de primer orden dada. Proceda como en el ejemplo 2, considerando a φ simplemente como una función, dando su dominio.
Después considere a φ como una solución de la ecuación diferencial, dando al menos un intervalo I de definición.

Zill 1.1_19 a 20 En los problemas 19 y 20 compruebe que la expresión indicada es una solución implícita de la ecuación diferencial dada. Encuentre al menos una solución explícita
y = θ (x) en cada caso. Use alguna aplicación para trazar gráficas para obtener la gráfica de una solución explícita. Dé un intervalo I de definición de cada solución θ.

Zill 1.1_21 Compruebe que la familia de funciones indicada es una solución de la ecuación diferencial dada. Suponga un intervalo I de definición adecuado para cada solución.

Zill 1.1_22 Compruebe que la familia de funciones indicada es una solución de la ecuación diferencial dada. Suponga un intervalo I de definición adecuado para cada solución.

Zill 1.1_23 Compruebe que la familia de funciones indicada es una solución de la ecuación diferencial dada. Suponga un intervalo I de definición adecuado para cada solución.

Zill 1.1_24 Compruebe que la familia de funciones indicada es una solución de la ecuación diferencial dada. Suponga un intervalo I de definición adecuado para cada solución.

Zill 1.1_25 Compruebe que la función definida por tramos

Zill 1.1_27  Determine los valores de m tales que la función

sea una solución de la ecuación diferencial 

Zill 1.1_28  Determine los valores de m tales que la función

sea una solución de la ecuación diferencial 

Zill 1.1_29  Determine los valores de m tales que la función

sea una solución de la ecuación diferencial

Zill 1.1_30  Determine los valores de m tales que la función

sea una solución de la ecuación diferencial

Zill 1.1_31  Determine los valores de m tales que la función

sea una solución de la ecuación diferencial

Zill 1.1_32  Determine los valores de m tales que la función

sea una solución de la ecuación diferencial

Zill 1.1_ 33 a 36 Use el concepto de que

es una función constante si y sólo si y ′= 0 para determinar si la ecuación diferencial tiene soluciones constantes:

Zill 1.1_37 y 38 Compruebe que el par de funciones indicado es una solución del sistema dado de ecuaciones diferenciales en el intervalo (-∞, ∞ ):

MAI. Zill 1.1_39 Dado que y = sen x es una solución explícita de la ecuación diferencial de primer orden

Encuentre un intervalo de definición I.

MAI. Zill 1.1_40 Analice por qué tiene sentido suponer que la ecuación diferencial lineal y ” + 2y ‘ + 4y = 5sent cuenta con una solución del tipo y = A sen t + B cos t, donde A y B son constantes. Luego encuentre las constantes A y B específicas de modo que y = A sen t + B cos t sea una solución particular de la ecuación diferencial.

MAI. Zill 1.1_43 Las gráficas de los miembros de la familia de un parámetro x³ + y³ = 3cxy se denomina folia de Descartes. Verifique si esta familia es una solución implícita de la ecuación diferencial de primer orden:

Zill 1.2_1 La siguiente función

es una familia uniparamétrica de soluciones de la ED de primer orden y ‘ = yy². Encuentre una solución del PVI de primer orden que consiste en esta ecuación diferencial y la condición inicial

Zill 1.2_2 La siguiente función

es una familia uniparamétrica de soluciones de la ED de primer orden y ‘ = yy². Encuentre una solución del PVI de primer orden que consiste en esta ecuación diferencial y la condición inicial

Zill 1.2_3 La función y = 1/(x² + c) es una familia uniparamétrica de soluciones de la ED de primer orden y ‘ + 2xy² = 0. Determine una solución de PVI de primer orden que consiste en esta ecuación diferencial y la condición inicial y(2) = 1/3. Dé el intervalo I más largo en el que está definida la solución.

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